1、2.7函数的图象函数的图象 最新考纲考情考向分析 1.在实际情境中， 会根据不同的需要选择图象 法、列表法、解析法表示函数 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质， 解 决方程解的个数与不等式解的问题. 函数图象的辨析；函数图象和函数性 质的综合应用；利用图象解方程或不 等式，题型以选择题为主，中档难度. 1描点法作图 方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期 性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象 2图象变换 (1)平移变换 (2)对称变换 yf(x) 关于 x 轴对称 yf(x)； yf(x) 关于 y 轴对称
2、yf(x)； yf(x) 关于原点对称 yf(x)； yax(a0 且 a1) 关于 yx 对称 ylogax(a0 且 a1) (3)伸缩变换 yf(x) a1，横坐标缩短为原来的1 a倍，纵坐标不变 0a1，纵坐标伸长为原来的 a 倍，横坐标不变 0a0 且 a1)的图象相同() (3)函数 yf(x)与 yf(x)的图象关于原点对称() (4)若函数 yf(x)满足 f(1x)f(1x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称() 题组二教材改编 2P35 例 5(3)函数 f(x)x1 x的图象关于( ) Ay 轴对称Bx 轴对称 C原点对称D直线 yx 对称 答案C 解析函数 f
3、(x)的定义域为(，0)(0，)且 f(x)f(x)，即函数 f(x)为奇函数，故 选 C. 3P58T1函数 y21 x的大致图象为( ) 答案A 解析y21 x 1 2 x1，因为 01 21，所以 y 1 2 x1为减函数，取 x0，则 y2，故选 A. 4P75A 组 T10如图，函数 f(x)的图象为折线 ACB，则不等式 f(x)log2(x1)的解集是 _ 答案(1,1 解析在同一坐标系内作出 yf(x)和 ylog2(x1)的图象(如图)由图象知不等式的解集是 (1,1 题组三易错自纠 5下列图象是函数 y x2，x0， x1，x0 的图象的是() 答案C 6将函数 yf(x)
4、的图象向右平移 1 个单位长度得到函数_的图象 答案f(x1) 解析图象向右平移 1 个单位长度，是将 f(x)中的 x 变成 x1. 7设 f(x)|lg(x1)|，若 0a2 ab(由于 a4. 题型一题型一作函数的图象作函数的图象 作出下列函数的图象： (1)y 1 2 |x|； (2)y|log2(x1)|； (3)yx22|x|1. 解(1)作出 y 1 2 x的图象， 保留 y 1 2 x的图象中 x0 的部分， 再作出 y 1 2 x的图象中 x0 部分关于 y 轴的对称部分，即得 y 1 2 |x|的图象，如图实线部分 (2)将函数 ylog2x 的图象向左平移 1 个单位，再
5、将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去，即可得 到函数 y|log2(x1)|的图象，如图实线部分 (3)y x22x1，x0， x22x1，x0 时，yxln x，y1 ln x，可知函数在区间 0，1 e 上单调递减，在区间 1 e，上单调递增由此可知应选 D. (2)已知定义在区间0,2上的函数 yf(x)的图象如图所示，则 yf(2x)的图象为() 答案B 解析方法一由 yf(x)的图象知， f(x) x，0 x1， 1，1x2. 当 x0,2时，2x0,2， 所以 f(2x) 1，0 x1， 2x，1x2， 故 yf(2x) 1，0 x0， lnx20， x2 且 x1，故排除 B，
6、D，由 f(1)sin 1 ln 3 0 可排除 C，故选 A. (2)(2017安徽“江南十校”联考)函数 ylog2(|x|1)的图象大致是() 答案B 解析ylog2(|x|1)是偶函数，当 x0 时，ylog2(x1)是增函数，其图象是由 ylog2x 的 图象向左平移 1 个单位得到，且过点(0,0)，(1,1)，只有选项 B 满足 题型三题型三函数图象的应用函数图象的应用 命题点 1研究函数的性质 典例 (1)已知函数 f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是() Af(x)是偶函数，单调递增区间是(0，) Bf(x)是偶函数，单调递减区间是(，1) Cf(x)是奇函数，单调递减区
7、间是(1,1) Df(x)是奇函数，单调递增区间是(，0) 答案C 解析(1)将函数 f(x)x|x|2x 去掉绝对值得 f(x) x22x，x0， x22x，x0， 画出函数 f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数 f(x)的图象关于原点对称，故函数 f(x)为奇 函数，且在(1,1)上单调递减 (2)(2017沈阳一模)已知函数 f(x)|log3x|， 实数 m， n 满足 0mn， 且 f(m)f(n)， 若 f(x)在m2， n上的最大值为 2，则n m_. 答案9 解析作出函数 f(x)|log3x|的图象，观察可知 0m1n 且 mn1. 若 f(x)在m2，n上的最大值为 2
8、， 从图象分析应有 f(m2)2，log3m22，m21 9. 从而 m1 3，n3，故 n m9. 命题点 2解不等式 典例 函数 f(x)是定义在4,4上的偶函数，其在0,4上的图象如图所示，那么不等式 fx cos x0. 当 x 2，4时，ycos x0. 结合 yf(x)，x0,4上的图象知， 当 1x 2时， fx cos x0.又函数 y fx cos x为偶函数， 所以在4,0上， fx cos x0 的解集为 2，1， 所以 fx cos x0， 2x，x0， 若关于 x 的方程 f(x)k 有两个不等的实数根， 则 实数 k 的取值范围是_ 答案(0,1 解析作出函数 yf
9、(x)与 yk 的图象，如图所示， 由图可知 k(0,1 (2)设函数 f(x)|xa|，g(x)x1，对于任意的 xR，不等式 f(x)g(x)恒成立，则实数 a 的 取值范围是_ 答案1，) 解析如图作出函数 f(x)|xa|与 g(x)x1 的图象，观察图象可知，当且仅当a1，即 a1 时，不等式 f(x)g(x)恒成立，因此 a 的取值范围是1，) 思维升华 (1)注意函数图象特征与性质的对应关系 (2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题 跟踪训练 (1)已知函数 f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程 f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实 数 k 的取值范围
10、是_ 答案 1 2，1 解析先作出函数 f(x)|x2|1 的图象， 如图所示， 当直线 g(x)kx 与直线 AB 平行时斜率 为 1，当直线 g(x)kx 过 A 点时斜率为1 2，故 f(x)g(x)有两个不相等的实根时，k 的取值范围 为 1 2，1. (2)已知函数 yf(x)的图象是圆 x2y22 上的两段弧，如图所示，则不等式 f(x)f(x)2x 的解集是_ 答案(1,0)(1， 2 解析由图象可知，函数 f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为 f(x)x. 在同一直角坐标系中分别画出 yf(x)与 yx 的图象，由图象可知不等式的解集为( 1,0)(1， 2 高考中的函数图
11、象及应用问题 考点分析高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别，函数图象的变换及函数图象的 应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决熟 练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提 一、函数的图象和解析式问题 典例 1(1)(2017太原二模)函数 f(x)ln|x1| |1x| 的图象大致为() (2)已知函数 f(x)的图象如图所示，则 f(x)的解析式可以是() Af(x)ln|x| x Bf(x)e x x Cf(x)1 x21 Df(x)x1 x 解析(1)函数 f(x)ln|x1| |1x| 的定义域为(， 1)(1， )， 且图象关于 x1 对
12、称， 排除 B， C.取特殊值，当 x1 2时，f(x)2ln 1 20 时，f(x)0，2m0，即 m0 在1,1上恒成立， f(x)2mx 2m2x2mx x2m2 m2x 2m x2m2 0， m20，只需要 x2m0 在1,1上恒成立， (x2m)max1， 综上所述，1mm， 其中 m0，若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_ 答案(3，) 解析如图，当 xm 时，f(x)|x|；当 xm 时，f(x)x22mx4m 在(m，)上为增函数， 若存在实数 b，使方程 f(x)b 有三个不同的根，则 m22mm4m0，m23m0， 解得
13、m3. 1函数 f(x) sin x x21的图象大致为( ) 答案A 解析因为 f(x) sin x x21，所以 f(0)f()f()0，排除选项 C，D；当 0 x0， 所以当 0 x0，排除选项 B，故选 A. 2函数 f(x)xa满足 f(2)4，那么函数 g(x)|loga(x1)|的图象大致为() 答案C 解析由已知得 a2，所以 g(x)|log2(x1)|. 函数 ylog2(x1)在(1,0)上单调递增且 y0，所以函数 g(x) 在(1,0)上单调递减且 g(x)0，在(0，)上单调递增且 g(x)0，观察各选项，只有 C 符合 3若函数 yf(2x1)是偶函数，则函数
14、yf(x)图象的对称轴方程是() Ax1Bx1 Cx2Dx2 答案A 解析因为 f(2x1)是偶函数， 所以 f(2x1)f(2x1)，所以 f(x)f(2x)， 所以 f(x)图象的对称轴为直线 x1. 4已知函数 f(x)2ln x，g(x)x24x5，则方程 f(x)g(x)的根的个数为() A0B1 C2D3 答案C 解析在平面直角坐标系内作出 f(x)，g(x)的图象如图所示，由已知 g(x)(x2)21，得其 顶点为(2,1)，又 f(2)2ln 2(1,2)，可知点(2,1)位于函数 f(x)2ln x 图象的下方，故函数 f(x) 2ln x 的图象与函数 g(x)x24x5
15、的图象有 2 个交点 5函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位，所得图象与曲线 yex关于 y 轴对称，则 f(x)的解析式 为() Af(x)ex 1 Bf(x)ex 1 Cf(x)e x1 Df(x)e x1 答案D 解析与 yex的图象关于 y 轴对称的函数为 ye x.依题意，f(x)的图象向右平移一个单位，得 ye x的图象f(x)的图象由 yex的图象向左平移一个单位得到f(x)e(x1)ex1. 6对于函数 f(x)lg(|x2|1)，给出如下三个命题：f(x2)是偶函数；f(x)在区间(， 2)上是减函数，在区间(2，)上是增函数；f(x)没有最小值其中正确的个数为() A1
16、B2 C3D0 答案B 解析作出 f(x)的图象，可知 f(x)在(，2)上是减函数，在(2，)上是增函数；由图象 可知函数存在最小值 0.所以正确 7.如图，函数 f(x)的图象是曲线 OAB，其中点 O，A，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则 f 1 f3 _. 答案2 解析由图象知 f(3)1， 1 f31. f 1 f3 f(1)2. 8设函数 yf(x1)是定义在(，0)(0，)上的偶函数，在区间(，0)上是减函 数，且图象过点(1,0)，则不等式(x1)f(x)0 的解集为_ 答案x|x0 或 11， fx0 或 x1， fx0. 由图可知符合条件的解集为x|x
17、0 或 1x2 9(2017银川调研)给定 mina，b a，ab， b，ba， 已知函数 f(x)minx，x24x44， 若动直线 ym 与函数 yf(x)的图象有 3 个交点，则实数 m 的取值范围为_ 答案(4,5) 解析作出函数 f(x)的图象，函数 f(x)minx，x24x44 的图象如图所示，由于直线 y m 与函数 yf(x)的图象有 3 个交点，数形结合可得 m 的取值范围为(4,5) 10 已知定义在 R 上的函数 f(x) lg|x|，x0， 1，x0， 关于 x 的方程 f(x)c(c 为常数)恰有三个不 同的实数根 x1，x2，x3，则 x1x2x3_. 答案0 解
18、析方程 f(x)c 有三个不同的实数根等价于 yf(x)与 yc 的图象有三个交点，画出函数 f(x)的图象(图略)，易知 c1，且方程 f(x)c 的一根为 0，令 lg|x|1，解得 x10 或 10， 故方程 f(x)c 的另两根为10 和 10，所以 x1x2x30. 11函数 yln|x1|的图象与函数 y2cos x(2x4)的图象所有交点的横坐标之和为 _ 答案6 解析作出函数 yln|x1|的图象，又 y2cos x 的最小正周期为 T2，如图所示， 两图象都关于直线 x1 对称， 且共有 6 个交点， 由中点坐标公式可得所有交点的横坐标之和 为 6. 12已知 f(x)|x2
19、4x3|. (1)作出函数 f(x)的图象； (2)求函数 f(x)的单调区间，并指出其单调性； (3)求集合 Mm|使方程 f(x)m 有四个不相等的实根 解(1)当 x24x30 时，x1 或 x3， f(x) x24x3，x1 或 x3， x24x3，1x3， f(x)的图象为： (2)由函数的图象可知 f(x)的单调区间是(，1，(2,3)，(1,2，3，)，其中(，1， (2,3)是单调减区间；(1,2，3，)是单调增区间 (3)由 f(x)的图象知，当 0m1 时，f(x)m 有四个不相等的实根，所以 Mm|0m1 13已知函数 f(x) x22x1，x0， x22x1，x0， 则
20、对任意 x1，x2R，若 0|x1|x2|，下列不等式成 立的是() Af(x1)f(x2)0 Cf(x1)f(x2)0Df(x1)f(x2)0 答案D 解析函数 f(x)的图象如图实线部分所示， 且 f(x)f(x)，从而函数 f(x)是偶函数且在0，)上是增函数， 又 0|x1|f(x1)， 即 f(x1)f(x2)1， 若对任意的 xR，都有 f(x)|k1|成立，则实数 k 的取值范围为_ 答案 ，3 4 5 4， 解析对任意 xR，都有 f(x)|k1|成立， 即 f(x)max|k1|. 作出 f(x)的图象如图实线部分所示， 观察 f(x) x2x，x1， 1 3 log x ，
21、x1 的图象可知， 当 x1 2时，函数 f(x) max1 4， 所以|k1|1 4，解得 k 3 4或 k 5 4. 15对任意实数 a，b 定义运算“”：ab b，ab1， a，ab1. 设 f(x)(x21)(4x)，若 函数 g(x)f(x)k 的图象与 x 轴恰有三个不同的交点，则 k 的取值范围是_ 答案2,1) 解析解不等式 x21(4x)1，得 x2 或 x3， 所以 f(x) x4，x，23， x21，x2，3. 函数 g(x)f(x)k 的图象与 x 轴恰有三个不同的交点转化为函数 f(x)的图象和直线 yk 恰 有三个不同的交点作出函数 f(x)的图象如图所示， 所以1k2，故2k0 在 R 上恒成立，求 m 的取值范围 解(1)令 F(x)|f(x)2|2x2|， G(x)m，画出 F(x)的图象如图所示， 由图象看出， 当 m0 或 m2 时， 函数 F(x)与 G(x)的图象只有一个交点， 即原方程有一个解； 当 0m0)，H(t)t2t， 因为 H(t) t1 2 21 4在区间(0，)上是增函数，所以 H(t)H(0)0. 因此要使 t2tm 在区间(0，)上恒成立， 应有 m0， 即所求 m 的取值范围为(，0
