1、1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 最新考纲考情考向分析 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义 2.理解全称量词和存在量词的意义 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定 是高考的重点；命题的真假判断常以函数、 不等式为载体，考查学生的推理判断能力， 题型为选择、填空题，低档难度. 1简单的逻辑联结词 (1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词 (2)命题 p 且 q、p 或 q、非 p 的真假判断 pqp 且 qp 或 q非 p 真真真真假 真假假真假 假真假真真 假假假假真 2.全称量词和存在量词 (1)
2、全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表 示 (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号 “”表示 3全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定 命题名称语言表示符号表示命题的否定 全称命题 对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立 xM，p(x)x0M，綈 p(x0) 特称命题 存在 M 中的一个 x0， 使 p(x0)成立 x0M，p(x0)xM，綈 p(x) 知识拓展 1含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 (1)pq：p，q 中有一个为真，则 pq 为真，即有真为真 (2)pq：p，q 中有一个为假，则 pq 为假
3、，即有假即假 (3)綈 p：与 p 的真假相反，即一真一假，真假相反 2含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论” 3 命题的否定和否命题的区别： 命题“若 p， 则 q”的否定是“若 p， 则綈 q”， 否命题是“若 綈 p，则綈 q” 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)命题“32”是真命题() (2)命题 p 和綈 p 不可能都是真命题() (3)若命题 p，q 中至少有一个是真命题，则 pq 是真命题() (4)“全等三角形的面积相等”是特称命题() (5)命题綈(pq)是假命题，则命题 p，q 中至少有一个是真命题() 题组二教材改编 2P
4、18B 组已知 p：2 是偶数，q：2 是质数，则命题綈 p，綈 q，pq，pq 中真命题的个 数为() A1B2 C3D4 答案B 解析p 和 q 显然都是真命题，所以綈 p，綈 q 都是假命题，pq，pq 都是真命题 3P28T6(4)命题“正方形都是矩形”的否定是_ 答案存在一个正方形，这个正方形不是矩形 题组三易错自纠 4已知命题 p，q，“綈 p 为真”是“pq 为假”的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案A 解析由綈 p 为真知，p 为假，可得 pq 为假；反之，若 pq 为假，则可能是 p 真 q 假， 从而綈 p 为假，故“綈 p
5、为真”是“pq 为假”的充分不必要条件，故选 A. 5(2017贵阳调研)下列命题中的假命题是() Ax0R，lg x01Bx0R，sin x00 CxR，x30DxR，2x0 答案C 解析当 x10 时，lg 101，则 A 为真命题； 当 x0 时，sin 00，则 B 为真命题； 当 x0 时，x30，则 C 为假命题； 由指数函数的性质知，xR ，2x0，则 D 为真命题 故选 C. 6已知命题 p：xR，x2a0；命题 p：x0R，x202ax02a0.若命题“pq” 是真命题，则实数 a 的取值范围为_ 答案(，2 解析由已知条件可知 p 和 q 均为真命题，由命题 p 为真得 a
6、0，由命题 q 为真得4a2 4(2a)0，即 a2 或 a1，所以 a2. 题型一题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断含有逻辑联结词的命题的真假判断 1(2018济南调研)设 a，b，c 是非零向量已知命题 p：若 ab0，bc0，则 ac0；命 题 q：若 ab，bc，则 ac.则下列命题中的真命题是() ApqBpq C(綈 p)(綈 q)Dp(綈 q) 答案A 解析如图所示， 若 aA1A ，bAB ，cB 1B ，则 ac0，命题 p 为假命题；显然命题 q 为真命题，所以 pq 为真命题故选 A. 2(2017山东)已知命题 p：x0，ln(x1)0；命题 q：若 ab，则 a2b
7、2.下列命题为真 命题的是() ApqBp(綈 q) C(綈 p)qD(綈 p)(綈 q) 答案B 解析x0，x11，ln(x1)ln 10. 命题 p 为真命题，綈 p 为假命题 ab，取 a1，b2，而 121，(2)24， 此时 a2b2， 命题 q 为假命题，綈 q 为真命题 pq 为假命题，p(綈 q)为真命题，(綈 p)q 为假命题，(綈 p)(綈 q)为假命题 故选 B. 3已知命题 p：若平面平面，平面平面，则有平面平面.命题 q：在空间中，对 于三条不同的直线 a，b，c，若 ab，bc，则 ac.对以上两个命题，有以下命题： pq 为真；pq 为假；pq 为真；(綈 p)(
8、綈 q)为假 其中，正确的是_(填序号) 答案 解析命题 p 是假命题，这是因为与也可能相交；命题 q 也是假命题，这两条直线也可能 异面，相交 思维升华“pq”“pq”“綈 p”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题 p、q 的真假； (3)确定“pq”“pq”“綈 p”等形式命题的真假 题型二题型二含有一个量词的命题含有一个量词的命题 命题点 1全称命题、特称命题的真假 典例 下列四个命题： p1：x0(0，)， 00 11 ( )( ) 23 xx ； p2：x0(0,1)， 1010 23 loglogxx； p3：x(0，)， 1 2 x 1 2 l
9、og x； p4：x 0，1 3 ， 1 2 x 1 3 log x. 其中真命题是() Ap1，p3Bp1，p4 Cp2，p3Dp2，p4 答案D 解析对于 p1，当 x0(0，)时，总有 00 11 ( )( ) 23 xx 成立，故 p1是假命题； 对于 p2，当 x01 2时，有 1 1 2 1 log 2 1 3 1 log 3 1 3 1 log 2 成立，故 p2是真命题； 对于 p3，结合指数函数 y 1 2 x与对数函数 y 1 2 log x在(0，)上的图象，可以判断 p3是 假命题； 对于 p4，结合指数函数 y 1 2 x与对数函数 y 1 3 log x在 0，1
10、3 上的图象，可以判断 p4是真命 题 命题点 2含一个量词的命题的否定 典例 (1)命题“xR， 1 3 x0”的否定是( ) Ax0R， 0 1 ( ) 3 x 0BxR， 1 3 x0 CxR， 1 3 x0 Dx0R， 0 1 ( ) 3 x 0 答案D 解析全称命题的否定是特称命题，“”的否定是“” (2)(2017河北五个一名校联考)命题“x0R，1f(x0)2”的否定形式是() AxR，1f(x)2 Bx0R，1f(x0)2 Cx0R，f(x0)1 或 f(x0)2 DxR，f(x)1 或 f(x)2 答案D 解析特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“xR，f(x)1 或
11、 f(x)2” 思维升华 (1)判定全称命题“xM，p(x)”是真命题，需要对集合 M 中的每一个元素 x， 证明 p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个 xx0，使 p(x0)成立 (2)对全(特)称命题进行否定的方法 找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； 对原命题的结论进行否定 跟踪训练 (1)下列命题是假命题的是() A，R，使 cos()cos cos BR，函数 f(x)sin(2x)都不是偶函数 Cx0R，使 x30ax20bx0c0(a，b，cR 且为常数) Da0，函数 f(x)ln2xln xa 有零点 答案B 解析取
12、 2， 4，cos()cos cos ，A 正确； 取 2，函数 f(x)sin 2x 2 cos 2x 是偶函数，B 错误； 对于三次函数 yf(x)x3ax2bxc，当 x时，y，当 x时，y， 又 f(x)在 R 上为连续函数，故x0R，使 x30ax20bx0c0，C 正确； 当 f(x)0 时，ln2xln xa0，则有 aln2xln x ln x1 2 21 4 1 4，所以a0，函数 f(x)ln2xln xa 有零点，D 正确，综上可知，选 B. (2)(2017福州质检)已知命题 p：“x0R， 0 exx010”，则綈 p 为() Ax0R， 0 exx010 Bx0R，
13、 0 exx010 CxR，exx10 DxR，exx10 答案C 解析根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈 p 为“xR，exx10”，故选 C. 题型三题型三含参命题中参数的取值范围含参命题中参数的取值范围 典例 (1)已知命题 p：关于 x 的方程 x2ax40 有实根；命题 q：关于 x 的函数 y2x2ax 4 在3，)上是增函数，若 pq 是真命题，则实数 a 的取值范围是_ 答案12，44，) 解析若命题 p 是真命题，则a2160， 即 a4 或 a4；若命题 q 是真命题， 则a 43，即 a12. pq 是真命题，p，q 均为真， a 的取值范围是12，44，) (2)
14、已知 f(x)ln(x21)，g(x) 1 2 xm，若对x10,3，x21,2，使得 f(x1)g(x2)，则 实数 m 的取值范围是_ 答案 1 4， 解析当 x0,3时，f(x)minf(0)0，当 x1,2时， g(x)ming(2)1 4m，由 f(x) ming(x)min， 得 01 4m，所以 m 1 4. 引申探究 本例(2)中，若将“x21,2”改为“x21,2”，其他条件不变，则实数 m 的取值范围 是_ 答案 1 2， 解析当 x1,2时，g(x)maxg(1)1 2m， 由 f(x)ming(x)max，得 01 2m， m1 2. 思维升华 (1)已知含逻辑联结词的
15、命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求 解参数的取值范围(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义， 利用函数值域(或最值)解决 跟踪训练 (1)已知命题“x0R，使 2x20(a1)x01 20”是假命题，则实数 a 的取值范围 是() A(，1)B(1,3) C(3，)D(3,1) 答案B 解析原命题的否定为xR，2x2(a1)x1 20，由题意知，其为真命题，即(a1) 2 421 20，则2a12，即1a3. (2)(2017洛阳模拟)已知 p：x 1 4， 1 2 ，2xm(x21)，q：函数 f(x)4x2x1m1 存在零 点，若“p 且 q”为真
16、命题，则实数 m 的取值范围是_ 答案 4 5，1 解析由 2x 2x x21， 又 x 1 4， 1 2 时， 2x x21max4 5， 故当 p 为真时，m4 5； 函数 f(x)4x2x 1m1(2x1)2m2， 令 f(x)0，得 2x 2m1， 若 f(x)存在零点， 则 2m10，解得 m1， 故当 q 为真时，m0.则下列结论正确的是() A命题 pq 是真命题 B命题 p(綈 q)是真命题 C命题(綈 p)q 是真命题 D命题(綈 p)(綈 q)是假命题 答案C 解析因为对任意 xR，都有 cos x1 成立，而5 41，所以命题 p：x 0R，cos x05 4是假 命题；
17、因为对任意的 xR，x2x1 x1 2 23 40， 所以命题 q：xR，x2x10 是真命题 由此对照各个选项，可知命题(綈 p)q 是真命题 7下列命题中，真命题是() Ax0R， 0 ex0 BxR，2xx2 Cab0 的充要条件是a b1 D“a1，b1”是“ab1”的充分条件 答案D 解析因为 yex0，xR 恒成立，所以 A 不正确； 因为当 x5 时，2 5(5)2，所以 B 不正确； “a b1”是“ab0”的充分不必要条件，C 不正确； 当 a1，b1 时，显然 ab1，D 正确 8命题 p：xR，ax2ax10，若綈 p 是真命题，则实数 a 的取值范围是() A(0,4B
18、0,4 C(，04，)D(，0)(4，) 答案D 解析因为命题 p：xR，ax2ax10， 所以綈 p：x0R，ax20ax010， 则 a0 或 a0， a24a0， 解得 a0 或 a4. 9命题 p 的否定是“对所有正数 x， xx1”，则命题 p 可写为_ 答案x0(0，)， x0 x01 解析因为 p 是綈 p 的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可 10已知函数 f(x)的定义域为(a，b)，若“x0(a，b)，f(x0)f(x0)0”是假命题，则 f(a b)_. 答案0 解析若“x0(a，b)，f(x0)f(x0)0”是假命题，则“x(a，b)，f(x)f(x
19、)0” 是真命题，即 f(x)f(x)，则函数 f(x)是奇函数，则 ab0，即 f(ab)f(0)0. 11以下四个命题： xR，x23x20 恒成立；x0Q，x202；x0R，x2010；xR,4x22x 13x2.其中真命题的个数为_ 答案0 解析x23x20 的判别式(3)2420， 当 x2 或 x0 才成立， 为假命题； 当且仅当 x 2时，x22， 不存在 x0Q，使得 x202，为假命题； 对xR，x210，为假命题； 4x2(2x13x2)x22x1(x1)20， 即当 x1 时，4x22x13x2成立， 为假命题 均为假命题 故真命题的个数为 0. 12(2017江西五校联
20、考)已知命题 p：x0R，(m1)(x201)0，命题 q：xR，x2 mx10 恒成立若 pq 为假命题，则实数 m 的取值范围为_ 答案(，2(1，) 解析由命题 p：x0R，(m1)(x201)0，可得 m1，由命题 q：xR，x2mx 10 恒成立，可得2m1. 13已知命题 p：x22x30；命题 q： 1 3x1，若“(綈 q)p”为真，则 x 的取值范围是 _ 答案(，3)(1,23，) 解析因为“(綈 q)p”为真，即 q 假 p 真，而当 q 为真命题时， 1 3x1 x2 x30，即 2x0，解得 x1 或 x1 或 x3， x3 或 x2， 得 x3 或 1x2 或 x0
21、，则命题“p(綈 q)”是假 命题； 已知直线 l1：ax3y10，l2：xby10，则 l1l2的充要条件是a b3； 命题“若 x23x20，则 x1”的逆否命题是“若 x1，则 x23x20” 其中正确结论的序号为_ 答案 解析中命题 p 为真命题，命题 q 为真命题， 所以 p(綈 q)为假命题，故正确； 当 ba0 时，有 l1l2，故不正确； 正确，所以正确结论的序号为. 15已知命题 p：x0R， 0 exmx00，命题 q：xR，x2mx10，若 p(綈 q)为 假命题，则实数 m 的取值范围是_ 答案0,2 解析若 p(綈 q)为假命题，则 p 假 q 真 由 exmx0，可
22、得 me x x ，x0， 设 f(x)e x x ，x0，则 f(x)xe xex x2 x1e x x2 ， 当 x1 时， f(x)0， 函数 f(x)e x x 在(1， )上是单调递增函数； 当 0 x1 或 x0 时， f(x)0， 函数 f(x)e x x 在(0,1)和(，0)上是单调递减函数，所以当 x1 时，函数取得极小值 f(1)e， 所以函数 f(x)e x x 的值域是(，0)e，)，由 p 是假命题，可得 0m1，x2) (1)若x02，)，使 f(x0)m 成立，则实数 m 的取值范围为_； (2)若x12，)，x22, )，使得 f(x1)g(x2)，则实数 a 的取值范围为 _ 答案(1)3，)(2)(1， 3 解析(1)因为 f(x)x 2x1 x1 x 1 x1x1 1 x11213， 当且仅当 x2 时等号成 立，所以若x02，)，使 f(x0)m 成立，则实数 m 的取值范围为3，) (2)因为当 x2 时，f(x)3，g(x)a2，若x12，)，x22，)，使得 f(x1)g(x2)， 则 a23， a1， 解得 a(1， 3
