1、2.8函数与方程函数与方程 最新考纲考情考向分析 结合二次函数的图象， 了解函数的零点与 方程根的联系， 判断一元二次方程根的存 在性及根的个数. 利用函数零点的存在性定理或函数的图象， 对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方 程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高 考的热点，题型以选择、填空为主，也可和 导数等知识交汇出现解答题，中高档难度. 1函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 yf(x)(xD)，把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)(xD)的零点 (2)三个等价关系 方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点 (3)函
2、数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0)的图象与零点的关系 000) 的图象 与 x 轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点 零点个数210 知识拓展 有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点 (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点() (2
3、)函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a)f(b)0.() (3)二次函数 yax2bxc(a0)在 b24ac0 时没有零点() (4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当 x(4，)时，恒有 h(x)f(x)g(x)() 题组二教材改编 2P92A 组 T5函数 f(x)ln x2 x的零点所在的大致区间是( ) A(1,2)B(2,3) C. 1 e，1和(3,4)D(4，) 答案B 解析f(2)ln 210 且函数 f(x)的图象连续不断，f(x)为增函数， f(x)的零点在区间(2,3)内 3P88 例 1函数 f(x)ex3x 的零点
4、个数是_ 答案1 解析由已知得 f(x)ex30，所以 f(x)在 R 上单调递增，又 f(1)1 e30， 因此函数 f(x)有且只有一个零点 4P92A 组 T4函数 f(x) 1 2 x 1 2 x的零点个数为_ 答案1 解析作函数 y1 1 2 x和 y2 1 2 x的图象如图所示， 由图象知函数 f(x)有 1 个零点 题组三易错自纠 5已知函数 f(x)x x(x0)，g(x)xex，h(x)xln x 的零点分别为 x1，x2，x3，则() Ax1x2x3Bx2x1x3 Cx2x3x1Dx3x11， 则函数 f(x)有_个零点 答案1 解析当 x1 时，由 f(x)2x10，解得
5、 x0； 当 x1 时，由 f(x)1log2x0，解得 x1 2，又因为 x1，所以此时方程无解综上函数 f(x) 只有 1 个零点 7函数 f(x)ax12a 在区间(1,1)上存在一个零点，则实数 a 的取值范围是_ 答案 1 3，1 解析函数 f(x)的图象为直线，由题意可得 f(1)f(1)0， (3a1)(1a)0， 解得1 3a1， 实数 a 的取值范围是 1 3，1. 题型一题型一函数零点所在区间的判定函数零点所在区间的判定 1设 f(x)ln xx2，则函数 f(x)的零点所在的区间为() A(0,1)B(1,2) C(2,3)D(3,4) 答案B 解析f(1)ln 1121
6、0， f(1)f(2)0， 函数 f(x)ln xx2 的图象是连续的，且为增函数， f(x)的零点所在的区间是(1,2) 2若 abc，则函数 f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区 间() A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内 C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，) 答案A 解析ab0， f(b)(bc)(ba)0， 由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数 f(x)是二次函数， 最多有两个零点因此函数 f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选 A. 3设函数 y1x3与 y2
7、 1 2 x2的图象的交点为(x0，y0)，若 x0(n，n1)，nN，则 x0所在 的区间是_ 答案(1,2) 解析令 f(x)x3 1 2 x2，则 f(x0)0，易知 f(x)为增函数，且 f(1)0， x0所在的区间是(1,2) 思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理； (2)数形结合法 题型二题型二函数零点个数的判断函数零点个数的判断 典例 (1)函数 f(x) x22，x0， 2x6ln x，x0 的零点个数是_ 答案2 解析当 x0 时，令 x220，解得 x 2(正根舍去)，所以在(，0上有一个零点； 当 x0 时，f(x)21 x0 恒成立，所
8、以 f(x)在(0，)上是增函数 又因为 f(2)2ln 20，所以 f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数 f(x) 的零点个数为 2. (2)函数 f(x)4cos2x 2cos 2x2sin x|ln(x1)|的零点个数为_ 答案2 解析f(x)2(1cos x)sin x2sin x|ln(x1)|sin 2x|ln(x1)|，x1， 函数 f(x)的零点个数即为函数 y1sin 2x(x1)与 y2|ln(x1)|(x1)的图象的交点个数 分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则 f(x)有两个零点 思维升华 函数零点个数的判断方法： (1)直接求零点； (2)利用零点存
9、在性定理再结合函数的单调性确定零点个数； (3)利用函数图象的交点个数判断 跟踪训练 (1)已知函数 f(x) x22x，x0， |lg x|，x0， 则函数 g(x)f(1x)1 的零点个数为() A1B2 C3D4 答案C 解析g(x)f(1x)1 1x221x1，1x0， |lg1x|1，1x0 x24x2，x1， |lg1x|1，x1， 易知当 x1 时，函数 g(x)有 1 个零点；当 x0，即 a210a90， 解得 a9. 又由图象得 a0，0a9. 引申探究 本例中，若 f(x)a 恰有四个互异的实数根，则 a 的取值范围是_ 答案 0，9 4 解析作出 y1|x23x|，y2
10、a 的图象如图所示 当 x3 2时，y 19 4；当 x0 或 x3 时，y 10， 由图象易知，当 y1|x23x|和 y2a 的图象有四个交点时，0a0， 则使函数 g(x)f(x)xm 有零点的实数 m 的取值范围是 () A0,1)B(，1) C(，1(2，)D(，0(1，) 答案D 解析函数 g(x)f(x)xm 的零点就是方程 f(x)xm 的根，画出 h(x)f(x)x x，x0， exx，x0 的大致图象(图略) 观察它与直线 ym 的交点，得知当 m0 或 m1 时，有交点，即函数 g(x)f(x)xm 有零 点 命题点 3根据零点的范围求参数 典例 若函数 f(x)(m2)
11、x2mx(2m1)的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则 m 的取值范围是_ 答案 1 4， 1 2 解析依题意，结合函数 f(x)的图象分析可知 m 需满足 m2， f1f00， f1f20， 即 m2， m2m2m12m10， m2m2m14m22m2m10， 解得1 4m0， x2x，x0， 若函数 g(x)f(x)m 有三个零 点，则实数 m 的取值范围是_ 答案 1 4，0 解析作出函数 f(x)的图象如图所示 当 x0 时，f(x)x2x x1 2 21 4 1 4，若函数 f(x)与 ym 的图象有三个不同的交点，则 1 4m0，即实数 m 的取值范围是 1 4，0
12、. 利用转化思想求解函数零点问题 典例 (1)已知函数 f(x) x21，x0)， 则 at 21 t1 t 2 t11 2 t1 2 t1 ，其中 t11， 由基本不等式，得(t1) 2 t12 2， 当且仅当 t 21 时取等号，故 a22 2. 答案(1)(1,0)(2)(，22 2 1已知函数 f(x)6 xlog 2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是() A(0,1)B(1,2) C(2,4)D(4，) 答案C 解析因为 f(1)6log2160， f(2)3log2220， f(4)3 2log 241 20， 所以函数 f(x) 的零点所在区间为(2,4) 2已知 a
13、是函数 f(x)2x 1 2 log x的零点，若 0 x00 Cf(x0)0Df(x0)的符号不确定 答案C 解析f(x)在(0，)上是增函数，若 0 x0a， 则 f(x0)f(a)0. 3函数 f(x)2x2 xa 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a 的取值范围是( ) A(1,3)B(1,2) C(0,3)D(0,2) 答案C 解析因为 f(x)在(0，)上是增函数，则由题意得 f(1)f(2)(0a)(3a)0，解得 0a0， 则使方程 xf(x)m 有解的实数 m 的取值范围是() A(1,2) B(，2 C(，1)(2，) D(，12，) 答案D 解析当 x0 时，xf(x
14、)m，即 x1m，解得 m1；当 x0 时，xf(x)m，即 x1 x m，解得 m2，即实数 m 的取值范围是(，12，)故选 D. 5(2017山东)已知当 x0,1时，函数 y(mx1)2的图象与 y xm 的图象有且只有一个 交点，则正实数 m 的取值范围是() A(0,12 3，)B(0,13，) C(0， 22 3，)D(0， 23，) 答案B 解析在同一直角坐标系中，分别作出函数 f(x)(mx1)2m2 x1 m 2与 g(x) xm 的大 致图象 分两种情形： (1)当 0m1 时，1 m1，如图，当 x0,1时，f(x)与 g(x)的图象有一个交点，符合题意 (2)当 m1
15、 时，0 1 m1，如图，要使 f(x)与 g(x)的图象在0,1上只有一个交点，只需 g(1)f(1)，即 1m(m1)2，解得 m3 或 m0(舍去) 综上所述，m(0,13，) 故选 B. 6已知 f(x) x3，x1， x22x3，x1， 则函数 g(x)f(x)ex的零点个数为_ 答案2 解析函数 g(x)f(x)ex的零点个数即为函数 yf(x)与 yex的图象的交点个数作出函数 图象可知有 2 个交点，即函数 g(x)f(x)ex有 2 个零点 7若函数 f(x)x2axb 的两个零点是2 和 3，则不等式 af(2x)0 的解集是 _ 答案x| 3 2x0， 即(4x22x6)
16、02x2x30， 解集为 x| 3 2xa. 若存在实数 b，使函数 g(x)f(x)b 有两个零点，则 a 的取 值范围是_ 答案(，0)(1，) 解析令(x)x3(xa)，h(x)x2(xa)，函数 g(x)f(x)b 有两个零点，即函数 yf(x)的图 象与直线 yb 有两个交点，结合图象(图略)可得 ah(a)，即 aa2，解得 a1，故 a(，0)(1，) 9定义在 R 上的奇函数 f(x)满足：当 x0 时，f(x)2 015xlog2 015x，则在 R 上，函数 f(x) 零点的个数为_ 答案3 解析因为函数 f(x)为 R 上的奇函数， 所以 f(0)0，当 x0 时，f(x
17、)2 015xlog2 015x 在区间 0， 1 2 015 内存在一个零点，又 f(x)为 增函数， 因此在(0，)内有且仅有一个零点 根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一个零点， 从而函数 f(x)在 R 上的零点个数为 3. 10在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y2a 与函数 y|xa|1 的图象只有一个交点，则 a 的值为_ 答案1 2 解析函数 y|xa|1 的图象如图所示，因为直线 y2a 与函数 y|xa|1 的图象只有 一个交点，故 2a1，解得 a1 2. 11设函数 f(x)|1 1 x|(x0) (1)作出函数 f(x)的图象； (2)当 0ab 且 f(a)
18、f(b)时，求1 a 1 b的值； (3)若方程 f(x)m 有两个不相等的正根，求 m 的取值范围 解(1)如图所示 (2)f(x)|1 1 x| 1 x1，x0，1， 11 x，x1， 故 f(x)在(0,1上是减函数，而在(1，)上是增函数 由 0ab 且 f(a)f(b)，得 0a1b 且1 a11 1 b， 1 a 1 b2. (3)由函数 f(x)的图象可知，当 0m1 时，方程 f(x)m 有两个不相等的正根 12关于 x 的二次方程 x2(m1)x10 在区间0,2上有解，求实数 m 的取值范围 解显然 x0 不是方程 x2(m1)x10 的解， 01，设函数 f(x)axx4
19、 的零点为 m，函数 g(x)logaxx4 的 零点为 n，则1 m 1 n的最小值为_ 答案1 解析设 F(x)ax，G(x)logax，h(x)4x， 则 h(x)与 F(x)，G(x)的交点 A，B 横坐标分别为 m，n(m0，n0) 因为 F(x)与 G(x)关于直线 yx 对称， 所以 A，B 两点关于直线 yx 对称 又因为 yx 和 h(x)4x 交点的横坐标为 2，所以 mn4. 又 m0，n0， 所以1 m 1 n 1 m 1 n mn 4 1 4 2n m m n 1 4 22 n m m n 1. 当且仅当n m m n ，即 mn2 时等号成立 所以1 m 1 n的最
20、小值为 1. 16已知函数 f(x)x22x，g(x) x 1 4x，x0， x1，x0. (1)求 g(f(1)的值； (2)若方程 g(f(x)a0 有 4 个实数根，求实数 a 的取值范围 解(1)利用解析式直接求解得 g(f(1)g(3)312. (2)令 f(x)t，则原方程化为 g(t)a，易知方程 f(x)t 在(，1)上有 2 个不同的解，则原 方程有 4 个解等价于函数 yg(t)(t1)与 ya 的图象有 2 个不同的交点， 作出函数 yg(t)(t1) 的图象如图，由图象可知，当 1a5 4时，函数 yg(t)(t1)与 ya 有 2 个不同的交点，即所 求 a 的取值范围是 1，5 4 .
