1、8.8立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法(二二)求空间求空间角和距离角和距离 最新考纲考情考向分析 1.能用向量方法解决直线与直线、 直线与平面、平面与平面所成角的 计算问题 2.了解向量方法在研究立体几何问 题中的应用. 本节是高考中的必考内容，涉及用向量法计算空间 异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角及空 间距离等内容，考查热点是空间角的求解题型以 解答题为主，要求有较强的运算能力，广泛应用函 数与方程的思想、转化与化归思想. 1两条异面直线所成角的求法 设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2的方向向量，则 l1与 l2所成的角a 与 b 的夹角 范围0， 2 0， 求法cos
2、 |ab| |a|b| cos ab |a|b| 2.直线与平面所成角的求法 设直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为 n，直线 l 与平面所成的角为，a 与 n 的夹角为 ，则 sin |cos |an| |a|n|. 3求二面角的大小 (1)如图，AB，CD 分别是二面角l的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 AB ， CD (2)如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满 足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量 n1与 n2的夹角(或其补角) 知识拓展 利用空间向量求距离(供选用) (1)两点间的距离 设点 A(x1，y1，z
3、1)，点 B(x2，y2，z2)，则|AB|AB | x 1x22y1y22z1z22. (2)点到平面的距离 如图所示，已知 AB 为平面的一条斜线段，n 为平面的法向量，则 B 到平面的距离为|BO | |AB n| |n| . 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角() (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角() (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角() (4)两异面直线夹角的范围是 0， 2 ，直线与平面所成角的范围是 0， 2 ，二面角的范围是0， () (5)若二面
4、角a的两个半平面，的法向量 n1，n2所成角为，则二面角a的大小 是.() 题组二教材改编 2P104T2已知两平面的法向量分别为 m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为() A45B135 C45或 135D90 答案C 解析cosm，n mn |m|n| 1 1 2 2 2 ，即m，n45. 两平面所成二面角为 45或 18045135. 3 P117A 组 T4(2)如图， 正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面边长为 2， 侧棱长为 2 2，则 AC1与侧面 ABB1A1所成的角为_ 答案 6 解析以 A 为原点，以AB ，AE(AEAB)，AA
5、 1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴(如图)建立空 间直角坐标系，设 D 为 A1B1的中点， 则 A(0,0,0)，C1(1，3，2 2)，D(1,0,2 2)，AC1 (1，3，2 2)， AD (1,0,2 2) C1AD 为 AC1与平面 ABB1A1所成的角， cosC1AD AC1 AD |AC1 |AD | 1， 3，2 21，0，2 2 12 9 3 2 ， 又C1AD 0， 2 ，C1AD 6. 题组三易错自纠 4在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BCA90，M，N 分别是 A1B1，A1C1的中点，BCCA CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为() A. 1
6、 10 B.2 5 C. 30 10 D. 2 2 答案C 解析以点 C 为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示 的空间直角坐标系 设直三棱柱的棱长为 2，则可得 A(2,0,0)，B(0,2,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，BM (1，1,2)， AN (1,0,2) cosBM ， AN BM AN |BM |AN | 14 121222 120222 3 6 5 30 10 . 5已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面的方向向量和法向量，若 cosm，n1 2，则 l 与所成的角为_ 答案30 解析设 l 与所成角为，cosm，n1
7、 2， sin |cosm，n|1 2，090，30. 6过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA平面 ABCD，若 ABPA，则平面 ABP 与平面 CDP 所成的角为_ 答案45 解析如图，以点 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设 ABPA1， 则 A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)， 由题意， 知 AD平面 PAB， 设 E 为 PD 的中点， 连接 AE， 则 AEPD， 又 CD平面 PAD， CDAE，从而 AE平面 PCD. AD (0,1,0)，AE 0，1 2， 1 2 分别是平面 PAB，
8、平面 PCD 的法向量，且AD ， AE 45. 故平面 PAB 与平面 PCD 所成的角为 45. 题型一求异面直线所成的角 典例 如图，四边形 ABCD 为菱形，ABC120，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE 平面 ABCD，DF平面 ABCD，BE2DF，AEEC. (1)证明：平面 AEC平面 AFC； (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 (1)证明如图所示，连接 BD，设 BDACG，连接 EG，FG，EF. 在菱形 ABCD 中，不妨设 GB1. 由ABC120， 可得 AGGC 3. 由 BE平面 ABCD，ABBC2，可知 AEEC. 又 AEEC，所
9、以 EG 3，且 EGAC. 在 RtEBG 中，可得 BE 2，故 DF 2 2 . 在 RtFDG 中，可得 FG 6 2 . 在直角梯形 BDFE 中，由 BD2，BE 2，DF 2 2 ，可得 EF3 2 2 ，从而 EG2FG2EF2， 所以 EGFG. 又 ACFGG，AC，FG平面 AFC， 所以 EG平面 AFC. 因为 EG平面 AEC，所以平面 AEC平面 AFC. (2)解如图， 以 G 为坐标原点， 分别以 GB， GC 所在直线为 x 轴， y 轴， |GB |为单位长度， 建立空间直角坐标系 Gxyz，由(1)可得 A(0， 3，0)，E(1,0， 2)，F 1，0
10、， 2 2 ，C(0，3，0)， 所以AE (1，3， 2)，CF1， 3， 2 2 . 故 cosAE ， CF AE CF |AE |CF| 3 3 . 所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为 3 3 . 思维升华 用向量法求异面直线所成角的一般步骤 (1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系； (2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值 跟踪训练 (2017广东五校第一次诊断)如图所示，菱形 ABCD 中，ABC60，AC 与 BD 相 交于点 O，
11、AE平面 ABCD，CFAE，ABAE2. (1)求证：BD平面 ACFE； (2)当直线 FO 与平面 BED 所成的角为 45时，求异面直线 OF 与 BE 所成角的余弦值的大小 (1)证明四边形 ABCD 是菱形， BDAC. AE平面 ABCD，BD平面 ABCD， BDAE. 又ACAEA，AC，AE平面 ACFE， BD平面 ACFE. (2)解以 O 为原点，OA，OB 所在直线分别为 x 轴，y 轴，过 O 且平行 于 CF 的直线为 z 轴(向上为正方向)，建立空间直角坐标系，则 B(0，3， 0)，D(0， 3，0)，E(1,0,2)，F(1,0，a)(a0)，OF (1,
12、0，a) 设平面 EBD 的法向量为 n(x，y，z)， 则有 nOB 0， nOE 0， 即 3y0， x2z0， 令 z1，则 n(2,0,1)， 由题意得 sin 45|cosOF ，n|OF n| |OF |n| |2a| a21 5 2 2 ， 解得 a3 或 a1 3(舍去) OF (1,0,3)，BE (1， 3，2)， cosOF ， BE 16 10 8 5 4 ， 故异面直线 OF 与 BE 所成角的余弦值为 5 4 . 题型二求直线与平面所成的角 典例 (2016全国)如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ADBC，ABADAC3， PABC4，M 为线段 A
13、D 上一点，AM2MD，N 为 PC 的中点 (1)证明：MN平面 PAB； (2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值 (1)证明由已知得 AM2 3AD2. 取 BP 的中点 T，连接 AT，TN，由 N 为 PC 的中点知 TNBC，TN1 2BC2. 又 ADBC，故 TN 綊 AM，四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MNAT. 因为 AT平面 PAB，MN平面 PAB，所以 MN平面 PAB. (2)解取 BC 的中点 E，连接 AE. 由 ABAC 得 AEBC， 从而 AEAD，AEAB2BE2AB2 BC 2 2 5. 以 A 为坐标原点，AE，AD，AP 所在直线
14、分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角 坐标系 Axyz. 由题意知， P(0,0,4)， M(0,2,0)， C( 5， 2,0)， N 5 2 ，1，2 ， PM (0,2， 4)， PN 5 2 ，1，2 ， AN 5 2 ，1，2 . 设 n(x，y，z)为平面 PMN 的法向量，则 nPM 0， nPN 0， 即 2y4z0， 5 2 xy2z0， 可取 n(0,2,1) 于是|cosn， AN | |nAN | |n|AN | 8 5 25 . 设 AN 与平面 PMN 所成的角为，则 sin 8 5 25 ， 即直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为8 5
15、25 . 思维升华 利用向量法求线面角的方法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或 其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就 是斜线和平面所成的角 跟踪训练 如图，在直棱柱 ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1， ADAA13. (1)证明：ACB1D； (2)求直线 B1C1与平面 ACD1所成角的正弦值 (1)证明易知 AB，AD，AA1两两垂直， 如图，以 A 为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐 标系 设 A
16、Bt，则相关各点的坐标为 A(0,0,0)，B(t,0,0)， B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3) 从而B1D (t,3，3)，AC (t,1,0)，BD (t,3,0)， 因为 ACBD，所以AC BD t2300， 解得 t 3或 t 3(舍去) 于是B1D ( 3，3，3)，AC ( 3，1,0)， 因为AC B 1D 3300， 所以AC B 1D ，即 ACB1D. (2)解由(1)知，AD1 (0,3,3)，AC ( 3，1,0)， B1C1 (0,1,0)， 设 n(x，y，z)是平面 ACD1的一个法向量， 则 nAC
17、 0， nAD1 0， 即 3xy0， 3y3z0， 令 x1，则 n(1， 3， 3) 设直线 B1C1与平面 ACD1所成的角为， 则 sin |cosn， B1C1 |nB1C1 | |n|B1C1 | 3 7 21 7 ， 即直线 B1C1与平面 ACD1所成角的正弦值为 21 7 . 题型三求二面角 典例 (2017全国)如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD， ABBC1 2AD，BADABC90，E 是 PD 的中点 (1)证明：直线 CE平面 PAB； (2)点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45，求二面
18、角 M-AB-D 的余弦值 (1)证明取 PA 的中点 F，连接 EF，BF. 因为 E 是 PD 的中点，所以 EFAD，EF1 2AD. 由BADABC90，得 BCAD，又 BC1 2AD， 所以 EF 綊 BC，四边形 BCEF 是平行四边形，CEBF， 又 BF平面 PAB，CE平面 PAB， 故 CE平面 PAB. (2)解由已知得 BAAD，以 A 为坐标原点，AB，AD 所在直线分别为 x 轴，y 轴，|AB |为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz， 则 A(0,0,0)， B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1， 3)，PC (1,0， 3)，AB (1
19、,0,0) 设 M(x，y，z)(0 x1)，则 BM (x1，y，z)，PM (x，y1，z 3) 因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45， 而 n(0,0,1)是底面 ABCD 的法向量， 所以|cosBM ，n|sin 45， |z| x12y2z2 2 2 ， 即(x1)2y2z20. 又 M 在棱 PC 上，设PM PC ，则 x，y1，z 3 3. 由解得 x1 2 2 ， y1， z 6 2 (舍去)或 x1 2 2 ， y1， z 6 2 ， 所以 M 1 2 2 ，1， 6 2 ，从而AM 1 2 2 ，1， 6 2 . 设 m(x0，y0，z0)是平面 ABM 的法
20、向量，则 mAM 0， mAB 0， 即 2 2x02y0 6z00， x00， 所以可取 m(0， 6，2) 于是 cosm，n mn |m|n| 10 5 . 由图可知二面角 MABD 是锐角， 所以二面角 M-AB-D 的余弦值为 10 5 . 思维升华 利用向量法计算二面角大小的常用方法 (1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向 量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小 (2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的 两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 跟踪训练 (2
21、017天津)如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA底面 ABC，BAC90.点 D，E，N 分别为棱 PA，PC，BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，PAAC4，AB2. (1)求证：MN平面 BDE； (2)求二面角 C-EM-N 的正弦值； (3)已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 7 21，求线段 AH 的长 (1)证明如图，以 A 为原点，分别以 AB，AC，AP 所在直线为 x 轴， y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系由题意，可得 A(0,0,0)，B(2,0,0)， C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)， M
22、(0,0,1)，N(1,2,0) DE (0,2,0)，DB (2,0，2) 设 n(x，y，z)为平面 BDE 的一个法向量， 则 nDE 0， nDB 0， 即 2y0， 2x2z0. 不妨设 z1， 可得 n(1,0,1)又MN (1,2，1)，可得MN n0. 因为 MN平面 BDE，所以 MN平面 BDE. (2)解易知 n1(1,0,0)为平面 CEM 的一个法向量 设 n2(x1，y1，z1)为平面 EMN 的一个法向量， 则 n2EM 0， n2MN 0， 因为EM (0，2，1)，MN (1,2，1)， 所以 2y1z10， x12y1z10. 不妨设 y11，可得 n2(4
23、,1，2) 因此 cosn1，n2 n1n2 |n1|n2| 4 21， 于是 sinn1，n2 105 21 . 所以二面角 C-EM-N 的正弦值为 105 21 . (3)解由题意，设 AHh(0h4)， 则 H(0,0，h)，进而可得NH (1，2，h)， BE (2,2,2) 由已知，得|cosNH ， BE |NH BE | |NH |BE | |2h2| h252 3 7 21， 整理得 10h221h80，解得 h8 5或 h 1 2. 所以线段 AH 的长为8 5或 1 2. 题型四求空间距离(供选用) 典例 (2018株洲模拟)如图，BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三
24、角形，平面 MCD平面 BCD，AB平面 BCD，AB2 3，求点 A 到平面 MBC 的距离 解如图， 取CD的中点O， 连接OB， OM， 因为BCD与MCD均为正三角形， 所以OBCD， OMCD，又平面 MCD平面 BCD，平面 MCD平面 BCDCD，OM平面 MCD，所以 MO平面 BCD. 以 O 为坐标原点，直线 OC，BO，OM 分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz. 因为BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形， 所以 OBOM 3， 则 O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0， 3)，B(0， 3，0)，A(0， 3，2 3)， 所以B
25、C (1，3，0)， BM (0，3， 3) 设平面 MBC 的法向量为 n(x，y，z)， 由 nBC ， nBM 得 nBC 0， nBM 0， 即 x 3y0， 3y 3z0， 取 x 3，可得平面 MBC 的一个法向量为 n( 3，1,1) 又BA (0,0,2 3)， 所以所求距离为 d|BA n| |n| 2 15 5 . 思维升华 求点面距一般有以下三种方法： (1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离 (2)等体积法 (3)向量法其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便 跟踪训练 (2018武昌质检)如图所示，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD底面 A
26、BCD，侧棱 PAPD 2，PAPD，底面 ABCD 为直角梯形，其中 BCAD，ABAD，ABBC1，O 为 AD 的中点 (1)求直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值； (2)求 B 点到平面 PCD 的距离； (3)线段 PD 上是否存在一点 Q，使得二面角 QACD 的余弦值为 6 3 ？若存在，求出PQ QD的 值；若不存在，请说明理由 解(1)在PAD 中，PAPD，O 为 AD 的中点， POAD. 又侧面 PAD底面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，PO平面 PAD， PO平面 ABCD. 在PAD 中，PAPD，PAPD 2，AD2. 在直角梯形 ABCD 中
27、，O 为 AD 的中点，OABC1， OCAD. 以 O 为坐标原点，OC 所在直线为 x 轴，OD 所在直线为 y 轴，OP 所在直线为 z 轴建立空间 直角坐标系，如图所示， 则 P(0,0,1)，A(0，1,0)，B(1，1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)， PB (1，1，1) OAOP，OAOC，OPOCO， OA平面 POC. OA (0，1,0)为平面 POC 的法向量， cosPB ， OA PB OA |PB |OA | 3 3 ， PB 与平面 POC 所成角的余弦值为 6 3 . (2)PB (1，1，1)， 设平面 PCD 的法向量为 u(x，y，z)， 则
28、uCP xz0， uPD yz0. 取 z1，得 u(1,1,1) 则 B 点到平面 PCD 的距离 d|PB u| |u| 3 3 . (3)假设存在，且设PQ PD (01) PD (0,1，1)，OQ OP PQ (0，)， OQ (0，1)，Q(0，1) 设平面 CAQ 的法向量为 m(x1，y1，z1)， 则 mAC x 1y10， mAQ 1y11z10. 取 z11，得 m(1，1，1) 平面 CAD 的一个法向量为 n(0,0,1)， 二面角 QACD 的余弦值为 6 3 ， |cosm，n|mn| |m|n| |1| 1212121 6 3 ， 整理化简，得 321030.
29、解得1 3或3(舍去)， 线段 PD 上存在满足题意的点 Q，且PQ QD 1 2. 利用空间向量求解空间角 典例 (12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ADAB，ABDC，ADDC AP2，AB1，点 E 为棱 PC 的中点 (1)证明：BEDC； (2)求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值； (3)若 F 为棱 PC 上一点，满足 BFAC，求二面角 FABP 的余弦值 规范解答 (1)证明由题意，以点 A 为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴， 建立空间直角坐标系如图， 可得 B(1,0,0)， C(2,2,0)， D(0
30、,2,0)，P(0,0,2)1 分 由 E 为棱 PC 的中点，得 E(1,1,1) BE (0,1,1)，DC (2,0,0)， 故BE DC 0，所以 BEDC.3 分 (2)解BD (1,2,0)，PB (1,0，2) 设 n(x，y，z)为平面 PBD 的一个法向量， 则 nBD 0， nPB 0， 即 x2y0， x2z0. 不妨令 y1，5 分 可得 n(2,1,1) 于是有 cosn， BE nBE |n|BE | 2 6 2 3 3 ， 所以直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为 3 3 .7 分 (3)解BC (1,2,0)，CP (2，2,2)，AC (2,2,0)，
31、AB (1,0,0) 由点 F 在棱 PC 上，设CF CP (01)， 故BF BCCFBCCP(12，22，2) 由 BFAC，得BF AC0， 因此，2(12)2(22)0， 解得3 4， 即BF 1 2， 1 2， 3 2 .9 分 设 n1(x1，y1，z1)为平面 FAB 的一个法向量， 则 n1AB 0， n1BF 0， 即 x10， 1 2x 11 2y 13 2z 10. 不妨令 z11，可得 n1(0，3,1) 取平面 ABP 的法向量 n2(0,1,0)， 则 cosn1，n2 n1n2 |n1|n2| 3 101 3 10 10 . 因为二面角 FABP 是锐角， 所以
32、其余弦值为3 10 10 .12 分 利用向量求空间角的步骤 第一步：建立空间直角坐标系； 第二步：确定点的坐标； 第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标； 第四步：计算向量的夹角(或函数值)； 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角； 第六步：反思回顾查看关键点、易错点和答题规范 1(2018抚顺调研)在正方体 A1B1C1D1ABCD 中，AC 与 B1D 所成角的大小为() A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 答案D 解析以 A 点为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为 x 轴，y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为 1， 则 A(0,0,0
33、)，C(1,1,0)，B1(1,0,1)，D(0,1,0) AC (1,1,0)，B 1D (1,1，1)， AC B 1D 1(1)110(1)0， AC B 1D ，AC 与 B1D 所成的角为 2. 2.如图所示， 三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱长为 3， 底面边长 A1C1B1C11， 且A1C1B190， D 点在棱 AA1上且 AD2DA1，P 点在棱 C1C 上，则PD PB1 的最小值为() A.5 2 B1 4 C.1 4 D5 2 答案B 解析以 C 点为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 D(1,0,2
34、)，B1(0,1,3)， 设 P(0,0，z)，其中 0z3，则PD (1,0,2z)，PB1 (0,1,3z)， PD PB1 00(2z)(3z) z5 2 21 4， 故当 z5 2时，PD PB1 取得最小值1 4. 3在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 为 BB1的中点，则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐 二面角的余弦值为() A.1 2 B.2 3 C. 3 3 D. 2 2 答案B 解析以 A 为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如 图所示的空间直角坐标系 Axyz，设棱长为 1， 则 A1(0,0,1)，E 1，0，1 2
35、，D(0,1,0)， A1D (0,1，1)，A1E 1，0，1 2 . 设平面 A1ED 的一个法向量为 n1(1，y，z)， 则有 A1D n10， A1E n10， 即 yz0， 11 2z0， y2， z2， n1(1,2,2) 平面 ABCD 的一个法向量为 n2(0,0,1)， cosn1，n2 2 31 2 3， 即所成的锐二面角的余弦值为2 3. 4.(2017西安调研)已知六面体 ABCA1B1C1是各棱长均等于 a 的正三棱柱，D 是侧棱 CC1的 中点，则直线 CC1与平面 AB1D 所成的角为() A45B60 C90D30 答案A 解析如图所示，取 AC 的中点 N，
36、连接 NB，以 N 为坐标原点，NB，NC 所 在直线分别为 x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系 则 A 0，a 2，0，C 0，a 2，0， B1 3a 2 ，0，a ，D 0，a 2， a 2 ， C1 0，a 2，a， AB1 3a 2 ，a 2，a，AD 0，a，a 2 ，CC1 (0,0，a) 设平面 AB1D 的法向量为 n(x，y，z)， 由 nAB1 0，nAD 0，可取 n( 3，1，2) cosCC1 ，n CC1 n |CC1 |n| 2a a2 2 2 2 ， 直线与平面所成角的范围是0，90， 直线 CC1与平面 AB1D 所成的角为 45. 5 (2018大同模拟)
37、设正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2， 则点 D1到平面 A1BD 的距离是() A. 3 2 B. 2 2 C.2 2 3 D.2 3 3 答案D 解析如图，以点 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立坐 标系， 则 D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)， D1A1 (2,0,0)，DB (2,2,0)，DA1 (2,0,2)， 设平面 A1BD 的一个法向量 n(x，y，z)， 则 nDA1 0， nDB 0， 2x2z0， 2x2y0， 令 z1，得 n(1,1,1) D1到平面 A1BD 的距离 d
38、|D1A1 n| |n| 2 3 2 3 3 . 6二面角的棱上有 A，B 两点，直线 AC，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直 于 AB.已知 AB4，AC6，BD8，CD2 17，则该二面角的大小为() A150B45 C60D120 答案C 解析如图所示，二面角的大小就是AC ， BD CD CA ABBD ， CD 2CA2AB2BD22(CAABCABD AB BD ) CA 2AB2BD22CABD ， CA BD 1 2(2 17) 262428224. 因此AC BD 24，cosAC ， BD AC BD |AC |BD | 1 2， 又AC ，BD0，180，
39、AC ， BD 60，故二面角为 60. 7(2017昆明质检)如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1底面 ABC，ABBCAA1， ABC90， 点 E， F 分别是棱 AB， BB1的中点， 则直线 EF 和 BC1所成的角是_ 答案60 解析以 B 点为坐标原点，以 BC 所在直线为 x 轴，BA 所在直线为 y 轴，BB1所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系设 ABBCAA12， 则 C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)， 则EF (0，1,1)，BC 1 (2,0,2)， EF BC 1 2， cosEF ， BC 1 2 22 2 1 2， 异面直线所
40、成角的范围是(0,90， EF 和 BC1所成的角为 60. 8(2018南宁质检)在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则直线 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值为_ 答案 2 3 解析以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系， 如图， 设 AA12AB2， 则 D(0,0,0)， C(0,1,0)， B(1,1,0)， C1(0,1,2)，则DC (0,1,0)，DB (1,1,0)，DC1 (0,1,2) 设平面 BDC1的一个法向量为 n(x，y，z)，则 nDB ，nDC1 ， 所以有 xy0， y2z0，
41、 令 y2，得平面 BDC1的一个法向量为 n(2，2,1) 设 CD 与平面 BDC1所成的角为， 则 sin |cosn， DC | |nDC | |n|DC | 2 3. 9 已知点 E， F 分别在正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 BB1， CC1上， 且 B1E2EB， CF2FC1， 则平面 AEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的正切值为_ 答案 2 3 解析方法一延长 FE，CB 相交于点 G，连接 AG，如图所示 设正方体的棱长为 3，则 GBBC3，作 BHAG 于点 H，连接 EH，则EHB 为所求锐二 面角的平面角 BH3 2 2 ，EB1， tanEHBEB BH
42、 2 3 . 方法二如图，以点 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz， 设 DA1，由已知条件得 A(1,0,0)，E 1，1，1 3 ， F 0，1，2 3 ，AE 0，1，1 3 ， AF 1，1，2 3 ， 设平面 AEF 的法向量为 n(x，y，z)， 平面 AEF 与平面 ABC 所成的锐二面角为， 由 nAE 0， nAF 0， 得 y1 3z0， xy2 3z0. 令 y1，z3，x1，则 n(1,1，3)， 取平面 ABC 的法向量为 m(0,0，1)， 则 cos |cosn，m|3 11 11 ，tan 2
43、 3 . 10 (2017河北石家庄二模)设二面角CD的大小为 45， A 点在平面内， B 点在 CD 上， 且ABC45，则 AB 与平面所成角的大小为_ 答案30 解析如图，作 AE平面于点 E，在平面内过 E 作 EFCD 于点 F，连接 AF， AECD，AEEFE， CD平面 AEF，AFCD， 所以AFE 为二面角CD的平面角， 所以AFE45， 因为ABC45， 所以BAF45. 连接 BE，则ABE 为 AB 与平面所成的角 设 AEm，则 EFm，AF 2m，BF 2m，AB2m， 所以 sinABEAE AB 1 2， 又因为ABE 为锐角，所以ABE30. 11(201
44、7洛阳二模)已知三棱锥 ABCD，AD平面 BCD，BDCD，ADBD2，CD 2 3，E，F 分别是 AC，BC 的中点，P 为线段 BC 上一点，且 CP2PB. (1)求证：APDE； (2)求直线 AC 与平面 DEF 所成角的正弦值 (1)证明作 PGBD 交 CD 于 G，连接 AG. CG GD CP PB2，GD 1 3CD 2 3 3 . AD平面 BCD，ADDC， 在 RtADG 中，tanGAD 3 3 ， DAG30， 在 RtADC 中，AC2AD2CD241216， AC4，又 E 为 AC 的中点，DEAE2， 又 AD2，ADE60，AGDE. AD平面 BC
45、D，ADBD， 又BDCD，ADCDD，AD，CD平面 ADC， BD平面 ADC， PG平面 ADC，PGDE. 又AGPGG，AG，PG平面 AGP， DE平面 AGP， 又 AP平面 AGP，APDE. (2)解以 D 为坐标原点，DB，DC，DA 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标 系 Dxyz， 则 D(0,0,0)，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2 3，0)，E(0，3，1)，F(1，3，0)， DF (1，3，0)，DE (0，3，1)，AC (0,2 3，2) 设平面 DEF 的法向量为 n(x，y，z)， 则 DF n0， DE n0， 即
46、x 3y0， 3yz0， 令 x3，则 n(3， 3，3) 设直线 AC 与平面 DEF 所成的角为， 则 sin |cosAC ，n|AC n| |AC |n| |66| 4 21 21 7 ， AC 与平面 DEF 所成角的正弦值为 21 7 . 12.如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯 形，ADC90，ADBC，ABAC，ABAC 2，点 E 在 AD 上，且 AE2ED. (1)已知点 F 在 BC 上，且 CF2FB，求证：平面 PEF平面 PAC； (2)当二面角 APBE 的余弦值为多少时，直线 PC 与平面 PAB 所成的角为 45？
47、(1)证明ABAC，ABAC，ACB45， 底面 ABCD 是直角梯形，ADC90，ADBC， ACD45，即 ADCD，AC 2AD， 又 ABAC，BC 2AC2AD， AE2ED，CF2FB，AEBF2 3AD， 又AEBF， 四边形 ABFE 是平行四边形，ABEF， ACEF， PA底面 ABCD，PAEF， PAACA，PA，AC平面 PAC， EF平面 PAC， 又 EF平面 PEF，平面 PEF平面 PAC. (2)解PAAC，ACAB，PAABA， PA，AB平面 PAB， AC平面 PAB，则APC 为 PC 与平面 PAB 所成的角， 若 PC 与平面 PAB 所成的角为
48、 45， 则 tanAPCAC PA1，即 PAAC 2， 取 BC 的中点 G，连接 AG， 则 AGBC，以 A 为坐标原点，AG，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所 示的空间直角坐标系 Axyz， 则 A(0,0,0)，B(1，1,0)，C(1,1,0)，E 0，2 3，0，P(0,0， 2)， EB 1，5 3，0，EP 0，2 3， 2， 设平面 PBE 的法向量为 n(x，y，z)， 则 nEB 0， nEP 0， 即 x5 3y0， 2 3y 2z0， 令 y3，则 x5，z 2，n(5,3， 2) AC (1,1,0)是平面 PAB 的一个法向量，
49、cosn， AC 53 26 2 2 3 ， 即当二面角 APBE 的余弦值为2 2 3 时，直线 PC 与平面 PAB 所成的角为 45. 13(2017全国)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异 面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为() A. 3 2 B. 15 5 C. 10 5 D. 3 3 答案C 解析方法一将直三棱柱 ABCA1B1C1补形为直四棱柱 ABCDA1B1C1D1，如图所示， 连接 AD1，B1D1，BD. 图 由题意知ABC120，AB2，BCCC11， 所以 AD1BC1 2，AB1 5，DAB60. 在ABD 中，由余
50、弦定理知 BD22212221cos 603，所以 BD 3，所以 B1D1 3. 又 AB1与 AD1所成的角即为 AB1与 BC1所成的角， 所以 cos AB 2 1AD21B1D21 2AB1AD1 523 2 5 2 10 5 . 故选 C. 方法二以 B1为坐标原点，B1C1所在的直线为 x 轴，垂直于 B1C1的直线为 y 轴，BB1所在的 直线为 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示 图 由已知条件知 B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(1，3，1)，则BC1 (1,0，1)，AB1 (1， 3，1) 所以 cosAB1 ， BC1 AB1 BC1 |A
