1、9.3圆的方程圆的方程 最新考纲考情考向分析 掌握确定圆的几何要素，掌 握圆的标准方程与一般方程. 以考查圆的方程，与圆有关的轨迹问题、最值问题也 是考查的热点，属中档题题型主要以选择、填空题 为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解 答题中出现. 圆的定义与方程 定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方 程 标准式(xa)2(yb)2r2(r0) 圆心为(a，b) 半径为 r 一般式x2y2DxEyF0 充要条件：D2E24F0 圆心坐标： D 2， E 2 半径 r1 2 D2E24F 知识拓展 1确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤： (1
2、)根据题意，选择标准方程或一般方程 (2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组 (3)解出 a，b，r 或 D，E，F 代入标准方程或一般方程 2点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种 已知圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点 M(x0，y0) (1)点在圆上：(x0a)2(y0b)2r2； (2)点在圆外：(x0a)2(y0b)2r2； (3)点在圆内：(x0a)2(y0b)20.() (4)方程 x22axy20 一定表示圆() (5)若点 M(x0，y0)在圆 x2y2DxEyF0 外，则 x20y20Dx0Ey0F0.() (6)方程(xa)2(yb)2t2(t
3、R)表示圆心为(a，b)，半径为 t 的圆() 题组二教材改编 2P132A 组 T3(2018南昌模拟)以点(3，1)为圆心，并且与直线 3x4y0 相切的圆的方 程是() A(x3)2(y1)21 B(x3)2(y1)21 C(x3)2(y1)21 D(x3)2(y1)21 答案A 3 P124A 组 T4圆 C 的圆心在 x 轴上， 并且过点 A(1,1)和 B(1,3)， 则圆 C 的方程为_ 答案(x2)2y210 解析设圆心坐标为 C(a,0)， 点 A(1,1)和 B(1,3)在圆 C 上， |CA|CB|， 即 a121 a129， 解得 a2， 圆心为 C(2,0)， 半径|
4、CA| 2121 10， 圆 C 的方程为(x2)2y210. 题组三易错自纠 4若方程 x2y2mx2y30 表示圆，则 m 的取值范围是() A(， 2)( 2，) B(，2 2)(2 2，) C(， 3)( 3，) D(，2 3)(2 3，) 答案B 解析将 x2y2mx2y30 化为圆的标准方程得 xm 2 2(y1)2m2 4 2. 由其表示圆可得m 2 4 20，解得 m2 2. 5若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24 的内部，则实数 a 的取值范围是() A1a1B0a1 或 a1Da4 答案A 解析点(1,1)在圆内， (1a)2(a1)24，即1a0)，又圆与直线 4x3
5、y0 相 切， |4a3| 5 1，解得 a2 或 a1 2(舍去) 圆的标准方程为(x2)2(y1)21. 故选 A. 题型一题型一圆的方程圆的方程 典例 (1)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 xy10 相切于点 B(2， 1)， 则圆 C 的方程为_ 答案(x3)2y22 解析方法一由已知 kAB0，所以 AB 的中垂线方程为 x3. 过点 B 且垂直于直线 xy10 的直线方程为 y1(x2)，即 xy30， 联立，解得 x3， y0， 所以圆心坐标为(3,0)， 半径 r 432102 2， 所以圆 C 的方程为(x3)2y22. 方法二设圆方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，
6、 因为点 A(4,1)，B(2,1)都在圆上， 故 4a21b2r2， 2a21b2r2， 又因为b1 a21，解得 a3，b0，r 2， 故所求圆的方程为(x3)2y22. (2)已知圆 C 经过 P(2,4)，Q(3，1)两点，且在 x 轴上截得的弦长等于 6，则圆 C 的方程为 _ 答案x2y22x4y80 或 x2y26x8y0 解析设圆的方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0)， 将 P，Q 两点的坐标分别代入得 2D4EF20， 3DEF10. 又令 y0，得 x2DxF0. 设 x1，x2是方程的两根， 由|x1x2|6，即(x1x2)24x1x236， 得 D24F36，
7、 由解得 D2，E4，F8 或 D6，E8，F0. 故所求圆的方程为 x2y22x4y80 或 x2y26x8y0. 思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程 (2)待定系数法 若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，求出 a，b，r 的值； 选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求出 D，E，F 的值 跟踪训练 (2017广东七校联考)一个圆与 y 轴相切，圆心在直线 x3y0 上，且在直线 yx 上截得的弦长为 2 7，则该圆的方程为_ 答案x2y26x2y10 或 x2y26x2y10 解析方法一所求圆的圆心在直线 x3y
8、0 上， 设所求圆的圆心为(3a，a)， 又所求圆与 y 轴相切，半径 r3|a|， 又所求圆在直线 yx 上截得的弦长为 2 7，圆心(3a，a)到直线 yx 的距离 d|2a| 2 ， d2( 7)2r2，即 2a279a2，a1. 故所求圆的方程为(x3)2(y1)29 或(x3)2(y1)29，即 x2y26x2y10 或 x2 y26x2y10. 方法二设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2， 则圆心(a，b)到直线 yx 的距离为|ab| 2 ， r2ab 2 2 7，即 2r2(ab)214. 由于所求圆与 y 轴相切，r2a2， 又所求圆的圆心在直线 x3y0 上，a3b0，
9、 联立，解得 a3， b1， r29 或 a3， b1， r29. 故所求圆的方程为(x3)2(y1)29 或(x3)2(y1)29，即 x2y26x2y10 或 x2 y26x2y10. 方法三设所求圆的方程为 x2y2DxEyF0，则圆心坐标为 D 2 ，E 2 ， 半径 r1 2 D2E24F. 在圆的方程中，令 x0，得 y2EyF0. 由于所求圆与 y 轴相切，0，则 E24F. 圆心 D 2， E 2 到直线 yx 的距离为 d| D 2 E 2| 2 ， 由已知得 d2( 7)2r2， 即(DE)2562(D2E24F) 又圆心 D 2 ，E 2 在直线 x3y0 上， D3E0
10、. 联立，解得 D6， E2， F1 或 D6， E2， F1. 故所求圆的方程为 x2y26x2y10 或 x2y26x2y10. 题型二题型二与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题 典例 已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21 上，求 xy 的最大值和最小值 解设 txy，则 yxt，t 可视为直线 yxt 在 y 轴上的截距， xy 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与 圆相切时在 y 轴上的截距 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|23t| 2 1， 解得 t 21 或 t 21. xy 的最大值为 21，最小值为 21. 引申探究
11、1在本例的条件下，求y x的最大值和最小值 解 y x可视为点(x， y)与原点连线的斜率， y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的 直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率 设过原点的直线的方程为 ykx， 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2k3| k21 1，解得 k22 3 3 或 k22 3 3 ，y x的最大值为2 2 3 3 ，最小值为22 3 3 . 2在本例的条件下，求 x2y22x4y5的最大值和最小值 解x2y22x4y5 x12y22，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(1,2)的 距离的最值，可转化为求圆心(2，3)到定点(1,2)
12、的距离与半径的和或差又圆心到定点 (1,2)的距离为 34， x2y22x4y5的最大值为 341，最小值为 341. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几 何性质数形结合求解 (2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法 形如 uyb xa型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题； 形如 taxby 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2 型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题 跟踪训练 已知点
13、P(x，y)在圆 C：x2y26x6y140 上 (1)求y x的最大值和最小值； (2)求 xy 的最大值与最小值 解(1)方程 x2y26x6y140 可变形为(x3)2(y3)24. y x表示圆上的点 P 与原点连线的斜率，显然当 PO(O 为原点)与圆相切时，斜率最大或最小， 如图所示 设切线方程为 ykx，即 kxy0， 由圆心 C(3,3)到切线的距离等于半径 2， 可得|3k3| k212，解得 k 92 14 5 ， 所以y x的最大值为 92 14 5 ，最小值为92 14 5 . (2)设 xyb，则 b 表示动直线 yxb 在 y 轴上的截距，显然当动直线 yxb 与圆
14、(x 3)2(y3)24 相切时，b 取得最大值或最小值，如图所示 由圆心 C(3,3)到切线 xyb 的距离等于圆的半径 2，可得|33b| 1212 2，即|b6|2 2，解 得 b62 2， 所以 xy 的最大值为 62 2，最小值为 62 2. 题型三题型三与圆有关的轨迹问题与圆有关的轨迹问题 典例 (2017潍坊调研)已知圆 x2y24 上一定点 A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的 动点 (1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若PBQ90，求线段 PQ 中点的轨迹方程 解(1)设 AP 的中点为 M(x，y)， 由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x2,2y
15、) 因为 P 点在圆 x2y24 上， 所以(2x2)2(2y)24， 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x1)2y21. (2)设 PQ 的中点为 N(x，y)， 在 RtPBQ 中，|PN|BN|. 设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ONPQ， 所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2， 所以 x2y2(x1)2(y1)24. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2y2xy10. 思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程 (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程 (3)几何法：利用圆的几何性质列方程 (4)代
16、入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等 跟踪训练 (2017河北衡水中学调研)已知 RtABC 的斜边为 AB，且 A(1,0)，B(3,0)求： (1)直角顶点 C 的轨迹方程； (2)直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程 解(1)方法一设 C(x，y)，因为 A，B，C 三点不共线，所以 y0. 因为 ACBC，所以 kACkBC1， 又 kAC y x1，k BC y x3，所以 y x1 y x31， 化简得 x2y22x30. 因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2y22x30(y0) 方法二设 AB 的中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角三角形的性质
17、知|CD|1 2|AB| 2.由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1,0)为圆心，2 为半径的圆(由于 A，B，C 三点不共 线，所以应除去与 x 轴的交点) 所以直角顶点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(y0) (2)设 M(x，y)，C(x0，y0)，因为 B(3,0)，M 是线段 BC 的中点，由中点坐标公式得 xx03 2 ， yy00 2 ， 所以 x02x3，y02y. 由(1)知， 点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(y0)， 将 x02x3， y02y 代入得(2x4)2(2y)2 4， 即(x2)2y21. 因此动点 M 的轨迹方程为(x2)2y21(y0) 利用几何
18、性质巧设方程求半径 典例 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 yx26x1 与坐标轴的交点都在圆 C 上，求圆 C 的 方程 思想方法指导 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法 (1)一般解法(代数法)：可以求出曲线 yx26x1 与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般 式，代入点的坐标求解析式 (2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而 设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几 何法解题 规范解答 解一般解法(代数法)曲线 yx26x1 与 y 轴的交点为(0,1)，与 x 轴的交点为(32 2， 0)，(
19、32 2，0)，设圆的方程是 x2y2DxEyF0(D2E24F0)， 则有 1EF0， 32 22D32 2F0， 32 22D32 2F0， 解得 D6， E2， F1， 故圆的方程是 x2y26x2y10. 巧妙解法(几何法)曲线 yx26x1 与 y 轴的交点为(0,1)，与 x 轴的交点为(32 2，0)， (32 2，0) 故可设 C 的圆心为(3，t)，则有 32(t1)2(2 2)2t2，解得 t1. 则圆 C 的半径为 32t123， 所以圆 C 的方程为(x3)2(y1)29. 1已知点 A(4，5)，B(6，1)，则以线段 AB 为直径的圆的方程为() A(x1)2(y3
20、)229 B(x1)2(y3)229 C(x1)2(y3)2116 D(x1)2(y3)2116 答案B 解析由题意可知 A(4，5)，B(6，1)，则以线段 AB 为直径的圆的圆心为点 46 2 ，51 2，即(1，3)， 半径为 642152 2 29， 故以线段 AB 为直径的圆的方程是 (x1)2(y3)229. 故选 B. 2圆心在 y 轴上，且过点(3,1)的圆与 x 轴相切，则该圆的方程是() Ax2y210y0Bx2y210y0 Cx2y210 x0Dx2y210 x0 答案B 解析根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为 r， 则 32(r1)2r2， 解得 r5，可得圆的方
21、程为 x2y210y0. 3(2017豫北名校联考)圆(x2)2y24 关于直线 y 3 3 x 对称的圆的方程是() A(x 3)2(y1)24B(x 2)2(y 2)24 Cx2(y2)24D(x1)2(y 3)24 答案D 解析设圆(x2)2y24 的圆心(2,0)关于直线 y 3 3 x 对称的点的坐标为(a，b)，则有 b a2 3 3 1， b 2 3 3 a2 2 ， 解得 a1，b 3， 从而所求圆的方程为(x1)2(y 3)24.故选 D. 4(2017福建厦门联考)若 a 2，0，1，3 4 ，则方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示 的圆的个数为() A0B1 C2D
22、3 答案B 解析方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆的条件为a24a24(2a2a1)0， 即3a2 4a40，解得2a2 2. 所以点 Q 在圆 C 外， 所以|MQ|max4 22 26 2， |MQ|min4 22 22 2. (2)可知n3 m2表示直线 MQ 的斜率， 设直线 MQ 的方程为 y3k(x2)， 即 kxy2k30，则n3 m2k. 因为直线 MQ 与圆 C 有交点， 所以|2k72k3| 1k2 2 2， 可得 2 3k2 3， 所以n3 m2的最大值为 2 3，最小值为 2 3. 13 已知圆 C： (x3)2(y4)21， 设点 P 是圆 C 上的动点 记 d
23、|PB|2|PA|2， 其中 A(0,1)， B(0，1)，则 d 的最大值为_ 答案74 解析设 P(x0，y0)，d|PB|2|PA|2x20(y01)2x20(y01)22(x20y20)2.x20y 2 0为圆上 任一点到原点距离的平方，(x20y20)max(51)236， dmax74. 14 (2017运城二模)已知圆 C 截 y 轴所得的弦长为 2， 圆心 C 到直线 l： x2y0 的距离为 5 5 ， 且圆 C 被 x 轴分成的两段弧长之比为 31，则圆 C 的方程为_ 答案(x1)2(y1)22 或(x1)2(y1)22 解析设圆 C 的方程为(xa)2(yb)2r2，则
24、点 C 到 x 轴、y 轴的距离分别为|b|，|a|. 由题意可知 r22b2， r2a21， |a2b| 5 5 5 ， a1， b1， r22 或 a1， b1， r22. 故所求圆 C 的方程为(x1)2(y1)22 或(x1)2(y1)22. 15(2017广东七校联考)圆 x2y22x6y10 关于直线 axby30(a0，b0)对称， 则1 a 3 b的最小值是( ) A2 3B.20 3 C4D.16 3 答案D 解析由圆 x2y22x6y10 知，其标准方程为(x1)2(y3)29，圆 x2y22x 6y10 关于直线 axby30(a0，b0)对称，该直线经过圆心(1,3)，
25、即a3b3 0，a3b3(a0，b0)，1 a 3 b 1 3(a3b) 1 a 3 b 1 3 13a b 3b a 9 1 3 102 3a b 3b a 16 3 ， 当且仅当3b a 3a b ，即 ab 时取等号，故选 D. 16已知平面区域 x0， y0， x2y40 恰好被面积最小的圆 C：(xa)2(yb)2r2及其内部所 覆盖，则圆 C 的方程为_ 答案(x2)2(y1)25 解析由题意知，此平面区域表示的是以 O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部， 覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆 OPQ 为直角三角形， 圆心为斜边 PQ 的中点(2,1)，半径 r|PQ| 2 5， 因此圆 C 的方程为(x2)2(y1)25.
