1、9.8曲线与方程曲线与方程 最新考纲考情考向分析 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 2.了解解析几何的基本思想，利用坐标法研 究曲线的简单性质 3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线 的轨迹方程. 以考查曲线的轨迹、轨迹方程为主题型主 要以解答题的形式出现，题目为中档题，有 时也会在选择、填空题中出现. 1曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点 与一个二元方程 f(x，y)0 的实数解建立如下的对应关系： 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线 2求动点的轨迹方程的基本步骤 知识拓展 1“曲线 C 是方程
2、f(x，y)0 的曲线”是“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y)0 的解” 的充分不必要条件 2曲线的交点与方程组的关系 (1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解； (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)f(x0，y0)0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)0 上的充要条件() (2)方程 x2xyx 的曲线是一个点和一条直线() (3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2y2.() (4)方程 y x与 xy2表
3、示同一曲线() (5)ykx 与 x1 ky 表示同一直线( ) (6)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的() 题组二教材改编 2P37T3已知点 F 1 4，0，直线 l：x1 4，点 B 是 l 上的动点，若过点 B 垂直于 y 轴的直 线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是() A双曲线B椭圆 C圆D抛物线 答案D 解析由已知|MF|MB|，根据抛物线的定义知， 点 M 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 l 为准线的抛物线 3P35 例 1曲线 C：xy2 上任一点到两坐标轴的距离之积为_ 答案2 解析在曲线 xy2 上任取一点(x0， y0)， 则 x0y02， 该点
4、到两坐标轴的距离之积为|x0|y0|x0y0| 2. 题组三易错自纠 4(2017广州调研)方程(2x3y1)( x31)0 表示的曲线是() A两条直线B两条射线 C两条线段D一条直线和一条射线 答案D 解析原方程可化为 2x3y10， x30 或 x310， 即 2x3y10(x3)或 x4， 故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线 5已知 M(1,0)，N(1,0)，|PM|PN|2，则动点 P 的轨迹是() A双曲线B双曲线左支 C一条射线D双曲线右支 答案C 解析由于|PM|PN|MN|，所以 D 不正确，应为以 N 为端点，沿 x 轴正向的一条射线 6已知 M(2,0)，N(2,0
5、)，则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是 _ 答案x2y24(x2) 解析连接 OP，则|OP|2，P 点的轨迹是去掉 M，N 两点的圆，方程为 x2y2 4(x2). 题型一题型一定义法求轨迹方程定义法求轨迹方程 典例 (2018枣庄模拟)已知圆 M：(x1)2y21，圆 N：(x1)2y29，动圆 P 与圆 M 外切 并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C，求 C 的方程 解由已知得圆 M 的圆心为 M(1,0)，半径 r11； 圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r23.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R.因为圆 P 与圆 M 外切 并且与圆 N
6、 内切， 所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r242|MN|.由椭圆的定义可知， 曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方 程为x 2 4 y 2 3 1(x2) 思维升华 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式， 由等量 关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解 跟踪训练 已知两个定圆 O1和 O2，它们的半径分别是 1 和 2，且|O1O2|4.动圆 M 与圆 O1内 切，又与圆 O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲 线 解如图所示，以 O1
7、O2的中点 O 为原点，O1O2所在直线为 x 轴建 立平面直角坐标系 由|O1O2|4，得 O1(2,0)，O2(2,0)设动圆 M 的半径为 r，则由动 圆 M 与圆 O1内切，有|MO1|r1； 由动圆 M 与圆 O2外切，有|MO2|r2. |MO2|MO1|3b0)的一个焦点为( 5，0)，离心率为 5 3 . (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若动点 P(x0，y0)为椭圆 C 外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹 方程 解(1)由题意，得 c 5，ec a 5 3 ， 因此 a3，b2a2c24， 故椭圆 C 的标准方程是x 2 9 y 2 4
8、1. (2)若两切线的斜率均存在，设过点 P(x0，y0)的切线方程是 yk(xx0)y0， 则由 ykxx0y0， x2 9 y 2 4 1， 得x 2 9 kxx0y0 2 4 1， 即(9k24)x218k(y0kx0)x9(y0kx0)240， 18k(y0kx0)236(9k24)(y0kx0)240， 整理得(x209)k22x0y0ky2040. 又所引的两条切线相互垂直， 设两切线的斜率分别为 k1，k2， 于是有 k1k21，即y 2 04 x2091， 即 x20y2013(x03) 若两切线中有一条斜率不存在， 则易得 x03， y02 或 x03， y02 或 x03，
9、 y02 或 x03， y02， 经检验知均满足 x20y2013. 因此，动点 P(x0，y0)的轨迹方程是 x2y213. 题型三题型三相关点法求轨迹方程相关点法求轨迹方程 典例 (2017合肥质检)如图所示，抛物线 E：y22px(p0)与圆 O：x2y28 相交于 A，B 两 点， 且点 A 的横坐标为 2.过劣弧 AB 上动点 P(x0，y0)作圆 O 的切线交抛物线 E 于 C，D 两点， 分别以 C，D 为切点作抛物线 E 的切线 l1，l2，l1与 l2相交于点 M. (1)求 p 的值； (2)求动点 M 的轨迹方程 解(1)由点 A 的横坐标为 2，可得点 A 的坐标为(2
10、,2)， 代入 y22px，解得 p1. (2)由(1)知抛物线 E：y22x. 设 C y21 2 ，y1 ，D y22 2 ，y2 ，y10，y20，切线 l1的斜率为 k，则切线 l1：yy1k xy 2 1 2 ，代 入 y22x， 得 ky22y2y1ky210，由0，解得 k1 y1， l1的方程为 y1 y1x y1 2 ， 同理 l2的方程为 y1 y2x y2 2 . 联立 y1 y1x y1 2 ， y1 y2x y2 2 ， 解得 xy1y2 2 ， yy1y2 2 . 易知 CD 的方程为 x0 xy0y8，其中 x0，y0满足 x20y208，x02,2 2， 由 y
11、22x， x0 xy0y8， 得 x0y22y0y160， 则 y1y22y0 x0 ， y1y216 x0 ， 代入 xy1y2 2 ， yy1y2 2 ， 可得 M(x，y)满足 x8 x0， yy0 x0， 可得 x08 x， y08y x ， 代入 x20y208，并化简，得x 2 8 y21， 考虑到 x02,2 2，知 x4，2 2， 动点 M 的轨迹方程为x 2 8 y21，x4，2 2 思维升华 “相关点法”的基本步骤 (1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 x1fx，y， y1gx，y； (3)代换：将
12、上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程 跟踪训练 (2018安阳调研)如图，动圆 C1：x2y2t2,1t3 与椭圆 C2： x2 9 y21 相交于 A，B，C，D 四点点 A1，A2分别为 C2的左、右顶点，求直线 AA1与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程 解由椭圆 C2：x 2 9 y21，知 A1(3,0)，A2(3,0) 设点 A 的坐标为(x0，y0)，由曲线的对称性， 得 B(x0，y0)， 设点 M 的坐标为(x，y)， 直线 AA1的方程为 y y0 x03(x3) 直线 A2B 的方程为 y y0 x03(x3) 由相乘得 y2 y20 x209(x 29
13、) 又点 A(x0，y0)在椭圆 C2上，故 y201x 2 0 9 . 将代入得x 2 9 y21(x3，y0) 因此点 M 的轨迹方程为x 2 9 y21(x3，y0) 分类讨论思想在曲线方程中的应用 典例 (12 分)已知抛物线 y22px 经过点 M(2，2 2)， 椭圆x 2 a2 y2 b21 的右焦点恰为抛物线的 焦点，且椭圆的离心率为1 2. (1)求抛物线与椭圆的方程； (2)若 P 为椭圆上一个动点，Q 为过点 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点，|OP| |OQ|(0)，试求 Q 的轨迹 思想方法指导 (1)由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根
14、 据 x2，y2的系数与 0 的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论 (2)等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程 (3)区分求轨迹方程与求轨迹问题 规范解答 解(1)因为抛物线 y22px 经过点 M(2，2 2)， 所以(2 2)24p，解得 p2. 所以抛物线的方程为 y24x， 其焦点为 F(1,0)，即椭圆的右焦点为 F(1,0)，得 c1. 又椭圆的离心率为1 2，所以 a2， 可得 b2413， 故椭圆的方程为x 2 4 y 2 3 1.3 分 (2)设 Q(x，y)，其中 x2,2， 设 P(x，y0)，因为 P 为椭圆上一点， 所以x 2 4 y 2 0 3 1，
15、解得 y2033 4x 2. 由|OP| |OQ|可得 |OP|2 |OQ|2 2，故x 233 4x 2 x2y2 2， 得 21 4 x22y23，x2,26 分 当21 4，即 1 2时，得 y 212， 点 Q 的轨迹方程为 y2 3，x2,2， 此轨迹是两条平行于 x 轴的线段；8 分 当21 4，即 01 4，即 1 2时，得到 x2 3 21 4 y 2 3 2 1. 此轨迹表示长轴在 x 轴上的椭圆满足 x2,2的部分12 分 1(2017衡水模拟)若方程 x2y 2 a 1(a 是常数)，则下列结论正确的是() A任意实数 a 方程表示椭圆 B存在实数 a 方程表示椭圆 C任
16、意实数 a 方程表示双曲线 D存在实数 a 方程表示抛物线 答案B 解析当 a0 且 a1 时，方程表示椭圆，故选 B. 2设点 A 为圆(x1)2y21 上的动点，PA 是圆的切线，且|PA|1，则点 P 的轨迹方程是 () Ay22xB(x1)2y24 Cy22xD(x1)2y22 答案D 解析如图，设 P(x，y)，圆心为 M(1,0)，连接 MA， 则 MAPA，且|MA|1， 又|PA|1， |PM| |MA|2|PA|2 2， 即|PM|22，(x1)2y22. 3(2018湛江模拟)在平面直角坐标系中，已知两点 A(3,1)，B(1,3)，若点 C 满足OC 1OA 2OB (O
17、 为原点)，其中1，2R，且121，则点 C 的轨迹是() A直线B椭圆C圆D双曲线 答案A 解析设 C(x，y)，则OC (x，y)，OA (3,1)，OB (1,3)， OC 1OA 2OB ， x312， y132， 又121，化简得 x2y50，表示一条直线 4(2017宜春质检)设定点 M1(0，3)，M2(0,3)，动点 P 满足条件|PM1|PM2|a9 a(其中 a 是正常数)，则点 P 的轨迹是() A椭圆B线段 C椭圆或线段D不存在 答案C 解析a 是正常数，a9 a2 96，当且仅当 a3 时“”成立 当|PM1|PM2|6 时，点 P 的轨迹是线段 M1M2； 当|PM
18、1|PM2|6 时，点 P 的轨迹是椭圆，故选 C. 5已知点 P 是直线 2xy30 上的一个动点，定点 M(1，2)，Q 是线段 PM 延长线上的 一点，且|PM|MQ|，则 Q 点的轨迹方程是() A2xy10B2xy50 C2xy10D2xy50 答案D 解析由题意知，M 为 PQ 中点， 设 Q(x，y)，则 P 为(2x,4y)， 代入 2xy30，得 2xy50. 6(2018广州模拟)如图，斜线段 AB 与平面所成的角为 60，B 为斜足， 平面上的动点 P 满足PAB30，则点 P 的轨迹是() A直线B抛物线 C椭圆D双曲线的一支 答案C 解析本题可构造如图圆锥母线与中轴线
19、夹角为 30，然后用平面去截，使直线 AB 与平 面的夹角为 60，则截口为 P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P 的轨迹为椭圆故选 C. 7已知两定点 A(2,0)，B(1,0)，如果动点 P 满足|PA|2|PB|，则点 P 的轨迹所包围的图形 的面积为_ 答案4 解析设 P(x，y)，由|PA|2|PB|， 得 x22y22 x12y2， 3x23y212x0，即 x2y24x0. P 的轨迹为以(2,0)为圆心，2 为半径的圆 即轨迹所包围的图形的面积等于 4. 8 (2018梅州质检)在ABC 中， |BC |4， ABC 的内切圆切 BC 于 D 点， 且|BD |CD |2
20、2， 则顶点 A 的轨迹方程为_ 答案 x2 2 y 2 2 1(x 2) 解析以 BC 的中点为原点，中垂线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐 标系，E，F 分别为两个切点， 则|BE|BD|，|CD|CF|， |AE|AF|.|AB|AC|2 2 2) 9已知ABC 的顶点 A，B 坐标分别为(4,0)，(4,0)，C 为动点，且满足 sin Bsin A5 4sin C，则 C 点的轨迹方程为_ 答案 x2 25 y2 9 1(x5) 解析由 sin Bsin A5 4sin C 可知 ba 5 4c10， 则|AC|BC|108|AB|，满足椭圆定义 令椭圆方程为 x2 a2 y2
21、b21，则 a5，c4，b3， 则轨迹方程为x 2 25 y2 9 1(x5) 10.如图，P 是椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)上的任意一点，F 1，F2是它的两个焦点，O 为坐标原点， 且OQ PF1 PF2 ，则动点 Q 的轨迹方程是_ 答案 x2 4a2 y2 4b21 解析由于OQ PF1 PF2 ， 又PF1 PF2 PM 2PO 2OP ， 设 Q(x，y)，则OP 1 2OQ x 2， y 2 ， 即 P 点坐标为 x 2， y 2 ，又 P 在椭圆上， 则有 x 2 2 a2 y 2 2 b2 1，即 x2 4a2 y2 4b21. 11.(2017广州模拟)已知点
22、C(1,0)，点 A，B 是O：x2y29 上任意两个不同的点，且满足 AC BC0，设 P 为弦 AB 的中点 (1)求点 P 的轨迹 T 的方程； (2)试探究在轨迹 T 上是否存在这样的点：它到直线 x1 的距离恰好等于到点 C 的距离？ 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 解(1)连接 CP，OP，由AC BC0，知 ACBC， |CP|AP|BP| 1 2|AB|， 由垂径定理知，|OP|2|AP|2|OA|2， 即|OP|2|CP|29， 设点 P(x，y)，则(x2y2)(x1)2y29， 化简，得 x2xy24. (2)存在根据抛物线的定义，到直线 x1 的距离等于到点
23、 C(1，0)的距离的点都在抛物线 y22px(p0)上，其中p 21. p2，故抛物线方程为 y24x， 由方程组 y24x， x2xy24， 得 x23x40， 解得 x1 或 x4. 由 x0，故取 x1，此时 y2. 故满足条件的点存在，其坐标为(1，2)和(1,2) 12.如图，P 是圆 x2y24 上的动点，点 P 在 x 轴上的射影是点 D，点 M 满足DM 1 2DP . (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程，并说明轨迹是什么图形； (2)过点 N(3,0)的直线 l 与动点 M 的轨迹 C 交于不同的两点 A，B，求以 OA，OB 为邻边的平 行四边形 OAEB 的顶点 E
24、的轨迹方程 解(1)设 M(x，y)，则 D(x,0)， 由DM 1 2DP 知，P(x,2y)， 点 P 在圆 x2y24 上，x24y24， 故动点 M 的轨迹 C 的方程为x 2 4 y21，且轨迹 C 为椭圆 (2)设 E(x，y)，由题意知 l 的斜率存在， 设 l：yk(x3)，代入x 2 4 y21， 得(14k2)x224k2x36k240，(*) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 24k2 14k2， y1y2k(x13)k(x23) k(x1x2)6k 24k3 14k26k 6k 14k2. 四边形 OAEB 为平行四边形， OE OA OB (x1x
25、2，y1y2) 24k2 14k2， 6k 14k2， 又OE (x，y)， x 24k2 14k2， y 6k 14k2， 消去 k，得 x24y26x0， 由(*)中(24k2)24(14k2)(36k24)0， 得 k21 5，0 x 8 3. 顶点 E 的轨迹方程为 x24y26x0 0 x0，满足题意 14已知圆的方程为 x2y24，若抛物线过点 A(1,0)，B(1，0)且以圆的切线为准线，则抛 物线焦点的轨迹方程是_ 答案 x2 4 y 2 3 1(y0) 解析设抛物线的焦点为 F，过 A，B，O 作准线的垂线 AA1，BB1，OO1， 则|AA1|BB1|2|OO1|4， 由抛
26、物线定义得|AA1|BB1|FA|FB|， |FA|FB|42|AB|，故 F 点的轨迹是以 A，B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆(去掉长轴两端 点) 15(2017辽宁葫芦岛调研)在ABC 中，已知 A(2,0)，B(2，0)，G，M 为平面上的两点且 满足GA GB GC 0，|MA |MB |MC |，GM AB ，则顶点 C 的轨迹为( ) A焦点在 x 轴上的椭圆(长轴端点除外) B焦点在 y 轴上的椭圆(短轴端点除外) C焦点在 x 轴上的双曲线(实轴端点除外) D焦点在 x 轴上的抛物线(顶点除外) 答案B 解析设 C(x，y)(y0)，则由GA GB GC 0， 即 G 为AB
27、C 的重心，得 G x 3， y 3 . 又|MA |MB |MC |，即 M 为ABC 的外心， 所以点 M 在 y 轴上， 又GM AB ，则有 M0，y 3 . 由|MC |MA |，所以 x2 yy 3 24y2 9 ， 化简得x 2 4 y 2 121，y0. 所以顶点 C 的轨迹为焦点在 y 轴上的椭圆(除去短轴端点) 16(2018新余模拟)曲线 C 是平面内与两个定点 F1(1,0)和 F 2(1,0)的距离的积等于常数 a2(a1)的点的轨迹给出下列三个结论： 曲线 C 过坐标原点； 曲线 C 关于坐标原点对称； 若点 P 在曲线 C 上，则F1PF2的面积不大于 1 2a 2. 其中，所有正确结论的序号是_ 答案 解析因为原点 O 到两个定点 F1(1,0)，F2(1,0)的距离的积是 1，又 a1，所以曲线 C 不过 原点，即错误；因为 F1(1,0)，F2(1,0)关于原点对称，所以|PF1|PF2|a2对应的轨迹关于 原点对称，即正确； 因为 12 F PF S1 2|PF 1|PF2|sinF1PF2 1 2|PF 1|PF2|1 2a 2， 即F1PF2的面积不大于 1 2a 2，即正确
