1、第第 1 讲讲坐标系坐标系 1.在极坐标系下，已知圆 O：cossin和直线 l：sin 4 2 2 . (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程； (2)当(0，)时，求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标. 解(1)圆 O：cossin，即2cossin， 圆 O 的直角坐标方程为：x2y2xy， 即 x2y2xy0， 直线 l：sin 4 2 2 ， 即sincos1， 则直线 l 的直角坐标方程为：yx1，即 xy10. (2)由 x2y2xy0， xy10， 得 x0， y1， 故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为 1， 2 . 2.(2017贵阳调研)以直角坐标系中的原点
2、 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐 标系中，已知曲线的极坐标方程为 2 1sin. (1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)过极点 O 作直线 l 交曲线于点 P，Q，若|OP|3|OQ|，求直线 l 的极坐标方 程. 解(1) x2y2，siny， 2 1sin化为sin 2， 曲线的直角坐标方程为 x24y4. (2)设直线 l 的极坐标方程为0(R)， 根据题意 2 1sin03 2 1sin（0）， 解得0 6 或05 6 ， 直线 l 的极坐标方程 6 (R)或5 6 (R). 3.在极坐标系中，求曲线2cos关于直线 4 对称的曲线的极坐标方程. 解以极点为坐标原点，
3、极轴为 x 轴建立直角坐标系，则曲线2cos的直 角坐标方程为(x1)2y21，且圆心为(1，0).直线 4 的直角坐标方程为 y x，因为圆心(1，0)关于 yx 的对称点为(0，1)， 所以圆(x1)2y21 关于 yx 的对称曲线为 x2(y1)21. 所以曲线2cos关于直线 4 对称的曲线的极坐标方程为2sin. 4.在极坐标系中，已知圆 C 的圆心 C 3， 3 ，半径 r3. (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)若点 Q 在圆 C 上运动，点 P 在 OQ 的延长线上，且OQ 2QP ，求动点 P 的 轨迹方程. 解(1)设 M(，)是圆 C 上任意一点. 在OCM 中，COM
4、| 3|，由余弦定理得 |CM|2|OM|2|OC|22|OM|OC|cos 3 ， 化简得6cos 3 . (2)设点 Q(1，1)，P(，)， 由OQ 2QP ，得OQ 2 3OP ， 12 3， 1， 代入圆 C 的方程，得 2 36cos 3 ，即9cos 3 . 5.(2015全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： xtcos， ytsin (t 为参数，t 0)，其中 0.在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：2sin，C3：2 3cos. (1)求 C2与 C3交点的直角坐标； (2)若 C1与 C2相交于点 A，C1与 C3相交于点 B，求|AB
5、|的最大值. 解(1)曲线 C2的直角坐标方程为 x2y22y0，曲线 C3的直角坐标方程为 x2y22 3x0. 联立 x2y22y0， x2y22 3x0，解得 x0， y0 或 x 3 2 ， y3 2. 所以 C2与 C3交点的直角坐标为(0，0)和 3 2 ，3 2 . (2)曲线 C1的极坐标方程为(R，0)， 其中 0. 因此 A 的极坐标为(2sin，)，B 的极坐标为(2 3cos，). 所以|AB|2sin2 3cos|4|sin 3 |. 当5 6 时，|AB|取得最大值，最大值为 4. 6.(2017唐山质检)已知曲线 C1：x 3y 3和 C2： x 6cos ， y
6、 2sin (为参数).以 原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相 同的长度单位. (1)把曲线 C1和 C2的方程化为极坐标方程； (2)设 C1与 x，y 轴交于 M，N 两点，且线段 MN 的中点为 P.若射线 OP 与 C1， C2交于 P，Q 两点，求 P，Q 两点间的距离. 解(1)曲线 C1化为cos 3sin 3. sin 6 3 2 . 曲线 C2化为x 2 6 y 2 2 1(*) 将 xcos ，ysin代入(*)式 得 2 6 cos2 2 2 sin21，即2(cos23sin2)6. 曲线 C2的极坐标方程为2 6 12sin2. (2)M( 3，0)，N(0，1)，P 3 2 ，1 2 ， OP 的极坐标方程为 6 ， 把 6 代入sin 6 3 2 ，得11，P 1， 6 . 把 6 代入2 6 12sin2，得 22，Q 2， 6 . |PQ|21|1，即 P，Q 两点间的距离为 1.
