1、课时作业(二十三)三角函数的定义域、值域与单调性 基础过关组 一、单项选择题 1y|cos x|的一个单调递增区间是() A 2， 2B0， C ，3 2D 3 2 ，2 解析将 ycos x 的图象位于 x 轴下方的部分关于 x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或 x 轴上)的图象不变， 即得 y|cos x|的图象(如图)。故选 D。 答案D 2函数 f(x)tan x 2 6 的单调递增区间是() A 2k2 3 ，2k4 3 ，kZ B 2k2 3 ，2k4 3 ，kZ C 4k2 3 ，4k4 3 ，kZ D 4k2 3 ，4k4 3 ，kZ 解析由 2k x 2 6 2k， kZ，得
2、2k 2 3 xf(2)f(3)Bf(3)f(2)f(1) Cf(2)f(1)f(3)Df(1)f(3)f(2) 解析由 22x 4 3 2 ， 可得3 8 x7 8 ， 所以函数 f(x)在区间 3 8 ，7 8 上单调递减。 由于 13 8 2， 且3 8 1f(2)。由于3 8 27 8 37 8 ，故 f(2)f(3)。所以 f(1)f(2)f(3)。故选 A。 答案A 6(2021武汉市质检)已知函数 f(x)sin2xsin2 x 3 ，则 f(x)的最小值为() A1 2 B1 4 C 3 4 D 2 2 解析f(x)sin2xsin2 x 3 sin2x 1 2sin x 3
3、2 cos x 25 4sin 2x3 4cos 2x 3 2 sin xcos x3 4 1cos 2x 4 3 4 sin 2x11 2 3 2 sin 2x1 2cos 2x11 2sin 2x 6 11 2 1 2。故选 A。 答案A 二、多项选择题 7下面关于 f(x)2sin 2x 3 叙述中正确的是() A关于点 6，0对称 B关于直线 x 6对称 C在区间 0， 3 上单调 D函数 f(x)的零点为 6k(kZ) 解析对于函数 f(x)2sin 2x 3 ，令 x 6，求得 f(x)0，可得它的图象关于点 6，0对称，故 A 正确， B 错误。区间 0， 3 上，2x 3 3，
4、 3 ，f(x)单调递增，故 C 正确。由于 f(x)的周期为，故函数 f(x)的零点 为 6k 2(kZ)，故 D 错误。故选 AC。 答案AC 8已知函数 f(x)sin x|cos x|，则下列说法正确的是() Af(x)的图象关于直线 x 2对称 Bf(x)在 3 4 ，5 4 上单调递减 C若|f(x1)|f(x2)|，则 x1x2 4k(kZ) Df(x)的最小正周期为 2 解析去绝对值符号可知 f(x) 1 2sin 2x，2k 2x2k 2， 1 2sin 2x，2k 20)，若 f(x)在(0,2)上恰有 3 个极值点，则的取 值范围是_。 解析令 tx 4，因为 x(0,2
5、)，0，所以 t 4，2 4 ，结合 ysin t 的图象得5 2 2 4 7 2 ， 解得9 8 13 8 。 答案 9 8， 13 8 四、解答题 12已知函数 f(x) 2sin 2x 4 。 (1)求函数 f(x)的单调递增区间； (2)当 x 4， 3 4 时，求函数 f(x)的最大值和最小值。 解(1)令 2k 22x 42k 2，kZ，得 k 3 8 xk 8，kZ。故函数 f(x)的单调递增区间为 k3 8 ，k 8 ，kZ。 (2)当 x 4， 3 4 时，3 4 2x 4 7 4 ， 所以1sin 2x 4 2 2 ， 所以 2f(x)1，所以当 x 4， 3 4 时，函数
6、 f(x)的最大值为 1，最小值为 2。 13(2021山东实验中学诊断)已知函数 f(x)2 3sin x 4 cos x 4 sin 2xa 的最大值为 1。 (1)求实数 a 的值； (2)若将 f(x)的图象向左平移 6个单位长度， 得到函数 g(x)的图象， 求函数 g(x)在区间 0， 2 上的最大值和最 小值。 解(1)f(x)2 3sin x 4 cos x 4 sin 2xa 3sin 2x 2 sin 2xa 3cos 2xsin 2xa 2sin 2x 3 a，所以 2a1，所以 a1。 (2)因为将 f(x)的图象向左平移 6个单位长度， 得到函数 g(x)的图象， 所
7、以 g(x)f x 6 2sin 2 x 6 3 12sin 2x2 3 1，因为 x 0， 2 ，所以 2x2 3 2 3 ，5 3 ，所以当 2x2 3 2 3 ，即 sin 2x2 3 3 2 时， g(x)取最大值 31，当 sin 2x2 3 1，即 2x2 3 3 2 时，g(x)取最小值3。 素养提升组 14(多选)(2021八省联考)设函数 f(x) cos 2x 2sin xcos x，则( ) Af(x)f(x) Bf(x)的最大值为1 2 Cf(x)在 4，0单调递增 Df(x)在 0， 4 单调递减 解析f(x)的定义域为 R，且 f(x) cos 2x 2sin xc
8、os x，f(x) cos2x2 2sinxcosx cos 2x 2sin xcos xf(x)，故 A 项正确。又 f(x) 2cos 2x 42sin xcos x 2cos 2x 4sin 2x，令 y 2cos 2x 4sin 2x，则 4y2cos 2xysin 2x 4y 2cos(2x)， 其中 cos 2 4y2，sin y 4y2，故| 4y 4y2|1，即 y2 4 15，故 2 15 15 y2 15 15 ，当 y2 15 15 时，有 cos 15 4 ，sin 1 4 ，此时 cos(2x)1，即 xk 2 (kZ)，故 ymax 2 15 15 ，故 B 不正确
9、。f(x) 22sin 2x4sin 2x2cos22x 4sin 2x2 414sin 2x 4sin 2x2 ， 当 x 0， 4 时， f(x)0， 故 f(x)在 0， 4 为减函数， 故 D 正确。 当 x 4，0时， 1sin 2x0，故314sin 2x1，因为 t2x 为增函数且 2x 2，0，而 y14sin t 在 2，0为增函数，所以 h(x)14sin 2x 在 4，0上为增函数，因为 h 4 30，故 14sin 2x0 在 4，0有唯一 解 x0，故当 x(x0,0)时，h(x)0，即 f(x)0，| 2 的最小正周期为，其图象向左平移 6个单位长度后所得图象关 于
10、 y 轴对称，则 f(x)_；当 x 4， 4 时，f(x)的值域为_。 解析因为2 ，所以2。函数 f(x)的图象向左平移 6个单位长度后得到 ysin 2 x 6 的图象， 因为平移后的图象关于 y 轴对称，则其对应的函数是偶函数，所以 2 6 2k，kZ，解得k 6， kZ。因为|0)，f(x)在区间 0， 24 上单调递增，则下列说法正确的是 () A存在，使得函数 f(x)为奇函数 B函数 f(x)的最大值为1 2 C的取值范围为 04 D存在 4 个不同的，使得函数 f(x)的图象关于直线 x 2对称 解析f(x)2sin xsin x2 3 sin 2x 6 1 2。 显然不存在
11、，使得函数 f(x)为奇函数，故 A 错误；3 2f(x) 1 2，则 f(x)的最大值为 1 2，故 B 正确；由于 f(x)在区间 0， 24 上单调递增， 62x 60，所以 04，故 C 正确；令 2 2 6m 2，mZ，解得 1 3m，mZ，由 04 知的取值为 1 3， 4 3， 7 3， 10 3 ，共 4 个值， 故 D 正确。 答案BCD 17(2021延庆区期末)已知函数 f(x)cos x(2sin x 3cos x) 3sin2x。 (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)若当 x 0， 2 时，关于 x 的不等式 f(x)m 有解，求实数 m 的取值
12、范围。 解(1)因为 f(x)2sin xcos x 3cos2x 3sin2xsin 2x 3cos 2x2sin 2x 3 ， 所以函数 f(x)的最小正周期 T， 因为函数 ysin x 的单调递减区间为 2k 2，2k 3 2 ，kZ， 所以 2k 22x 32k 3 2 (kZ)， 解得 k 12xk 7 12(kZ)， 所以函数 f(x)的单调递减区间是 k 12，k 7 12 (kZ)。 (2)由题意可知，不等式 f(x)m 有解， 即 mf(x)max。 由(1)可知 f(x)2sin 2x 3 ， 当 x 0， 2 时，2x 3 3， 4 3 ， 故当 2x 3 2，即 x 12时，f(x)取得最大值，最大值为 2。 所以 m2。故实数 m 的取值范围是(，2。
