1、第第 2 课时课时集合的表示集合的表示 学习目标1.掌握集合的两种表示方法:列举法和描述法.2.会用集合的两种表示方法表示一 些简单的集合 导语 同学们,上节课我们学习了集合的概念,还有一些特殊的集合,比如非负整数集、正整数集 等,我们发现可以用自然语言描述一个集合,而语言正是我们之间相互联系的一种方式,同 样的祝福又有着不同的表示方式,例如,我们中文说“祝你生日快乐”,英文为“Happy Birthday to you”等等,那么对于一个集合,会有哪些不同的表示方法呢?让我们一同进入今 天的探究之旅 一、用列举法表示集合 问题 1用 A 表示“本班所有的男生”组成的集合,这是利用的哪种方法表
2、示的集合?你能 把集合 A 中的所有元素逐一列举出来吗? 提示这是用自然语言法表示的集合;我们可以把所有男生的名字写出来,或者把所有 男生的学号一一写出 知识梳理 列举法像这样把集合的所有元素一一列举出来, 并用花括号“”括起来表示集合的 方法叫做列举法 注意点:(1)元素间用“,”隔开;(2)集合中的元素是确定的,元素不重复,元素无顺序;(3) 对于元素个数较少时,把元素一一列举出来并用“”括起来即可;(4)对于元素个数较 多时,如果构成该集合的元素有明显规律,可用列举法,但必须把元素间的规律显示清楚, 然后加省略号,比如正整数集可表示为1,2,3,4,5;(5)这里集合的“”已包含所有的
3、意思,比如整数,即代表整数集 Z,而不能用全体整数,即不能出现“全体”“所有” 等字眼 例 1(教材第 3 页例 1 改编)用列举法表示下列集合: (1)小于 10 的所有正整数组成的集合; (2)方程 x2x0 的所有实数根组成的集合; (3)直线 y2x1 与 y 轴的交点所组成的集合 解(1)设小于 10 的所有正整数组成的集合为 A,那么 A1,2,3,4,5,6,7,8,9 (2)设方程 x2x0 的所有实数根组成的集合为 B,那么 B1,0 (3)将 x0 代入 y2x1,得 y1,即交点是(0,1),故交点组成的集合是(0,1) 反思感悟用列举法表示集合的 3 个步骤 (1)求出
4、集合的元素; (2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次; (3)用花括号括起来 提醒:二元方程组的解集,函数图象上的点构成的集合都是点的集合,一定要写成实数对的 形式,元素与元素之间用“,”隔开如(2,3),(5,1) 跟踪训练 1用列举法表示下列给定的集合: (1)不大于 10 的非负偶数组成的集合 A; (2)小于 8 的质数组成的集合 B; (3)方程 2x2x30 的实数根组成的集合 C; (4)一次函数 yx3 与 y2x6 的图象的交点组成的集合 D. 解(1)不大于 10 的非负偶数有 0,2,4,6,8,10,所以 A0,2,4,6,8,10 (2)小于 8 的质数有
5、2,3,5,7, 所以 B2,3,5,7 (3)方程 2x2x30 的实数根为1, 3 2,所以 C 1,3 2 . (4)由 yx3, y2x6, 得 x1, y4. 所以一次函数 yx3 与 y2x6 的交点为(1,4), 所以 D(1,4) 二、用描述法表示集合 问题 2你能用列举法表示不等式 x73 的解集吗? 提示不等式 x73 的解是 x10,因为满足 x10 的实数有无数个,所以 x73 的解集无 法用列举法表示但是,我们可以利用解集中元素的共同特征,即 x 是实数,且 x10,把解 集表示为xR|x1不能写成x1; (2)用简明、准确的语言进行描述,如方程、不等式、几何图形等;
6、 (3)不能出现未被说明的字母, 如xZ|x2m中 m 未被说明, 故此集合中的元素是不确定的; (4)所有描述的内容都要写在花括号内, 如“xZ|x2m, mN”不符合要求, 应将“mN ”写进“ ”中,即xZ|x2m,mN; (5)元素的取值(或变化)范围, 从上下文的关系来看, 若 xR 是明确的, 则 xR 可省略不写, 如集合 DxR|x20也可表示为 Dx|x20; (6)多层描述时, 应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语, 如x|x1; (7)“”有“所有”“全体”的含义,如所有实数组成的集合可以用描述法表示为x|x 是 实数,但如果写成x|x 是所有实数、x|x 是
7、全体实数、x|x 是实数集都是错误的,因为 “”本身既表示集合的意思,也表示了“所有”“全体”的意思,此处是初学者容易犯 的错误,要注意领会 例 2用描述法表示下列集合: (1)不等式 2x31 的解组成的集合 A; (2)被 3 除余 2 的正整数的集合 B; (3)C2,4,6,8,10; (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合 D. 解(1)不等式 2x31 的解组成的集合为 A,则集合 A 中的元素是数,设代表元素为 x,则 x 满足 2x31,则 Ax|2x31,即 Ax|x2 (2)设被 3 除余 2 的数为 x,则 x3n2,nZ.但元素为正整数,故 x3n2,nN.所以
8、被 3 除余 2 的正整数的集合 Bx|x3n2,nN (3)设偶数为 x,则 x2n,nZ.但元素是 2,4,6,8,10, 所以 x2n,n5,nN*. 所以 Cx|x2n,n5,nN* (4)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负,纵坐标为正,即 x0,故第二象限 内的点的集合为 D(x,y)|x0 反思感悟(1)用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性, 即它是数集、 点集还是其他的类型, 一般地,数集用一个字母代表其元素,点集用一个有序实数对代表其元素 (2)若描述部分出现代表元素以外的字母,则要对新字母说明其含义或指出其取值范围 跟踪训练 2(教材第 4 页例 2 改编)试分别用描
9、述法和列举法表示下列集合: (1)方程 x250 的所有实数根组成的集合 A; (2)由小于 8 的所有自然数组成的集合 B. 解(1)描述法表示为 AxR|x250,列举法表示为 A 5, 5; (2)描述法表示为xN|0 x8(形式不唯一),列举法表示为0,1,2,3,4,5,6,7 三、方程与集合 例 3已知集合 Ax|ax22x10,aR,若 A 中只有一个元素,求 a 的值 解当 a0 时,原方程变为 2x10,此时 x1 2,符合题意; 当 a0 时,方程 ax22x10 为一元二次方程, 当44a0,即 a1 时,原方程的解为 x1,符合题意 故当 a0 或 a1 时,原方程只有
10、一个解,此时 A 中只有一个元素 延伸探究 1在本例条件下,若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值范围 解A 中至多有一个元素,即 A 中有一个元素或没有元素 当 A 中只有一个元素时,由例题可知,a0 或 a1. 当 A 中没有元素时,44a1. 故当 A 中至多有一个元素时,a 的取值范围为a|a0 或 a1 2在本例条件下,是否存在实数 a,使集合 A 与集合1相等?若存在,求出 a 的值;若不 存在,说明理由 解A1,1A,a210,即 a3. 又当 a3 时,由3x22x10, 得 x1 3或 x1, 即方程 ax22x10 有两个根1 3和 1, 此时 A 1 3,1,与 A1矛
11、盾 故不存在实数 a,使 A1 反思感悟根据已知的集合求参数的关注点 (1)若已知集合是用描述法给出的,读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键,如例 3 集合 A 中的元素就是所给方程的根,由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题 (2)a0 这种情况极易被忽视,对于方程“ax22x10”有两种情况:一是 a0,即它是 一元一次方程;二是 a0,即它是一元二次方程,也只有在这种情况下,才能用判别式来 解决问题 跟踪训练 3已知集合 Aa3,(a1)2,a22a2,若 1A,求实数 a 的值 解若 a31,则 a2, 此时 A1,1,2,不符合集合中元素的互异性,舍去 若(a1)21,
12、则 a0 或 a2. 当 a0 时,A3,1,2,满足题意; 当 a2 时,由知不符合条件,故舍去 若 a22a21,则 a1, 此时 A2,0,1,满足题意 综上所述,实数 a 的值为1 或 0. 1知识清单: (1)列举法; (2)描述法; (3)集合与方程、不等式的关系 2方法归纳:分类讨论 3常见误区:列举法与描述法的乱用,涉及 x2的系数不确定时,忽略讨论方程是一次方程 还是二次方程 1集合xN*|x21的另一种表示法是() A0,1,2,3B1,2,3 C0,1,2,3,4D1,2,3,4 答案B 解析因为 x21,xN*,所以 x3,xN*,从而 x1,2,3. 2对集合 1,1
13、 2, 1 3, 1 4, 1 5 用描述法来表示,其中正确的一个是() A. x|x 1 n,nZ,且 n5 B. x|x 1 n,nZ,且 n5 C. x|x 1 n,nN *,且 n5 D. x|x 1 n,nN *,且 n5 答案D 解析A,B 中 x 可以表示负数,C 中没有元素1 5. 3下列说法中正确的是() 0 与0表示同一个集合; 由 1,2,3 组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1; 方程(x1)2(x2)0 的所有解组成的集合可表示为1,1,2; 集合x|4x5可以用列举法表示 A只有和B只有和 C只有D只有和 答案C 解析中“0”不能表示集合,而“0”可以表示集合,
14、故错误;根据集合中元素的无 序性可知正确;根据集合中元素的互异性可知错误;不能用列举法表示,原因是集合 中有无数个元素,不能一一列举 4用列举法表示集合 D(x,y),xN,yN|yx28为_ 答案(0,8),(1,7),(2,4) 解析由已知得集合 D 为点集,结合元素的条件可知答案只有三组,列举可得答案 课时对点练课时对点练 1已知集合 Mx|xN,则() A0MBM C. 2MD1M 答案A 解析由集合 Mx|xN知: 0M, 故 A 正确; M, 故 B 错误; 2M, 故 C 错误; 1M, 故 D 错误 2已知集合 A1,2,Bx|xab,aA,bA,则集合 B 中的元素个数为()
15、 A1B2C3D4 答案C 解析集合 A1,2,Bx|xab,aA,bA,B2,3,4,集合 B 中的元素 个数为 3. 3把集合x|x24x50用列举法表示为() Ax1,x5Bx|x1,或 x5 Cx24x50D1,5 答案D 解析根据题意,解 x24x50 可得 x1 或 5,用列举法表示为1,5 4若 1x2,x2,则实数 x 的值为() A1B1C1 或1D1 或 3 答案B 解析由 1x2,x2,可得 x21(x21 时,由元素的互异性排除),则 x1.当 x1 时,x23,满足要求;当 x1 时,121,不满足元素的互异性, x1. 5下列集合中表示同一集合的是() AM(3,2
16、),N(2,3) BM2,3,N3,2 CM(x,y)|xy1,Ny|xy1 DM2,3,N(2,3) 答案B 解析选项 A 中的集合 M 是由点(3,2)组成的点集,集合 N 是由点(2,3)组成的点集,故集合 M 与 N 不是同一个集合;选项 C 中的集合 M 是由一次函数 y1x 图象上的所有点组成的 集合, 集合 N 是由一次函数 y1x 图象上的所有点的纵坐标组成的集合, 即 Ny|xy1 R,故集合 M 与 N 不是同一个集合;选项 D 中的集合 M 是数集,而集合 N 是点集,故集 合 M 与 N 不是同一个集合;对于选项 B,由集合中元素的无序性,可知 M,N 表示同一个集 合
17、 6(多选)已知集合 AxN|x6,则下列关系式成立的是() A0AB1.5A C1AD6A 答案ABC 解析AxN|x60,1,2,3,4,5,6A,故 D 不成立,其余都成立 7集合x|x2m3,mN*,m5,用列举法表示为_ 答案1,1,3,5 解析集合中的元素满足 x2m3,mN*,m6 的解构成的集合; (4)大于 0.5 且不大于 6 的自然数的全体构成的集合; (5)方程组 2xy3, x2y4 的解集 解(1)0,1 (2)x|x2n1,且 x8 (4)1,2,3,4,5,6 (5)解集用描述法表示为 x,y| 2xy3, x2y4, 解集用列举法表示为(2,1) 10下列三个
18、集合: Ax|yx21; By|yx21; C(x,y)|yx21 (1)它们是不是相同的集合? (2)它们各自的含义分别是什么? 解(1)它们是互不相同的集合 (2)集合 Ax|yx21的代表元素是 x,且 xR; 集合 By|yx21的代表元素是 y,满足条件 yx21 的 y 的取值范围是 y1. 集合 C(x,y)|yx21的代表元素是(x,y),是抛物线 yx21 上的点 11由大于3 且小于 11 的偶数所组成的集合是() Ax|3x11,xZ Bx|3x11 Cx|3x11,x2k Dx|3x11,x2k,kZ 答案D 解析由题意可知,满足题设条件的只有选项 D. 12将集合 x
19、,y| xy5, 2xy1用列举法表示,正确的是() A2,3B(2,3) Cx2,y3D(2,3) 答案B 解析解方程组 xy5, 2xy1 得 x2, y3, 所以集合 x,y| xy5, 2xy1(2,3) 13已知 Aa2,2a25a,12且3A,则由 a 的值构成的集合是() A3 2 B. 1,3 2 C1D. 3 2 答案D 解析3A,Aa2,2a25a,12, a23, 2a25a3, 2a25a12 或 2a25a3, a23, a212, 解得 a3 2.D 正确 14若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为可倒数集,则集合 A 1,1,2_(填“是”或“不是”)
20、可倒数集试写出一个含三个元素的可倒数集 _(答案不唯一) 答案不是 1,2,1 2 解析由于 2 的倒数1 2不在集合 A 中,故集合 A 不是可倒数集若一个元素 aA,则 1 aA. 若集合中有三个元素,故必有一个元素 a1 a,即 a1,故可取的集合有 1,2,1 2 , 1,3,1 3 等 15对于任意两个正整数 m,n,定义某种运算“”如下:当 m,n 都为正偶数或正奇数时, mnmn;当 m,n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,mnmn,则在此定义下, 集合 M(a,b)|ab16中的元素个数是() A18B17C16D15 答案B 解析因为 11516,21416,31316,4
21、1216,51116,61016,7916,88 16,9716,10616,11516,12416,13316,14216,15116,116 16,16116,集合 M 中的元素是有序数对(a,b),所以集合 M 中的元素共有 17 个 16已知集合 A xN| 9 10 xN,B 9 10 xN|xN ,试问集合 A 与 B 有几个相 同的元素?并写出由这些相同元素组成的集合 解对于集合 A,因为 xN, 9 10 xN, 所以当 x1 时, 9 10 x1; 当 x7 时, 9 10 x3; 当 x9 时, 9 10 x9. 所以 A1,7,9,B1,3,9 所以集合 A 与 B 有 2 个相同的元素,集合 A,B 的相同元素组成的集合为1,9