1、第第 2 课时课时集合的表示集合的表示 学习目标1.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法.2.会用集合的两种表示方法表示一 些简单的集合 导语 同学们，上节课我们学习了集合的概念，还有一些特殊的集合，比如非负整数集、正整数集 等，我们发现可以用自然语言描述一个集合，而语言正是我们之间相互联系的一种方式，同 样的祝福又有着不同的表示方式，例如，我们中文说“祝你生日快乐”，英文为“Happy Birthday to you”等等，那么对于一个集合，会有哪些不同的表示方法呢？让我们一同进入今 天的探究之旅 一、用列举法表示集合 问题 1用 A 表示“本班所有的男生”组成的集合，这是利用的哪种方法表
2、示的集合？你能 把集合 A 中的所有元素逐一列举出来吗？ 提示这是用自然语言法表示的集合；我们可以把所有男生的名字写出来，或者把所有 男生的学号一一写出 知识梳理 列举法像这样把集合的所有元素一一列举出来， 并用花括号“”括起来表示集合的 方法叫做列举法 注意点：(1)元素间用“，”隔开；(2)集合中的元素是确定的，元素不重复，元素无顺序；(3) 对于元素个数较少时，把元素一一列举出来并用“”括起来即可；(4)对于元素个数较 多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚， 然后加省略号，比如正整数集可表示为1,2,3,4,5；(5)这里集合的“”已包含所有的
3、意思，比如整数，即代表整数集 Z，而不能用全体整数，即不能出现“全体”“所有” 等字眼 例 1(教材第 3 页例 1 改编)用列举法表示下列集合： (1)小于 10 的所有正整数组成的集合； (2)方程 x2x0 的所有实数根组成的集合； (3)直线 y2x1 与 y 轴的交点所组成的集合 解(1)设小于 10 的所有正整数组成的集合为 A，那么 A1,2,3,4,5,6,7,8,9 (2)设方程 x2x0 的所有实数根组成的集合为 B，那么 B1,0 (3)将 x0 代入 y2x1，得 y1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是(0,1) 反思感悟用列举法表示集合的 3 个步骤 (1)求出
4、集合的元素； (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号括起来 提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的 形式，元素与元素之间用“，”隔开如(2,3)，(5，1) 跟踪训练 1用列举法表示下列给定的集合： (1)不大于 10 的非负偶数组成的集合 A； (2)小于 8 的质数组成的集合 B； (3)方程 2x2x30 的实数根组成的集合 C； (4)一次函数 yx3 与 y2x6 的图象的交点组成的集合 D. 解(1)不大于 10 的非负偶数有 0,2,4,6,8,10，所以 A0,2,4,6,8,10 (2)小于 8 的质数有
5、2,3,5,7， 所以 B2,3,5,7 (3)方程 2x2x30 的实数根为1， 3 2，所以 C 1，3 2 . (4)由 yx3， y2x6， 得 x1， y4. 所以一次函数 yx3 与 y2x6 的交点为(1,4)， 所以 D(1,4) 二、用描述法表示集合 问题 2你能用列举法表示不等式 x73 的解集吗？ 提示不等式 x73 的解是 x10，因为满足 x10 的实数有无数个，所以 x73 的解集无 法用列举法表示但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即 x 是实数，且 x10，把解 集表示为xR|x1不能写成x1； (2)用简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式、几何图形等；
6、 (3)不能出现未被说明的字母， 如xZ|x2m中 m 未被说明， 故此集合中的元素是不确定的； (4)所有描述的内容都要写在花括号内， 如“xZ|x2m， mN”不符合要求， 应将“mN ”写进“ ”中，即xZ|x2m，mN； (5)元素的取值(或变化)范围， 从上下文的关系来看， 若 xR 是明确的， 则 xR 可省略不写， 如集合 DxR|x20也可表示为 Dx|x20； (6)多层描述时， 应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语， 如x|x1； (7)“”有“所有”“全体”的含义，如所有实数组成的集合可以用描述法表示为x|x 是 实数，但如果写成x|x 是所有实数、x|x 是
7、全体实数、x|x 是实数集都是错误的，因为 “”本身既表示集合的意思，也表示了“所有”“全体”的意思，此处是初学者容易犯 的错误，要注意领会 例 2用描述法表示下列集合： (1)不等式 2x31 的解组成的集合 A； (2)被 3 除余 2 的正整数的集合 B； (3)C2,4,6,8,10； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合 D. 解(1)不等式 2x31 的解组成的集合为 A，则集合 A 中的元素是数，设代表元素为 x，则 x 满足 2x31，则 Ax|2x31，即 Ax|x2 (2)设被 3 除余 2 的数为 x，则 x3n2，nZ.但元素为正整数，故 x3n2，nN.所以
8、被 3 除余 2 的正整数的集合 Bx|x3n2，nN (3)设偶数为 x，则 x2n，nZ.但元素是 2,4,6,8,10， 所以 x2n，n5，nN*. 所以 Cx|x2n，n5，nN* (4)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即 x0，故第二象限 内的点的集合为 D(x，y)|x0 反思感悟(1)用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性， 即它是数集、 点集还是其他的类型， 一般地，数集用一个字母代表其元素，点集用一个有序实数对代表其元素 (2)若描述部分出现代表元素以外的字母，则要对新字母说明其含义或指出其取值范围 跟踪训练 2(教材第 4 页例 2 改编)试分别用描
9、述法和列举法表示下列集合： (1)方程 x250 的所有实数根组成的集合 A； (2)由小于 8 的所有自然数组成的集合 B. 解(1)描述法表示为 AxR|x250，列举法表示为 A 5， 5； (2)描述法表示为xN|0 x8(形式不唯一)，列举法表示为0,1,2,3,4,5,6,7 三、方程与集合 例 3已知集合 Ax|ax22x10，aR，若 A 中只有一个元素，求 a 的值 解当 a0 时，原方程变为 2x10，此时 x1 2，符合题意； 当 a0 时，方程 ax22x10 为一元二次方程， 当44a0，即 a1 时，原方程的解为 x1，符合题意 故当 a0 或 a1 时，原方程只有
10、一个解，此时 A 中只有一个元素 延伸探究 1在本例条件下，若 A 中至多有一个元素，求 a 的取值范围 解A 中至多有一个元素，即 A 中有一个元素或没有元素 当 A 中只有一个元素时，由例题可知，a0 或 a1. 当 A 中没有元素时，44a1. 故当 A 中至多有一个元素时，a 的取值范围为a|a0 或 a1 2在本例条件下，是否存在实数 a，使集合 A 与集合1相等？若存在，求出 a 的值；若不 存在，说明理由 解A1，1A，a210，即 a3. 又当 a3 时，由3x22x10， 得 x1 3或 x1， 即方程 ax22x10 有两个根1 3和 1， 此时 A 1 3，1，与 A1矛
11、盾 故不存在实数 a，使 A1 反思感悟根据已知的集合求参数的关注点 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例 3 集合 A 中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题 (2)a0 这种情况极易被忽视，对于方程“ax22x10”有两种情况：一是 a0，即它是 一元一次方程；二是 a0，即它是一元二次方程，也只有在这种情况下，才能用判别式来 解决问题 跟踪训练 3已知集合 Aa3，(a1)2，a22a2，若 1A，求实数 a 的值 解若 a31，则 a2， 此时 A1,1,2，不符合集合中元素的互异性，舍去 若(a1)21，
12、则 a0 或 a2. 当 a0 时，A3,1,2，满足题意； 当 a2 时，由知不符合条件，故舍去 若 a22a21，则 a1， 此时 A2,0,1，满足题意 综上所述，实数 a 的值为1 或 0. 1知识清单： (1)列举法； (2)描述法； (3)集合与方程、不等式的关系 2方法归纳：分类讨论 3常见误区：列举法与描述法的乱用，涉及 x2的系数不确定时，忽略讨论方程是一次方程 还是二次方程 1集合xN*|x21的另一种表示法是() A0,1,2,3B1,2,3 C0,1,2,3,4D1,2,3,4 答案B 解析因为 x21，xN*，所以 x3，xN*，从而 x1,2,3. 2对集合 1，1
13、 2， 1 3， 1 4， 1 5 用描述法来表示，其中正确的一个是() A. x|x 1 n，nZ，且 n5 B. x|x 1 n，nZ，且 n5 C. x|x 1 n，nN *，且 n5 D. x|x 1 n，nN *，且 n5 答案D 解析A，B 中 x 可以表示负数，C 中没有元素1 5. 3下列说法中正确的是() 0 与0表示同一个集合； 由 1,2,3 组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1； 方程(x1)2(x2)0 的所有解组成的集合可表示为1,1,2； 集合x|4x5可以用列举法表示 A只有和B只有和 C只有D只有和 答案C 解析中“0”不能表示集合，而“0”可以表示集合，
14、故错误；根据集合中元素的无 序性可知正确；根据集合中元素的互异性可知错误；不能用列举法表示，原因是集合 中有无数个元素，不能一一列举 4用列举法表示集合 D(x，y)，xN，yN|yx28为_ 答案(0,8)，(1,7)，(2,4) 解析由已知得集合 D 为点集，结合元素的条件可知答案只有三组，列举可得答案 课时对点练课时对点练 1已知集合 Mx|xN，则() A0MBM C. 2MD1M 答案A 解析由集合 Mx|xN知： 0M， 故 A 正确； M， 故 B 错误； 2M， 故 C 错误； 1M， 故 D 错误 2已知集合 A1,2，Bx|xab，aA，bA，则集合 B 中的元素个数为()
15、 A1B2C3D4 答案C 解析集合 A1,2，Bx|xab，aA，bA，B2,3,4，集合 B 中的元素 个数为 3. 3把集合x|x24x50用列举法表示为() Ax1，x5Bx|x1，或 x5 Cx24x50D1,5 答案D 解析根据题意，解 x24x50 可得 x1 或 5，用列举法表示为1,5 4若 1x2，x2，则实数 x 的值为() A1B1C1 或1D1 或 3 答案B 解析由 1x2，x2，可得 x21(x21 时，由元素的互异性排除)，则 x1.当 x1 时，x23，满足要求；当 x1 时，121，不满足元素的互异性， x1. 5下列集合中表示同一集合的是() AM(3,2
16、)，N(2,3) BM2,3，N3,2 CM(x，y)|xy1，Ny|xy1 DM2,3，N(2,3) 答案B 解析选项 A 中的集合 M 是由点(3,2)组成的点集，集合 N 是由点(2,3)组成的点集，故集合 M 与 N 不是同一个集合；选项 C 中的集合 M 是由一次函数 y1x 图象上的所有点组成的 集合， 集合 N 是由一次函数 y1x 图象上的所有点的纵坐标组成的集合， 即 Ny|xy1 R，故集合 M 与 N 不是同一个集合；选项 D 中的集合 M 是数集，而集合 N 是点集，故集 合 M 与 N 不是同一个集合；对于选项 B，由集合中元素的无序性，可知 M，N 表示同一个集 合
17、 6(多选)已知集合 AxN|x6，则下列关系式成立的是() A0AB1.5A C1AD6A 答案ABC 解析AxN|x60,1,2,3,4,5，6A，故 D 不成立，其余都成立 7集合x|x2m3，mN*，m5，用列举法表示为_ 答案1,1,3,5 解析集合中的元素满足 x2m3，mN*，m6 的解构成的集合； (4)大于 0.5 且不大于 6 的自然数的全体构成的集合； (5)方程组 2xy3， x2y4 的解集 解(1)0，1 (2)x|x2n1，且 x8 (4)1,2,3,4,5,6 (5)解集用描述法表示为 x，y| 2xy3， x2y4， 解集用列举法表示为(2，1) 10下列三个
18、集合： Ax|yx21； By|yx21； C(x，y)|yx21 (1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义分别是什么？ 解(1)它们是互不相同的集合 (2)集合 Ax|yx21的代表元素是 x，且 xR； 集合 By|yx21的代表元素是 y，满足条件 yx21 的 y 的取值范围是 y1. 集合 C(x，y)|yx21的代表元素是(x，y)，是抛物线 yx21 上的点 11由大于3 且小于 11 的偶数所组成的集合是() Ax|3x11，xZ Bx|3x11 Cx|3x11，x2k Dx|3x11，x2k，kZ 答案D 解析由题意可知，满足题设条件的只有选项 D. 12将集合 x
19、，y| xy5， 2xy1用列举法表示，正确的是() A2,3B(2,3) Cx2，y3D(2,3) 答案B 解析解方程组 xy5， 2xy1 得 x2， y3， 所以集合 x，y| xy5， 2xy1(2,3) 13已知 Aa2,2a25a,12且3A，则由 a 的值构成的集合是() A3 2 B. 1，3 2 C1D. 3 2 答案D 解析3A，Aa2,2a25a,12， a23， 2a25a3， 2a25a12 或 2a25a3， a23， a212， 解得 a3 2.D 正确 14若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合 A 1,1,2_(填“是”或“不是”)
20、可倒数集试写出一个含三个元素的可倒数集 _(答案不唯一) 答案不是 1，2，1 2 解析由于 2 的倒数1 2不在集合 A 中，故集合 A 不是可倒数集若一个元素 aA，则 1 aA. 若集合中有三个元素，故必有一个元素 a1 a，即 a1，故可取的集合有 1，2，1 2 ， 1，3，1 3 等 15对于任意两个正整数 m，n，定义某种运算“”如下：当 m，n 都为正偶数或正奇数时， mnmn；当 m，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，mnmn，则在此定义下， 集合 M(a，b)|ab16中的元素个数是() A18B17C16D15 答案B 解析因为 11516,21416,31316,4
21、1216,51116,61016,7916,88 16,9716,10616,11516,12416,13316,14216,15116,116 16,16116，集合 M 中的元素是有序数对(a，b)，所以集合 M 中的元素共有 17 个 16已知集合 A xN| 9 10 xN，B 9 10 xN|xN ，试问集合 A 与 B 有几个相 同的元素？并写出由这些相同元素组成的集合 解对于集合 A，因为 xN， 9 10 xN， 所以当 x1 时， 9 10 x1； 当 x7 时， 9 10 x3； 当 x9 时， 9 10 x9. 所以 A1,7,9，B1,3,9 所以集合 A 与 B 有 2 个相同的元素，集合 A，B 的相同元素组成的集合为1,9
