1、2.2基本不等式基本不等式 第第 1 课时课时基本不等式基本不等式 学习目标1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 导语 从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他 缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加 砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后 把两个读数相加除以 2 作为黄金的最终质量出售你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？ 要解决这个问题，我们一起进入今天的课堂吧！ 一、基本不等式的证明与理解 问题 1如图是不等式第一节课我们抽象出来
2、的在北京召开第 24 届国际数学家大会的会标， 你还记得我们得出什么样的结论吗？ 提示正方形的边长 AB a2b2，故正方形的面积为 a2b2，而四个直角三角形的面积为 2ab，故有 a2b22ab，当且仅当 ab 时，等号成立实际上该不等式对任意的实数 a，b 都能成立，我们称该不等式为重要不等式 问题 2现在我们讨论一种特别的情况，如果 a0，b0，我们用 a， b分别替换上式中的 a， b，能得到什么样结论？ 提示用 a， b分别替换上式中的 a， b 可得到 ab2 ab， 当且仅当 ab 时， 等号成立 我 们习惯表示成 abab 2 . 问题 3上述不等式是在重要不等式基础上转化出
3、来的，是否对所有的 a0，b0 都能成立？ 请给出证明 提示方法一(作差法) ab 2 abab2 ab 2 a 22 ab b2 2 a b 2 2 0，即ab 2 ab，当且仅当 a b 时，等号成立 方法二(性质法) 要证 abab 2 ， 只需证 2 abab， 只需证 2 abab0， 只需证( a b)20， 显然( a b)20 成立，当且仅当 ab 时，等号成立 方法三(利用几何意义证明) 如图 AB 是圆的直径，点 C 是 AB 上一点，ACa，BCb，过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE， 连接 AD，BD，故有ACDDCB，故 CD ab，由于 CD 小于或等于圆的半径，
4、故用不 等式表示为 abab 2 ，由此也可以得出圆的半径不小于半弦 知识梳理 1基本不等式：如果 a0，b0，则 abab 2 ，当且仅当 ab 时，等号成立 2其中ab 2 叫做正数 a，b 的算术平均数， ab叫做正数 a，b 的几何平均数 3两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 二、求简单代数式的最值 例 1已知 x0，求 x4 x的最小值 解因为 x0， 所以 x4 x2 x4 x4， 当且仅当 x4 x，即 x2 时等号成立，因此所求的最小值为 4. 延伸探究 1当 x0 时，求 x4 x的最大值 解原多项式可变为 x4 x x 4 x ， 因为 x0， 故有x 4 x2 x
5、 4 x 4， 所以 x 4 x 4，当且仅当x4 x，即 x2 时等号成立故原式的最大值为 4. 2当 x1 时，求 x 4 x1的最小值 解因为 x1，故有 x10， 所以 x 4 x1x1 4 x112 x1 4 x115， 当且仅当 x1 4 x1，即 x3 时等号成立因此所求最小值为 5. 反思感悟在利用基本不等式求最值时要注意三点 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，(恰当变形，合理拆分项或 配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备，检验多项式取得最值时的 x 的值是否为已知范围内的值，故三点缺一不可 跟踪训练 1(多选)下面四个推导过程正确
6、的有() A若 a，b 为正实数，则b a a b2 b a a b2 B若 aR，a0，则4 aa2 4 aa4 C若 x，yR，xy0，则x y y x x y y x2 x y y x 2 D若 a0，b0，则a 2b2 2 ab 答案AC 解析A 中，a，b 为正实数，b a， a b为正实数，符合基本不等式的条件，故 A 正确 B 中，aR，a0，不符合基本不等式的条件， 4 aa2 4 aa4 是错误的 C 中，由 xy0，b0 时，有 abab 2 ；ab ab 2 2；ab2 ab.由此我们发现若两个 正数的和为定值时，我们可以求这两个数乘积的最大值，若两个数的乘积为定值时，我
7、们可 以求这两个数和的最小值 知识梳理 最值定理 已知 x，y 都为正数，则(1)如果积 xy 等于定值 P，那么当且仅当 xy 时，和 xy 有最小值 2 P；(2)如果和 xy 等于定值 S，那么当且仅当 xy 时，积 xy 有最大值 1 4S 2，简记为：积定 和最小，和定积最大 注意点： (1)三个关键点：一正、二定、三相等一正：各项必须为正；二定：各项之和或各项之 积为定值；三相等：必须验证取等号时的条件是否具备(2)探求过程中常需依据具体的问 题进行合理的拆项、凑项、配项等变换 例 2(1)设 x0，y0，且 xy18，则 xy 的最大值为() A80B77 C81D82 答案C
8、解析因为 x0，y0， 所以xy 2 xy， 即 xy xy 2 281， 当且仅当 xy9 时，(xy)max81. (2)已知 0 x0，则 yx(12x)1 22x(12x) 1 2 2x12x 2 21 8， 当且仅当 2x12x，即 x1 4时，等号成立 所以 y 的最大值为1 8. 反思感悟通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求最值应注意以 下几个方面：拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整， 做到等价转换；代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；拆项、添项应注意检验利 用基本不等式的前提
9、 跟踪训练 2(1)当 x 取什么值时，x21 x2取得最小值？最小值是多少？ 解x21 x22 x21 x22， 当且仅当 x21 x2，即 x1 时等号成立 当 x1 或1 时，x21 x2取得最小值，最小值为 2. (2)已知1x1，求 1x2的最大值 解当 x1 时，1x20. 当1x0,1x0， 1x2(1x)(1x) 1x1x 2 21， 当且仅当 1x1x， 即 x0 时取等号 1x2的最大值为 1，此时 x0. 1知识清单： (1)基本不等式的推导与证明 (2)求简单代数式的最值 (3)最值定理 2方法归纳：拼凑法 3常见误区：利用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”缺一不可
10、，尤其是“当且仅当， 等号成立”这八个字，更是不能缺少 1不等式 a212a 中等号成立的条件是() Aa1Ba1 Ca1Da0 答案B 解析当 a212a，即(a1)20， 即 a1 时，等号成立 2已知 x0，则 x1 x2 有( ) A最大值为 0B最小值为 0 C最大值为4D最小值为4 答案C 解析x0，x1 x2 x 1 x 2224.当且仅当x1 x， 即 x1 时“”成立 3下列结论正确的是() A当 x0 且 x1 时，x1 x2 B当 x0 时， x 1 x2 C当 x0，x1 x的最小值为 2 D当 x0 时，x1 x2的最小值为 2 答案B 解析选项 A 不满足“取等号时
11、的条件”，故不正确； 选项 C 不满足“各项必须为正”，故不正确； 选项 D 不满足“积为定值”，故不正确 4当 a，bR 时，下列不等关系成立的是_ ab 2 ab；ab2 ab；a2b22ab；a2b22ab. 答案 解析根据a 2b2 2 ab，ab 2 ab成立的条件判断，知错，只有正确 课时对点练课时对点练 1下列不等式中正确的是() Aa4 a4 Ba2b24ab C. abab 2 Dx23 x22 3 答案D 解析若 a0，则 a4 a4 不成立，故 A 错； 若 a1，b1，则 a2b24ab，故 B 错； 若 a4，b16，则 ab1)B. y t 1 t C. yt 1
12、t1(t1) Dyt1 t 1(t0) 答案B 解析A 中，yt1 t 2，当且仅当 t1 时等号成立；B 中，y t 1 t2，当且仅当 t1 时等号成立；C 中，yt 1 t1t1 1 t113；D 中，yt 1 t13. 3设 x，y 满足 xy40，且 x，y 都是正数，则 xy 的最大值是() A400B100C40D20 答案A 解析 xyxy 2 (x0，y0)， xy xy 2 2 40 2 2400. 当且仅当 xy20 时，等号成立 4设 x0，则 33x1 x的最大值是( ) A3B32 2C1D32 3 答案D 解析x0，3x1 x2 3x1 x2 3， 当且仅当 x
13、3 3 时，等号成立， 3x1 x 2 3， 则 33x1 x32 3. 5(多选)已知 x0，y0，xyp，xys，则下列命题正确的是() A如果 s 是定值，那么当且仅当 xy 时 p 的值最大 B如果 s 是定值，那么当且仅当 xy 时 p 的值最小 C如果 p 是定值，那么当且仅当 xy 时 s 的值最大 D如果 p 是定值，那么当且仅当 xy 时 s 的值最小 答案BC 6(多选)下列条件可使b a a b2 成立的有( ) Aab0Bab0，b0Da0，b0， a b0. 7已知 0 x1，则 x(1x)的最大值为_，此时 x_. 答案 1 4 1 2 解析因为 0 x0，所以 x
14、(1x) x1x 2 2 1 2 21 4，当且仅当 x1x， 即 x1 2时“”成立，即当 x 1 2时，x(1x)取得最大值 1 4. 8下列不等式：a212a；|x 1 x|2；ab ab 2；x2 1 x211.其中正确的个数是 _ 答案2 解析由基本不等式可知正确 9已知 x3，求 4 x3x 的最小值 解因为 x3，所以 x30， 所以 4 x3x 4 x3(x3)3 2 4 x3x33 2 43 7， 当且仅当 4 x3x3，即 x5 时，等号成立 所以 4 x3x 的最小值为 7. 10(1)已知 x5 4，求 y4x2 1 4x5的最大值； (2)已知 0 x1 2，求 y
15、1 2x(12x)的最大值 解(1)x0， y4x2 1 4x5 54x 1 54x 3231， 当且仅当 54x 1 54x，即 x1 时，上式等号成立， 故当 x1 时，ymax1. (2)0 x0， y1 42x(12x) 1 4 2x12x 2 2 1 4 1 4 1 16， 当且仅当 2x12x 0 x1 2 ， 即 x1 4时，上式等号成立， 故当 x1 4时，y max 1 16. 11式子x 24 |x| 的最小值为() A3B4C6D8 答案B 解析 x24 |x| |x|4 |x|2 |x|4 |x|4，当且仅当|x| 4 |x|，即 x2 时，等号成立，故最小值为 4.
16、12若 0 x0，y0，且 x2y4，则(1x)(12y)的最大值为() A16B9C4D36 答案B 解析(1x)(12y) 1x12y 2 2 2x2y 2 29， 当且仅当 1x12y，即 x2， y1 时，等号成立 14已知 x0，y0,2x3y6，则 xy 的最大值为_ 答案 3 2 解析因为 x0，y0,2x3y6， 所以 xy1 6(2x3y) 1 6 2x3y 2 2 1 6 6 2 23 2. 当且仅当 2x3y，即 x3 2，y1 时，xy 取到最大值 3 2. 15(多选)一个矩形的周长为 l，面积为 S，则下列四组数对中，可作为数对(S，l)的有() A(1,4)B(6,8)C(7,12)D. 3，1 2 答案AC 解析设矩形的长和宽分别为 x，y， 则 xy1 2l，Sxy. 由 xy xy 2 2知，Sl2 16，故 AC 成立 16已知 x，y 为正实数，3x2y10，求 W 3x 2y的最大值 解x，y 为正实数，3x2y10， W23x2y2 3x2y10(3x2y)20， 当且仅当 3x2y,3x2y10， 即 x5 3，y 5 2时，等号成立 W2 5， 即 W 的最大值为 2 5.
