1、第第 2 课时课时二次函数与一元二次方程、不等式二次函数与一元二次方程、不等式 学习目标1.从函数观点看一元二次方程了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看 一元二次不等式经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的 现实意义.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 一、一元二次不等式的定义 问题 1园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉若栅栏的长度是 24 m，围成 的矩形区域的面积要大于 20 m2，则这个矩形的边长为多少米？ 提示设这个矩形的一条边长为 x m，则另一条边长为(12x)m. 由题意，得(12x)x20，其中
2、xx|0 x12 整理得 x212x200，xx|0 x0，ax2bxc0，ax2bxc0，ax2bxc0，其中 a0， a，b，c 均为常数 二、一元二次不等式的解法 问题 2如课本 51 页图 2.31，二次函数 yx212x20 的图象与 x 轴有两个交点，这与方 程 x212x200 的根有什么关系？ 提示函数图象与 x 轴交点的横坐标正好是方程的根 知识梳理 一般地，对于二次函数 yax2bxc，我们把使 ax2bxc0 的实数 x 叫做二次函数 y ax2bxc 的零点 注意点：零点不是点，只是函数的图象与 x 轴交点的横坐标 问题 3你能从二次函数 yx212x20 的图象上找
3、x212x200 的解集吗？ 提示从图象上看，位于 x 轴上方的图象使得函数值大于零，位于 x 轴下方的图象使得函数 值小于零，故 x212x200 的解集为x|2x000)的图象 一元二次方程 ax2 bxc0(a0)的根 有两个不相等的实 数根 x1，x2(x10(a0)的 解集 x|xx2 x|x b 2a R ax2bxc0)的 解集 x|x1xx2 注意点： (1)若不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的 方法得到不等式的解集；(2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集 为空集 例 1(教材 P52 例 1,2,3 改编)解下
4、列不等式： (1)2x2x60. 解(1)原不等式可化为 2x2x60. 因为方程 2x2x60 的判别式(1)24260，所以函数 y2x2x6 的图象开口 向上，与 x 轴无交点(如图所示)观察图象可得，原不等式的解集为 R. (2)原不等式可化为 x26x90，即(x3)20，函数 y(x3)2的图象如图所示， 根据图象可得，原不等式的解集为x|x3 (3)方程 x22x30 的两根是 x11，x23. 函数yx22x3的图象是开口向上的抛物线， 与x轴有两个交点(1,0)和(3,0)， 如图所示 观 察图象可得不等式的解集为x|x3 反思感悟解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)
5、化标准通过对不等式变形，使不等式的右侧为 0，使二次项系数为正 (2)判别式对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式 (3)求实根求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根 (4)画草图根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图 (5)写解集根据图象写出不等式的解集 跟踪训练 1解下列不等式： (1)x25x60； (2)(2x)(x3)0. 解(1)方程 x25x60 的两根为 x11，x26. 结合二次函数 yx25x6 的图象知，原不等式的解集为x|x6 (2)原不等式可化为(x2)(x3)0. 方程(x2)(x3)0 的两根为 x12，x23.
6、结合二次函数 y(x2)(x3)的图象知，原不等式的解集为x|x2 三、含参的一元二次不等式的解法 例 2解关于 x 的不等式 ax222xax(xR) 解原不等式可化为 ax2(a2)x20. 当 a0 时，原不等式化为 x10，解得 x1. 当 a0 时，原不等式化为 x2 a (x1)0， 解得 x2 a或 x1. 当 a1，即 a2 时，解得1x 2 a； 当2 a1，即 a2 时，解得 x1； 当2 a1，即2a0 时，不等式的解集为 x|x 2 a或 x1； 当2a0 时，不等式的解集为 x| 2 ax1； 当 a2 时，不等式的解集为1； 当 a0，a0)，两相同实根(0)，无根
7、(x2，x1x2，x10. 解原不等式可化为x(a1)x2(a1)0， 讨论 a1 与 2(a1)的大小 (1)当 a12(a1)，即 aa1 或 x2(a1) (2)当 a12(a1)，即 a3 时，不等式的解为 x4. (3)当 a13 时，不等式的解为 x2(a1)或 xa1. 综上，当 aa1 或 x3 时，不等式的解集为x|x2(a1)或 x0 的解集为() A. x|1x 1 3B. x| 1 3x1 CDR 答案D 解析因为(2)243141280 的解集为 R. 3不等式 35x2x20 的解集为() A. x|x3 或 x 1 2 B. x| 1 2x3 C. x|x3 或
8、x 1 2 DR 答案C 解析35x2x202x25x30 (x3)(2x1)0 x3 或 x1 2. 4若 0m1，则不等式(xm) x1 m 0 的解集为_ 答案x|mx 1 m 解析0m1m， 故原不等式的解集为 x|mx0；x2x5；ax22；x35x60；mx25y0.其中是一元二次不等式的有() A5 个B4 个C3 个D2 个 答案D 解析根据一元二次不等式的定义，只有满足故选 D. 2不等式 9x26x10 的解集是() A. x|x 1 3B. x| 1 3x 1 3 CD. x|x 1 3 答案D 解析原不等式可化为(3x1)20， 3x10，x1 3. 3不等式(x5)(
9、32x)6 的解集是() A. x|x1 或 x 9 2 B. x|1x 9 2 C. x|x 9 2或 x1 D. x| 9 2x1 答案D 解析方法一取 x1 检验，满足，排除 A； 取 x4 检验，不满足，排除 B，C. 方法二原不等式可化为 2x27x90， 即(x1)(2x9)0，解得9 2x1. 4若集合 Ax|(2x1)(x3)0，BxN*|x5，则 AB 等于() A1,2,3B1,2 C4,5D1,2,3,4,5 答案B 解析(2x1)(x3)0，1 2x0 的解集是() A. x| 1 3x 1 2 C. x|x 1 3D. x|x 1 2 答案D 6(多选)函数 yx24
10、x3 的零点为() A(1,0)B1C(3,0)D3 答案BD 7不等式 x24x40 的解集是_ 答案x|x2 解析原不等式可化为(x2)20，x2. 8若 a0，则关于 x 的不等式 a(x1) x1 a 1 a或 x1 解析因为 a0，方程(x1) x1 a 0 的两根为1， 1 a，显然 1 a01，所以原不等式的解集为 x| x1 a或 x1. 9已知不等式 x2x60 的解集为 A，不等式 x22x30 的解集为 B.求 AB. 解由 x2x60 得3x2. Ax|3x2由 x22x30，得1x3， Bx|1x3ABx|1x2 10解关于 x 的不等式 x2ax2a20(aR) 解
11、原不等式可化为(x2a)(xa)0 时，x1x2， 不等式的解集为x|ax2a； 当 a0 时，原不等式化为 x20，解集为； 当 a0 时，x1x2，不等式的解集为x|2ax0 时，不等式的解集为x|ax2a； 当 a0 时，不等式的解集为； 当 a0 时，不等式的解集为x|2ax0，则关于 x 的不等式(mx)(nx)0 的解集是() Ax|xmBx|nxm Cx|xnDx|mx0，所以 mn，结合函数 y(m x)(nx)的图象(图略)，得不等式的解集是x|nxm 12在 R 上定义运算“”：abab2ab，则满足 x(x2)0 的实数 x 的取值范围为 () Ax|0 x2Bx|2x1
12、 Cx|x1Dx|1x2 答案B 解析根据给出的定义得， x(x2)x(x2)2x(x2) x2x2(x2)(x1)， 又 x(x2)0， 则(x2)(x1)0， 故不等式的解集是x|2x0 Cx26x100D2x23x41 答案AC 解析A 中12410，解集不为 R； C 中624100.满足条件； D 中不等式可化为 2x23x30，若此不等式的解集为 x| 1 mx2，则 m 的取值范围 是_ 答案m|m0 解析由题意知 m0 的解集为 x| 1 mx2， 方程(mx1)(x2)0 的两个实数根为1 m和 2， 且 m0， 1 m2， 解得 m0， m 的取值范围是m|m0 15 设不
13、等式 x22axa20 的解集为 A， 若 Ax|1x3， 则 a 的取值范围为_ 答案1a11 5 解析设 yx22axa2， 因为不等式 x22axa20 的解集为 A， 且 Ax|1x3， 所以对于方程 x22axa20. 若 A，则4a24(a2)0， 即 a2a20， 解得1a2. 若 A，则 4a24a20， 122aa20， 3232aa20， 1a3， 即 a2 或 a1， a3， a11 5 ， 1a3， 所以 2a11 5 . 综上，a 的取值范围为1a11 5 . 16解关于 x 的不等式 x22ax20. 解因为4a28，所以当0，即 2a0，即 a 2或 a 2时，原不等式对应的方程有两个不等实根， 分别为 x1a a22， x2a a22，且 x1x2，所以原不等式的解集为x|a a22xa a22 综上所述， 当 2a 2或 a 2时， 原不等式的解集为x|a a22xa a22
