1、高中数学资料群（QQ 群号：734924357） 导数压轴大题导数压轴大题 7 个题型梳理归纳个题型梳理归纳 题型一：含参分类讨论题型一：含参分类讨论 类型一：主导函数为一次型类型一：主导函数为一次型 例 1：已知函数 lnfxaxax，且 0fx .求a的值 解：解： 1ax fx x .当 0a 时， 0fx ，即 fx在0,上单调递减，所以 当 0 1x时， 0 10fxf，与 0fx 恒成立矛盾. 当0a 时，因为 1 0 x a 时 0fx ，当 1 x a 时 0fx ，所以 min 1 f xf a ，又因为 1ln10faa，所以 1 1 a ，解得1a 类型二：主导函数为二次
2、型类型二：主导函数为二次型 例 2: 已知函数 32 0fxxkxx k.讨论 fx在, kk上的单调性. 解： fx的定义域为R， 2 3210fxxkxk，其开口向上，对称轴 3 k x ，且过0,1，故0 3 k kk ，明显不能分解因式，得 2 412k . （1）当 2 4120k 时， 即 30k 时， 0fx ， 所以 fx在, kk 上单调递增； （2）当 2 4120k 时，即 3k 时，令 2 3210fxxkx ，解得： 22 12 33 , 33 kkkk xx ，因为 2 10,010fkkf ， 所以两根均在,0k上. 因此，结合 fx 图像可得： fx在 22 3
3、3 , 33 kkkk kk 上单 调递增，在 22 33 , 33 kkkk 上单调递减. 高中数学资料群（QQ 群号：734924357） 类型三：主导函数为超越型类型三：主导函数为超越型 例 3：已知函数 cos x fxexx.求函数 fx在区间0, 2 上的最值. 解：定义域0, 2 ， cossin1 x fxexx，令 cossin1 x h xexx， 则 cossinsincos2sin . xx hxexxxxex 当0, 2 x ， 可得 0hx ， 即 h x在0, 2 递减， 可得 000h xh f ， 则 fx在0, 2 x 递减，所以 max 01,. 22 f
4、 xff xf 类型四：复杂含参分类讨论类型四：复杂含参分类讨论 例 4：已知函数 3 3fxxxa aR. 若 fx在1,1上的最大值和最小值分别记为 ,M am a， 求 M am a. 解： 3 3 3 33 , 3 33 , xxa xa fxxxa xxa xa ， 2 2 33, 33, xxa fx xxa 当1a 时，有xa，故 3 33fxxxa，所以 fx在1,1上是增 函数， 143 ,143M afa m afa ， 故 8M am a. 当11a 时，若 3 ,1 ,33xafxxxa，在,1a上是增函数；若 1,xa ， 3 33fxxxa，在1,a上是减函数， 3
5、 max1 ,1,M affm af aa，由于 1162ffa 因此当 1 1 3 a 时， 3 34M am aaa ；当 1 1 3 a时， 3 32M am aaa . 当1a 时，有xa，故 3 33fxxxa，此时 fx在1,1上是减函 数，因此 123 ,123M afa m afa ，故 4M am a. 高中数学资料群（QQ 群号：734924357） 题型二：利用参变分离法解决的恒成立问题题型二：利用参变分离法解决的恒成立问题 类型一：参变分离后分母跨类型一：参变分离后分母跨 0 例 5： 已知函数 2 42,22 x fxxxg xex， 若2x 时， fxkg x， 求
6、k的取值范围. 解：由题意 2 4221 x xxkex，对于任意的2x 恒成立. 当1x ，上式恒成立，故kR； 当1x ，上式化为 2 42 21 x xx k ex ，令 2 42 1 , 21 x xx h xx ex 2 2 +2 21 x x xex h x ex ， 所以 h x在0 x 处取得最大值， 01kh 当21x 时， 上式化为 2 42 21 x xx k ex ， h x单调递增， 故 h x在2x 处取得最小值， 2 2khe. 综上，k的取值范围为 2 1,e . 类型二：参变分离后需多次求导类型二：参变分离后需多次求导 例 6：已知函数 212ln ,fxax
7、x aR对任意的 1 0,0 2 xf x 恒成立，求a的最小值. 解：即对 12ln 0,2 21 x xa x 恒成立. 令 2ln1 2,0, 12 x l xx x ，则 22 22 12ln2ln2 11 xxx xx lx xx 再令 22 2 12112 2ln2,0,0 2 x m xxxm x xxxx m x在 1 0, 2 上为减函数，于是 1 22ln20 2 m xm ， 高中数学资料群（QQ 群号：734924357） 从而， 0lx ，于是 l x在 1 0, 2 上为增函数， 1 24ln2 2 l xl ， 故要 2ln 2 1 x a x 恒成立，只要24l
8、n2,a，即a的最小值24ln2. 变式 1： 已知函数 1 ln,0 x f xxaR a ax ， 1 1 x g xbxxebR x （1）讨论 fx的单调性； （2）当1a 时，若关于x的不等式 2fxg x 恒成立，求b取值范围. 类型三：参变分离后零点设而不求类型三：参变分离后零点设而不求 例 7：已知函数 lnfxxxx，若kZ，且 1 fx k x 对于任意1x 恒成立， 求k的最大值. 解：恒成立不等式 min lnln , 111 f xxxxxxx kk xxx ，令 ln 1 xxx g x x ，则 2 ln2 1 xx gx x ，考虑分子 ln2,h xxx 1
9、10h x x ， h x在1,单调递增. 31 ln30,42ln20hh 高中数学资料群（QQ 群号：734924357） 由零点存在定理，3,4b ，使得 0h b . 所以1,xb， 00h xgx ， 同理 ,0 xbgx ， 所以 g x在 1,b单调递减， 在, b 单调递增. min ln 1 bbb g xg b b ， 因为 0h b 即ln20ln2bbbb， 2 3,4 , 1 bb b g bb b 所以 ,kb得 max 3k 变式 1： （理）已知函数 . xlnx e ax xf x （2）当0 x时， exf，求a的取值范围. 高中数学资料群（QQ 群号：73
10、4924357） 题型三：无法参变分离的恒成立问题题型三：无法参变分离的恒成立问题 类型一：切线法类型一：切线法 例 8：若 2 0,10 x xeaxx ，求a的取值范围. 类型二：赋值法类型二：赋值法 例 9：已知实数0a ，设函数 ln1,0fxaxxx. （1）当 3 4 a 时，求函数 fx的单调区间； （2）对于任意 2 1 , e 均有 2 x f x a ，求a的取值范围. 解析：（1）当 3 4 a 时， 3 ( )ln1,0 4 f xxx x 31( 12)(2 11) ( ) 42 141 xx f x xxxx ， 所以，函数( )f x的单调递减区间为（0，3），单
11、调递增区间为（3，+） 高中数学资料群（QQ 群号：734924357） （2）由 1 (1) 2 f a ，得 2 0 4 a 当 2 0 4 a时，( ) 2 x f x a 等价于 2 2 1 2ln0 xx x aa 令 1 t a ，则2 2t 设 2 ( )212ln ,2 2g ttxtxx t， 则( )(2 2)84 2 12lng tgxxx （i） 当 1 , 7 x 时， 1 12 2 x ， 则( )(2 2)84 2 12lng tgxxx 记 1 ( )42 2 1ln , 7 p xxxx x，则 2212121 ( ) 11 xxxx p x xxxx x .
12、故 x 1 7 1 ( ,1) 7 1(1,) ( )p x0+ ( )p x 1 ( ) 7 p单调递减极小值(1)p单调递增 所以，( )(1)0p xp因此，( )(2 2)2 ( )0g tgp x （ii）当 2 11 , e7 x 时， 12ln(1) ( )1 2 xxx g tg xx 令 2 11 ( )2ln(1), e7 q xxxxx ，则 ln2 ( )10 x q x x ， 故( )q x在 2 11 , e7 上单调递增，所以 1 ( ) 7 q xq 由（i）得 12 712 7 (1)0 7777 qpp 所以，( )0q x 因 此 1( ) ( )10
13、2 q x g tg xx 由 （ i ）（ ii ） 得 对 任 意 2 1 , e x ， 2 2,), ( ) 0tg t，即对任意 2 1 , e x ，均有( ) 2 x f x a 高中数学资料群（QQ 群号：734924357） 综上所述，所求 a 的取值范围是 2 0, 4 题型四：零点问题题型四：零点问题 类型一：利用单调性与零点存在定理讨论零点个数类型一：利用单调性与零点存在定理讨论零点个数 例 10：已知函数 3 1 +ln . 4 fxxaxg xx ， （2） 用min,m n表示 ,m n中最小值， 设函数 min,0h xfxg xx 讨论 h x零点个数. 解：
14、 （2）当(1,)x时，( )ln0g xx ，从而 ( )min ( ), ( )( )0h xf x g xg x，( )h x在(1,)无零点 当x=1 时，若 5 4 a，则 5 (1)0 4 fa，(1)min (1), (1)(1)0hfgg, 故x=1 是( )h x的零点；若 5 4 a ，则 5 (1)0 4 fa， (1)min (1), (1)(1)0hfgf,故x=1 不是( )h x的零点 当(0,1)x时，( )ln0g xx ，所以只需考虑( )f x在(0,1)的零点个数 ()若3a或0a，则 2 ( )3fxxa在(0,1)无零点，故( )f x在(0,1)单
15、调， 而 1 (0) 4 f， 5 (1) 4 fa，所以当3a时，( )f x在(0,1)有一个零点； 当a0 时，( )f x在(0,1)无零点. ()若30a ，则( )f x在（0， 3 a ）单调递减，在（ 3 a ，1）单调递增， 故当x= 3 a 时，( )f x取的最小值，最小值为() 3 a f= 21 334 aa 若() 3 a f0，即 3 4 a0，( )f x在(0,1)无零点 若() 3 a f=0，即 3 4 a ，则( )f x在(0,1)有唯一零点； 高中数学资料群（QQ 群号：734924357） 若() 3 a f0，即 3 3 4 a ，由于 1 (0
16、) 4 f， 5 (1) 4 fa， 所以当 53 44 a 时，( )f x在(0,1)有两个零点； 当 5 3 4 a 时，( )f x在(0,1)有一个零点 综上，当 3 4 a 或 5 4 a 时，( )h x由一个零点； 当 3 4 a 或 5 4 a 时，( )h x有两个零点；当 53 44 a 时，( )h x有三个零点 类型二：类型二：方向上的函数值分析方向上的函数值分析 例 11：已知函数 2 2. xx fxaeaex若 fx有两个零点，求a取值范围. （2） （）若0a，由（1）知，( )f x至多有一个零点 （）若0a ，由（1）知，当lnxa 时，( )f x取得最
17、小值，最小值为 1 ( ln )1lnfaa a 当1a 时，由于( ln )0fa，故( )f x只有一个零点； 当(1,)a时，由于 1 1ln0a a ，即( ln )0fa，故( )f x没有零点； 当(0,1)a时， 1 1ln0a a ，即( ln )0fa 又 422 ( 2)e(2)e22e20faa ，故( )f x在(,ln )a 有一个零点 设正整数 0 n满足 0 3 ln1n a ， 则 00 00 3 2ln10 nn f neaenf a ， 因此( )f x在( ln ,)a有一个零点综上，a的取值范围为(0,1) 总结：若01,ln0afa，要证明 fx有两个
18、零点，结合零点存在定理，分 别在a的左右两侧，这两个点的函数值 fx都大于 0，这时候需要我们对函数 进行适当地放缩，化简，以便取值. 先分析当x ， 2 , xx aeae虽然为正，但是对式子影响不大，因此可以大胆 的舍掉，得出 2 x fxxe ，显然我们对于右侧这个式子观察，就容易得出 高中数学资料群（QQ 群号：734924357） 一个足够小的x（如1x ） ，使得式子大于 0 了. 再分析当x ，我们可以把 x ae这个虽然是正数，但贡献比较小的项舍掉来 简化运算，得到 2 xx f xeaex，显然当x足够大，就可以使 2 x ae 大于任何正数.那么把它放缩成多少才可以使得 x
19、 e的倍数大于x呢？由常用的不 等式1 x exx ，因此只需要使得21 x ae 即 3 lnx a （如 3 ln1x a ） 就可以了. 题型五：极值点偏移题型五：极值点偏移 类型一：标准极值点偏移类型一：标准极值点偏移 例 13:已知函数 2 21 x f xxea x有两个零点 1,2 x x，证明 12 2.xx 解： 不妨设 12 xx，由（）知 12 (,1),(1,)xx ， 2 2(,1)x ， 又( )f x在(,1)上单调递减，所以 12 2xx等价于 12 ()(2)f xfx， 即 2 (2)0fx由于 2 22 222 (2)(1) x fxx ea x ， 而
20、2 2 222 ()(2)(1)0 x f xxea x， 所以 22 2 222 (2)(2) xx fxx exe 设 2 ( )(2) xx g xxexe ，则 2 ( )(1)() xx g xxee 所以当1x 时，( )0g x ，而(1)0g，故当1x 时，( )0g x 从而 22 ()(2)0g xfx，故 12 2xx 类型二：推广极值点偏移类型二：推广极值点偏移 例例 14：已知：已知 12 ln ,fxxx fxfx，求证求证 12 1xx. 解：我们可以发现 12 ,x x不一定恒在 1 2 x 两侧，因此需要分类讨论： （1）若 12 1 0 2 xx，则 12
21、11 1 22 xx，该不等式显然成立； （2）若 12 1 01 2 xx，令 1ln1ln 1g xfxfxxxxx 高中数学资料群（QQ 群号：734924357） 1 0 2 x，故 12 lnln 12,0 1 x gxxxgx xx ， gx 在 1 0, 2 上单调递增，当0 x 时， 1 ;22ln20 2 gxg . 0 1 0, 2 x 使 0 0gx即 g x在 0 0,x上单调递减，在 0 1 , 2 x 上单调递 增，又0 x 时， 0g x ，且 1 0 2 g ，故 0g x ，即 1fxfx 对 1 0, 2 x 成立，得证. 题型六：双变量问题题型六：双变量问
22、题 类型一：齐次划转单变量类型一：齐次划转单变量 例例 15：已知函数：已知函数 1 ln 1 a x fxx x 2a .设设,m nR，且且mn， 求证求证 lnln2 mnmn mn . 解：设解：设m n ，证明原不等式成立等价于证明 2 ln mnm mnn 成立，即证明 21 ln 1 m mn m n n 成立.令 m t n ，1t ，即证 21 ln0 1 t g tt t .由 （1）得， g t在0,上单调递增，故 10g tg，得证. 变式变式 1 1：对数函数 xf过定点 2 1 ,eP，函数 为常数m,nxfmnxg， 的导函数为其中xfx f . （1）讨论 xg
23、的单调性； （2）若对于,x0有 mnxg恒成立，且 nxxgxh2在 2121 xxx ,xx处的导数相等，求证： 227 21 lnxhxh. 高中数学资料群（QQ 群号：734924357） 解解： （2 2）因为因为 1gnm，而0,x 有 1g xnmg恒成立，知 g x当1x 时有最大值 1g，有（1）知必有1m . 11 ln ,22ln ,g xnx h xg xxnxx xx 依题意设 2 11 12 2 22 11 20 , 11 20 k xx h xh xk k xx 12 11 1 xx 12121212 +=24xxx xx xx x 1212121212 12 1
24、1 2+lnln21 lnh xh xxxxxx xx x xx 令 12 4,21lntx xttt ， 1 204tt t t在4t 单调递增， 472ln2t 类型二：构造相同表达式转变单变量类型二：构造相同表达式转变单变量 例例 1616：已知：已知 ,m n是正整数，且 是正整数，且1mn，证明证明11. nm mn 解：两边同时取对数，证明不等式成立等价于证明解：两边同时取对数，证明不等式成立等价于证明ln 1ln1nmmn， 即证明 ln 1ln 1mn mn ，构造函数，构造函数 ln 1x f x x ， 2 ln 1 1 x x x fx x ，令 ln 1 1 x g x
25、x x ， 22 11 0 1 11 x gx x xx ，故 00g xg，故 0fx ，结合1,mn知 f mf n 类型三：方程消元转单变量类型三：方程消元转单变量 例例 17： 已知已知 ln x f x x 与与 g xaxb， 两交点的横坐标分别为两交点的横坐标分别为 1,2 x x， ， 12 xx， 求证：求证： 1212 2xxg xx 高中数学资料群（QQ 群号：734924357） 解：依题意解：依题意 1 1 2 1111 2 2 222 2 2 ln ln ln ln x axb xxaxbx x xaxbx axb x ，相减得： 12121212 lnlnxxa
26、xxxxb xx，化简得 1 2 12 12 ln x x a xxb xx ， 1 12 121 12121212 1 1222 2 1 lnln 1 x xxxxx xxg xxxxa xxb x xxxx x 设 12 xx，令 1 2 1 x t x ， 1212 211 2ln2ln0 11 tt xxg xxtt tt 再求导分析单调性即可. 变式变式 1：已知函数 1axxlnxf有两个零点 21 x ,x.10a （2）记 xf的极值点为 0 x，求证： 021 2xefxx. 高中数学资料群（QQ 群号：734924357） 变式变式 2 2：设函数：设函数 32 11 2
27、32 x f xexkxkx. 若 fx存在三个极值点 123 ,x x x， 且 123 xxx， 求k范围， 证明 132 2xxx. 高中数学资料群（QQ 群号：734924357） 变式 3：已知函数 1 2 2 ln21 x e f xax xx 在定义域0,2内有两个极值点. （1）求实数a的取值范围； （2）设 12 ,x x是 fx两个极值点，求证 12 lnlnln0 xxa. 高中数学资料群（QQ 群号：734924357） 类型四：利用韦达定理转单变量类型四：利用韦达定理转单变量 例 18：已知 2 1 ln0 2 f xxxax a，若 fx存在两极值点 1,2 x x
28、， ， 求证：求证： 12 32ln2 4 f xf x . 解： 2 1, axxa fxx xx 由韦达定理 1212 1,xxx xa 1 1 40, 4 aa 2 1212121212 1 +2ln 2 fxfxxxx xxxax x 11 121lnln 22 aaaaaa 令 11 ln,0,ln0 24 g aaaaagaa， g a在 1 0, 4 上单调递 减，故 132ln2 44 g ag . 变式 1:已知函数 .Ra , xaxxlnxf2 2 （2）若n ,m是函数 xf的两个极值点，且nm，求证：.mn1 高中数学资料群（QQ 群号：734924357） 方法二：
29、 变式 2：已知函数 2 13 ln2 22 f xxaxx0a . （1）讨论函数 fx的极值点个数； （2）若 fx有两个极值点 12 ,x x，证明 11 0fxfx. 高中数学资料群（QQ 群号：734924357） 题型六：不等式问题题型六：不等式问题 类型一：直接构造函数解决不等式问题类型一：直接构造函数解决不等式问题 例 19：当0,1x时，证明： 22 1ln1xxx. 解：令 22 1ln1fxxxx，则 00f，而 2 ln1ln 12 ,00fxxxx f，当0,1x时， 有ln 1xx， 故 ln 122 22ln 10 111 x fxxx xxx ， fx 在0,1
30、上递减，即 00fxf ，从而 fx在0,1递减， 00fxf，原不等式得证. 变式 1：已知函数 Raexxlnxaxf1. （1）求函数 xf在点1x处的切线方程； （2）若不等式 0 x exf对任意的 ,x1恒成立，求实数a的取值范围 解： （2）令 1 ln1 , xx g xfxea xxexex 1 ln1 x gxaxee x ， 若0a ，则 gx 在1,上单调递减，又 10 g . 即 0gx 恒成立，所以 g x在1,上单调递减，又 10g，所以 0g x 恒成立. 0a ，令 1 ln1, x h xgxaxee x 所以 2 11 x h xae xx ，易知 2 1
31、1 xx 与 x -e在 1,上单调递减， 所以 hx 在1,上单调递减， 12hae . 当20ae，即0 2 e a时， 0hx 在1,上恒成立， 高中数学资料群（QQ 群号：734924357） 则 h x在1,上单调递减，即 gx 在1,上单调递减，又 10 g ， 0gx 恒成立， g x在1,上单调递减， 又 10g， 0g x 恒成立. 当20ae时， 即 2 e a 时， 0 1,x使 0 0hx， 所以 h x在 0 1,x 上单调递增，此时 10h xh，所以 0gx 所以 g x在 0 1,x递增，得 10g xg，不符合题意. 综上，实数a的取值范围是 2 e a .
32、变式 2： （文）已知函数 .Ra ,xaxg, xlnxxf11 （1）求直线 xgy 与曲线 xfy 相切时，切点T的坐标. （2）当10,x时， xfxg恒成立，求a的取值范围. 解：(1)设切点坐标为 00 xy， 1 ln1fxx x ， 则 0 0 000 1 ln1 1 ln1 xa x xxa x ， 00 0 1 2ln0 xx x . 令 1 2lnh xxx x ， 2 2 21 0 xx hx x ， h x在 0 ，上单调递减， 0h x 最多有一根.又 10h， 0 1x ，此时 0 0y ，T的坐标为(1，0). (2)当0 1x，时， ( )g xf x恒成立，
33、等价于 1 ln0 1 a x x x 对0 1x，恒成立. 令 1 ln 1 a x h xx x ，则 2 22 2 11 12 11 xa x a hx x xx x ， 10h. 当2a ，1x 0，时， 22 2 11210 xa xxx ， 0hx， h x 在 0 1x，上单调递增，因此 0h x . 当2a 时，令 0hx得 22 12 111111xaaxaa ，. 由 2 1x 与 12 1x x 得， 1 01x. 当 1 1 xx，时， 0hx ， h x单调递减， 当 1 1 xx，时， 10h xh，不符合题意； 综上所述得，a的取值范围是 2，. 变式 3： （文
34、）已知函数 .xxxlnxf1 2 高中数学资料群（QQ 群号：734924357） （2）若存在实数m，对于任意 0 x，不等式 021 2 xxmxf恒 成立，求实数m的最小整数值. 解： （2）法一：参变分离+二次局部求导+虚设零点 变式 4：（理）已知函数 Raxaeaexf xx 22. （1）讨论 xf的单调性； （2）当0 x时， , xcosaxf2求实数a的取值范围. 高中数学资料群（QQ 群号：734924357） 变式 5：已知已知 1 ln , m f xxmx mR x . （1）当 2 0 2 e m时，证明 2 1 x exxfxm . 高中数学资料群（QQ 群号
35、：734924357） 类型二：利用类型二：利用 minmax fg证明不等式问题不等式问题 例例 2020：设函数：设函数 1 ln x x be f xaex x 曲线曲线 yfx在点在点 1,1f的切线方程为的切线方程为 12ye x. （1）求求, a b值；值； （2）证明：证明： 1fx 【解析】(1)函数( )f x的定义域为(0,)， 11 2 ( )ln xxxx abb f xaexeee xxx 由题意可得(1)2f，(1)fe1,2.ab故 (2)由(1)知 1 2 ( )ln xx f xexe x ，从而( )1f x 等价于 2 ln x xxxe e 设函数(
36、)1g xx nx，则( )1g xnx 所以当 1 (0, )x e 时，( )0g x；当 1 ( ,)x e 时，( )0g x 故( )g x在 1 (0, ) e 单调递减，在 1 ( ,) e 单调递增， 高中数学资料群（QQ 群号：734924357） 从而( )g x在(0,)的最小值为 11 ( )g ee 设函数 2 ( ) x h xxe e ，则( )(1) x h xex 所以当(0,1)x时( )0h x； 当(1,)x时，( )0h x故( )h x在(0,1)单调递增， 在(1,)单调递减，从而( )h x在(0,)的最大值为 1 (1)h e 变式变式 1.1
37、.已知函数 xlnabxxf 2 的图像在点 11 f ,处的切线斜率为2a. （1）讨论 xf的单调性； （2）当 2 0 e a 时，证明： 22 2 x e x xxf 解： （2）要证 22 2 x fxxe x ，需证明 2 2 ln2 x axe xx . 令 ln 0 2 axe g xa x ，则 2 1 lnax gx x ， 当 0gx 时，得0 xe；当 0,gx 得x e . 所以 max a g xg e e . 令 2 2 2 0 x e h xx x ，则 2 3 22 x ex h x x . 当 0hx 时，得2x ；当 0hx 时，得02x. 所以 min
38、1 2 2 h xh.因为0 2 e a，所以 max 1 2 a g x e . 又2e ，所以 2 2 ln2 x axe xx ，即 22 2 x fxxe x 得证. 变式变式 2 2： （理）已知函数 .axln a x xf （1）求 xf的极值； （2）若01 2 mxemxxlne xx ，求正实数m的取值范围. 高中数学资料群（QQ 群号：734924357） 变式变式 3 3：已知：已知 1 ln , m f xxmx mR x . （2）当 2 0 2 e m时，证明 2 1 x exxfxm . 高中数学资料群（QQ 群号：734924357） 类型三：利用赋值法不等式
39、问题类型三：利用赋值法不等式问题 例例 21：已知函数：已知函数 2 xx fxeex . （1）讨论讨论 fx的单调性；的单调性； （2）设设 24g xfxbfx，当当0 x ， 0g x ，求求b的最大值的最大值. （3）估计估计ln2（精确小数点后三位）. 解：因为 22 24484 xxxx g xfxbf xeeb eebx 所以 22 22422222 xxxxxxxx gxeeb eebeeeeb 当2b 时， 0,gx 等号仅当0 x 时成立，所以 g x在R上单调递增，而 00g，所以对于任意 0,0 xg x. 当2b ，若x满足222 xx eeb ，即 2 0ln12
40、xbbb 时， 0gx ，而 00g，因此当 2 0ln12xbbb 时， 0g x ， 综上最大为 2. 高中数学资料群（QQ 群号：734924357） （3）由（2）知， 3 ln22 22 21 ln2 2 gbb， 当2b 时， 38 23 ln24 26ln20,ln20.6928 212 g ； 当 3 2 1 4 b 时， 2 ln12ln2,bbb 3 ln22 23 22 ln20 2 g ， 182 ln20.693 28 ，所以近 似值为0.693 类型四：利用放缩法构造中间不等式类型四：利用放缩法构造中间不等式 例例 22：若：若0 x ，证明：证明： ln1 . 1
41、 x xx xe 解：转化成整式 2 ln11 x xex. 令 2 ln11 x f xxex，则 1 ln12 1 x x e fxexx x 2 1 ln12 1 1 xx x e xe fxex x x .由+1 ln1 1 x x exx x ， 得 32 22 112 120, 11 x xxx fxx xx 00,fxf 故 00fxf，得证. 变式 1： （2020 河南鹤壁市高三期末）已知函数 21 x fxekx， 2 ln1g xkxx kR. （2）若不等式 0fxg x对任意0 x 恒成立，求实数k范围. 高中数学资料群（QQ 群号：734924357） 变式 2:（
42、2020 年河南六市联考） 已知函数 2ln1sin1fxxx， 1lng xaxbx 证明：当1,x 2sin 22 x f xxxe 高中数学资料群（QQ 群号：734924357） 类型五：与数列相关的不等式类型五：与数列相关的不等式 例例 23：设设m为整数为整数，且对于任意正整数且对于任意正整数n， 2 111 111 222n m ， 求求m的最小值的最小值. 解解： （2）由（1）知当(1,)x时，1 ln0 xx 令 1 1 2n x 得 11 ln(1) 22 nn ，从而 22 1111111 ln(1)ln(1)ln(1)11 2222222 nnn 故 2 111 (1
43、)(1)(1) 222n e 而 23 111 (1)(1)(1)2 222 ，所以 m 的最小值为 3 变式 1：（理）已知函数 0 2 1 a ax x xlnxf. （1）若不等式 0 xf对于任意的0 x恒成立，求实数a的取值范围； （2）证明：.Nnlnlnlnln n n n 1 2 1 2 12 12 7 9 3 5 3 高中数学资料群（QQ 群号：734924357） 变式 1： （2020 河南开封二模）已知函数 1 x fxex. （1）证明 0fx ； （2）设m为整数， 且对于任意正整数n， 2 111 111 222n m ， 求m的最小值. 类型六：与切、割线相关的
44、不等式类型六：与切、割线相关的不等式 例 24：已知函数 2 9 0 1 x f xa ax （1）求 fx在 1 ,2 2 上的最大值； （2）若直线2yxa 为曲线 yfx的切线，求实数的值； 高中数学资料群（QQ 群号：734924357） （3）当2a 时，设 1214 1 ,2 2 x xx ，且 1214 14xxx，若不 等式 1214 fxfxfx恒成立，求实数的最小值. 解：证明 2 9 4 12 x f xx x ，即 32 281040 xxx ， 令 32 28104F xxxx ， 2 61610Fxxx ， 所以 F x 在 1 ,1 2 ， 5 ,2 3 递减，在 5 1, 3 递增.而 5 0,20 3 FF ，表明不 等式 2 9 4 12 x f xx x 成立. 所以 121412 44+442 n fxfxfxxxx ， 等号在全部为 1 时成立，所以最小值为 42
