1、第第 3 课时课时一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用 学习目标1.熟练掌握分式不等式的解法.2.理解一元二次方程、二次函数、二次不等式之间 的关系.3.构建一元二次函数模型，解决实际问题 一、解简单的分式不等式 问题 x3 x20 与(x3)(x2)0 等价吗？ x3 x20 与(x3)(x2)0 等价吗？ 提示 x3 x20 与(x3)(x2)0 等价； x3 x20 与(x3)(x2)0 不等价， 前者的解集中没有 2，后者的解集中有2. 例 1解下列不等式： (1) x1 2x11. 解(1)原不等式可化为(x1)(2x1)0， 1x1 2， 故原不等式的解集为 x|1x 1 2.
2、 (2)原不等式可化为 x1 3x50， x13x50， 3x50， 5 3x1， x5 3， 即5 3x1. 故原不等式的解集为 x| 5 30， x1x2 x2 0， 3 x20， 则 x2. 故原不等式的解集为x|x2 反思感悟分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但 要注意等价变形，保证分母不为零 (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为 不等号右边为零，然后再用上述方法求解 跟踪训练 1解下列不等式： (1)x1 x30；(2) 5x1 x1 3.即知原不等式的解集为x|x1
3、或 x3 (2)不等式5x1 x1 3 可改写为5x1 x1 30， 即2x1 x1 0. 可将这个不等式转化成 2(x1)(x1)0， 解得1x1. 所以，原不等式的解集为x|1x0的解集为x|2x3， 求关于x的不等式cx2bxa0 的解集为x|2x3可知 a0，且 2 和 3 是方程 ax2bxc0 的 两根， 由根与系数的关系可知b a5， c a6. 故b c 5 6， 又由 a0 知 c0，故不等式 cx2bxa0，即 x 25 6x 1 60， 解得 x 1 2， 所以不等式 cx2bxa0 的解集为 x|x 1 2. 延伸探究 1若本例中条件不变，求关于 x 的不等式 cx2b
4、xa0 的解集 解由根与系数的关系知b a5， c a6 且 a0. c0， 即 x2b cx a c0，即 x 25 6x 1 60. 解得1 2x 1 3， 故原不等式的解集为 x| 1 2x0 的解集为x|2x3”变为“关于 x 的 不等式 ax2bxc0 的解集是 x| 1 3x2”求不等式 cx2bxa0 的解集 解方法一由 ax2bxc0 的解集为 x| 1 3x2知 a0. 又 1 3 2c a0. 又1 3，2 为方程 ax 2bxc0 的两个根， b a 5 3， b a 5 3. 又c a 2 3，b 5 3a，c 2 3a， 不等式 cx2bxa0 变为 2 3ax2 5
5、 3axa0. 又a0，2x25x30， 故所求不等式的解集为 x|3x 1 2. 方法二由已知得 a0， 设方程 cx2bxa0 的两根分别为 x1，x2， 则 x1x2b c，x 1x2a c， 其中a c 1 1 3 2 3 2， b c b a c a 1 3 2 1 3 2 5 2， x13，x21 2. 不等式 cx2bxa0)的解集为 x|3x0)的解集，求解其他不等式的解 集时，一般遵循 (1)根据解集来判断二次项系数的符号 (2)根据根与系数的关系把 b，c 用 a 表示出来并代入所要解的不等式 (3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解 跟踪训练 2已知关于 x
6、的不等式 x2axb0 的解集为x|1x0 的解集 解x2axb0 的解集为x|1x0. 解得 x1. bx2ax10 的解集为 x|x1. 三、一元二次不等式的实际应用 例 3(教材 P54 页例 5 改编)某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹 车后由于惯性往前滑行的距离)s m 和汽车刹车前的车速 x km/h 有如下关系：s2x 1 18x 2. 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于 22.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少 为多少？ 解由题意可得 s2x 1 18x 222.5， 化简得 x236x4050，解得 x45 或 x9， 又x0，x45. 这辆
7、汽车刹车前的速度至少为 45 km/h. 反思感悟解不等式应用题的步骤 跟踪训练 3某施工单位在对一个长 800 m，宽 600 m 的草坪进行绿化时，是这样想的：中 间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二 分之一，试确定花坛宽度的取值范围 解设花坛的宽度为 x m，则草坪的长为(8002x) m，宽为(6002x) m. 根据题意得(8002x)(6002x)1 2800600， 整理得 x2700 x60 0000， 解得 x600(舍去)或 x100， 由题意知 x0，所以 0 x100， 所以当 x 在 0 x100 之间取值时，绿草坪的面积不
8、小于总面积的二分之一 1知识清单： (1)简单的分式不等式的解法 (2)二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 (3)一元二次不等式的实际应用 2方法归纳：转化、恒等变形 3常见误区： (1)解分式不等式要等价变形 (2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义 1不等式x1 x21Bx|x2 Cx|2x1Dx|x1 答案C 2不等式1x 1x0 的解集为( ) Ax|1x1Bx|1x1 Cx|1x1Dx|1x1 答案B 解析原不等式 x1x10， x10， 1x0 的解集为x|2x0 的解集为() A. x| 1 2x1B. x|x1 C. x|1x 1 2D. x|x 1 2
9、 答案D 解析因为不等式 ax2bxc0 的解集为x|2x1， 所以 a0 可化为2ax2axa0， 因为 a0，分解因式得(2x1)(x1)0， 解得 x1 2或 x1. 4某商品在最近 30 天内的价格 y1与时间 t(单位：天)的关系式是 y1t10(0t30，tN)； 销售量 y2与时间 t 的关系式是 y2t35(0t30，tN)，则使这种商品日销售金额 z 不小 于 500 元的 t 的取值范围为_ 答案t|10t15，tN 解析z(t10)(t35)， 依题意有(t10)(t35)500， 解得 10t15，tN，所以解集为t|10t15，tN 课时对点练课时对点练 1若 p：x
10、5 2x0，q：x 27x100，则 p 是 q 的( ) A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案B 2不等式x2 x10 的解集是( ) Ax|x1 或1x2 Bx|1x2 Cx|x1 或 x2 Dx|1x2 答案D 解析此不等式等价于 x2x10， x10， 1x2. 3不等式3x1 2x 1 的解集是() A. x| 3 4x2B. x| 3 4x2 或 x 3 4D. x|x 3 4 答案B 解析不等式3x1 2x 1，移项得3x1 2x 10， 即 x3 4 x2 0，可化为 x3 4 x20， x20， 解得3 4x2，则原不等式的解集为 x| 3
11、 4x0 的解集为x|x1，则关于 x 的不等式axb x2 0 的解集为() Ax|x1 或 x2Bx|1x2 或 x1Dx|1x0 的解集为x|x1，a0， 故axb x2 ax1 x2 0，等价为(x1)(x2)0. x2 或 x0 的解集是x|1x2，则下列选项正确的是() Ab0 Babc0 Cabc0 D不等式 ax2bxc0 的解集是x|2x1 答案ABD 解析对于 A，a0，1,2 是方程 ax2bxc0 的两个根，所以121b a，12 c a， 所以 ba，c2a，所以 b0，所以 A 正确； 对于 B，令 yax2bxc，由题意可知当 x1 时不等式成立，abc0，所以
12、B 正确； 对于 C，当 x1 时 ax2bxc0，abc0，所以 C 错误； 对于 D，由题得 ax2ax2a0，因为 a0，所以 x2x20，所以2x0 的解集是x|2x0 的解集为x|x4，则实数 a_. 答案4 解析由题意知，不等式的解集为x|x4， 故(xa)(x1)0(x1)(x4)0，故 a4. 8已知关于 x 的不等式 ax2bxc0 的解集是 x|x 1 2，则 ax2bxc0 的解 集为_ 答案x| 1 2x2 解析由题意知，2，1 2是方程 ax 2bxc0 的两个根，且 a0，即为 2x25x20， 解得1 2x0 的解集为 x| 1 2x0 的解集为 x| 1 3x
13、1 2. (1)求 a，c 的值； (2)解关于 x 的不等式 ax2(ac2)x2c0. 解(1)由题意知，不等式对应的方程 ax25xc0 的两个实数根为1 3和 1 2， 由根与系数的关系，得 5 a 1 3 1 2， c a 1 2 1 3， 解得 a6，c1. (2)由 a6，c1 知不等式 ax2(ac2)x2c0 可化为6x28x20， 即 3x24x10，解得1 3x1， 所以不等式的解集为 x| 1 3x1. 10某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为 10 万元/辆，出厂价为 12 万元/辆，年销售量为 10 000 辆本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本若
14、每辆车投入 成本增加的比例为 x(0 x1)，则出厂价相应地提高比例为 0.75x，同时预计年销售量增加的比 例为 0.6x，已知年利润(出厂价投入成本)年销售量 (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内？ 解(1)由题意得 y12(10.75x)10(1x)10 000(10.6x)(0 x1)， 整理得 y6 000 x22 000 x20 000(0 x0， 0 x0， 0 x1， 解得 0 x1 3， 所以投入成本增加的比例 x 应在 0 x1 3的范围内 11关于 x 的
15、不等式xm x1 0 的解集为 M，若 0M，则实数 m 的取值范围是() Am0 Cm0D不确定 答案B 12若 a0，b0，则不等式b1 xa 的解集为( ) A. x|x 1 a B. x| 1 ax 1 b C. x|x 1 b D. x| 1 bx0 或 0 xb， 1 x0， ax1 x 0， 可得 x0， x1 a， 故不等式的解集为 x|x 1 a. 13某小型服装厂生产一种风衣，日销售量 x(件)与单价 P (元)之间的关系为 P1602x，生 产 x 件所需成本为 C(元)，其中 C(50030 x)元，若要求每天获利不少于 1 300 元，则日销 售量 x 的取值范围是(
16、) Ax|20 x30，xN*Bx|20 x45，xN* Cx|15x30，xN*Dx|15x45，xN* 答案B 解析设该厂每天获得的利润为 y 元， 则 y(1602x)x(50030 x)2x2130 x500,0 x0 的解集是 x| 1 2x0；b0；c0；abc0；abc0. 其中正确结论的序号是_ 答案 解析由 ax2bxc0 的解集为 x| 1 2x2， 知 a0，c a 1 2210. 又b a 1 220，b0. 1 x| 1 2x2， abc0， 又 1 x| 1 2x0，故正确 15在一个限速 40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，
17、但还是相碰了 事发后现场测得甲车的刹车距离略超过 12 m， 乙车的刹车距离略超过 10 m 又 知甲、乙两种车型的刹车距离 s m 与车速 x km/h 之间分别有如下关系：s甲0.1x0.01x2，s 乙0.05x0.005x2.则这次事故的主要责任方为_ 答案乙车 解析由题意列出不等式 s甲0.1x0.01x212， s乙0.05x0.005x210. 分别求解，得 x甲30， x乙40. 由于 x0，从而得 x甲30 km/h，x乙40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任 16某热带风暴中心 B 位于海港城市 A 南偏东 60的方向，与 A 市相距 400 km.该热带风暴
18、 中心 B 以 40 km/h 的速度向正北方向移动，影响范围的半径是 350 km.问：从此时起，经多少 时间后 A 市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？ 解如图，以 A 市为原点，正东方向为 x 轴建立直角坐标系 AB400，BAx30， 台风中心 B 的坐标为(200 3，200)，x h 后台风中心 B 到达点 P(200 3，40 x200)处 由已知，A 市受台风影响时，有 AP350， 即(200 3)2(40 x200)23502， 整理得 16x2160 x3750， 解这个不等式得，3.75x6.25， A 市受台风影响的时间为 6.253.752.5(h) 故在 3.75 h 后，A 市会受到台风的影响，时间长达 2.5 h.
