1、第第 3 课时课时公式的综合应用公式的综合应用 学习目标1.熟练掌握六组诱导公式的结构特征.2.会利用六组诱导公式求值、证明 导语 同学们，经过前两节课的学习，我们掌握了三角函数的诱导公式一六，你掌握记忆的技巧 了吗？其实， 它们可以统一概括为k 2(kZ)的三角函数值， 等于的同名(k 是偶数时)或异 名(k 是奇数时)三角函数值，前面加上一个将看成锐角时原函数值的符号，简称为“奇变偶 不变，符号看象限” 一、利用诱导公式证明恒等式 例 1求证：sin cos sin cos 2sin 3 2 cos 2 1 12sin2 . 证明右边2sin 3 2 sin 1 12sin2 2sin 2
2、sin 1 12sin2 2sin 2sin 1 12sin2 2cos sin 1 cos2sin22sin2 sin cos 2 sin2cos2 sin cos sin cos 左边，原等式成立 反思感悟三角恒等式的证明策略 对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可 以用左右归一、变更论证的方法常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式 变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法 跟踪训练 1证明： cos2 cossin 2sin 3 2 cos cos sin 3 2 1 2 sin2. 证明左边 cos cos cos
3、cos cos cos cos 1 1 1cos 1 1cos 1cos 1cos 1cos 1cos 2 1cos2 2 sin2右边， 原等式成立 二、诱导公式在实际问题中的应用 问题 1三角形中其中一个角与另外两角和是什么关系？ 提示互补 问题 2直角三角形中，两锐角是什么关系？ 提示互余 例 2在ABC 中，sin ABC 2 sin ABC 2 ，试判断ABC 的形状 解因为 ABC， 所以 ABC2C，ABC2B. 又因为 sin ABC 2 sin ABC 2 ， 所以 sin 2C 2 sin 2B 2 ， 所以 sin 2Csin 2B，所以 cos Ccos B. 又 B，
4、C 为ABC 的内角，所以 CB， 所以ABC 为等腰三角形 反思感悟利用诱导公式解决实际问题时，需注意公式四和公式五中的互补和互余，是广义 上的互补和互余在涉及三角形问题时，一定要注意根据三角形内角和 ABC以及题 目的具体条件进行适当变形，再化简求值 跟踪训练 2在ABC 中，下列各表达式为常数的是() Asin(AB)sin CBcos(BC)cos A Csin2AB 2 sin2C 2 Dsin AB 2 sin C 2 答案C 解析在ABC 中，ABC，A 项，sin(AB)sin C2sin C，不为常数； B 项，cos(BC)cos A2cos A，不为常数； C 项，sin
5、2AB 2 sin2C 2cos 2C 2sin 2C 21 为常数； D 项，sin AB 2 sin C 2cos C 2sin C 2不为常数 三、三角函数的综合应用 例 3已知角的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P 12 13， 5 13 . (1)求 sin()的值； (2)若角就是将角的终边顺时针旋转3 2 得到，求 5sin 5cos 3tan 的值 解(1)根据题意，得 sin 5 13 5 13 2 12 13 2 5 13， cos 12 13 5 13 2 12 13 2 12 13，tan sin cos 5 12， sin()sin
6、5 13. (2)根据题意，得3 2 ， 5sin 5cos 3tan 5sin 3 2 5cos 3 2 3tan 3 2 5cos 5sin 3 tan 512 135 5 133 12 5 43 65. 反思感悟用诱导公式化简求值的方法 (1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变 形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少 (2)对于和 2这两套诱导公式， 切记运用前一套公式不变名， 而运用后一套公式必须变名 跟踪训练 3若角的终边上有一点 P(m，8)，且 cos 3 5. (1)求 m 的值； (2)求 sincos 2 tanco
7、s的值 解(1)由勾股定理得，点 P 到原点的距离为 r m282 m264， 根据三角函数的定义可得 cos m m264 3 5， 解得 m6，m6(舍去) (2)原式sin sin tan cos sin ， 由(1)可得 r m26410，所以 sin 8 r 4 5， 所以原式sin 4 5. 1知识清单： (1)识记诱导公式 (2)三角形角的特点 (3)结合三角函数定义进行化简、求值、证明 2方法归纳：公式法 3常见误区：实际问题中角的范围 1在ABC 中，cos(AB)的值等于() Acos CBcos C Csin CDsin C 答案B 解析由于 ABC， 所以 ABC. 所
8、以 cos(AB)cos(C)cos C. 2已知 sin 40a，则 cos 130等于() AaBa C. 1a2D 1a2 答案B 3已知角的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P(1,2)，则 sin 3 2 2cos 2 sin3cos 等于() A.5 3 B1C.1 3 D5 3 答案A 解析由题意知，sin 2 5 5 ，cos 5 5 ， 原式cos 2sin sin cos 5 5 4 5 5 2 5 5 5 5 5 3. 4计算：sin211sin279_. 答案1 解析因为 sin 79sin(9011)cos 11， 所以原式sin211cos211
9、1. 课时对点练课时对点练 1sin 75cos 195的值为() A1B0C. 2 2 D1 答案B 解析sin 75cos 195sin(9015)cos(18015) cos 15cos 150. 2已知角的终边过点(3,4)，则 cos()等于() A4 5 B.4 5 C3 5 D.3 5 答案D 解析因为角的终边过点(3,4)， 所以 cos 3 5，所以 cos()cos 3 5. 3已知角的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，P 3 2 ，1 2 为其终边上一点， 则 sin 2等于() A 3 2 B1 2 C.1 2 D. 3 2 答案A 解析因为 P 3 2 ，
10、1 2 在角的终边上， 所以 r 3 2 2 1 2 21， 所以 cos 3 2 ， 所以 sin 2 cos 3 2 . 4若角 7的终边与单位圆的交点坐标是 x，3 5 ，则 cos(2 022)等于() A4 5 B3 5 C.4 5 D3 5 答案A 解析依题意知，sin(7)3 5，即 sin 3 5， 则 cos 4 5， 故 cos(2 022)cos 4 5. 5设 A，B，C 为ABC 的三个内角，下列关系正确的是() Acos(AB)cos CBsin(AB)sin C Ctan(AB)tan CDsin AB 2 sin C 2 答案B 解析在ABC 中，可得 ABC，
11、则 ABC， 由 cos(AB)cos(C)cos C，所以 A 不正确； 由 sin(AB)sin(C)sin C，所以 B 正确； 由 tan(AB)tan(C)tan C，所以 C 不正确； 由 sin AB 2 sin 2 C 2 cos C 2，所以 D 不正确 6若 cos 57m，则 cos 213等于() A m 1m2 B 1m2 1m2 C 1m2Dm 答案C 解析cos 213cos(18033)cos 33 sin 57 1m2. 7若函数 f(x)asin(x)bcos(x)，其中 a，b，都是非零实数，且满足 f(2 020) 2，则 f(2 021)_. 答案2
12、解析f(2 020)asin(2 020)bcos(2 020)asin bcos 2， f(2 021)asin(2 021)bcos(2 021) asin()bcos() (asin bcos )2. 8已知 sin x5 12 1 4，则 sin 7 12xsin2 12x_. 答案 19 16 解析因为 sin x5 12 1 4， 所以 sin 7 12xsin2 12x sin 5 12xsin2 2 5 12x sin x5 12 cos2 x5 12 sin x5 12 1sin2 x5 12 1 41 1 4 2 19 16. 9求证：sincos2tan2 tansin
13、cos . 证明因为左边sincos2tan2 tansin sin cos tan tan sin cos 右边， 所以等式成立 10在ABC 中，若 sin(2A) 2sin(B)， 3cos A 2cos(B)，求ABC 的三 个内角 解由题意得 sin A 2sin B， 3cos A 2cos B， 平方相加得 2cos2A1，cos A 2 2 ， 又因为 A(0，)，所以 A 4或 3 4 . 当 A3 4 时，cos B 3 2 0， 所以 B 2，所以 A，B 均为钝角，不符合题意，舍去 所以 A 4，cos B 3 2 ， 所以 B 6，所以 C 7 12. 综上所述，A
14、4，B 6，C 7 12. 11.黄金三角形有两种， 一种是顶角为 36的等腰三角形， 另一种是顶角为 108的等腰三角形， 例如，正五角星可以看成是由一个正五边形剪去五个顶角为 108的黄金三角形，如图所示， 在黄金三角形 ABC 中，AB AC 51 2 ，根据这些信息，可得 cos 144等于() A.12 5 4 B3 5 8 C1 5 4 D4 5 8 答案C 解析ABC108， BAC1 2(180108)36， cos 36 1 2AC AB 1 2 2 51 51 4 ， cos 144cos 36 51 4 . 12(多选)已知 sin 3 2 1sin cos 2，则角的终
15、边可能在() A第一象限B第二象限 C第三象限Dx 轴的负半轴上 答案BCD 解析原等式可化为cos 1sin2， cos cos2， |cos |cos ， cos 0， 的终边在第二、三象限或在 x 轴的负半轴上 13若 sin x3sin x 2 ，则 cos xcos x 2 等于() A. 3 10 B 3 10 C.3 4 D3 4 答案A 解析因为 sin x3sin x 2 3cos x， 所以 tan x3， 所以 cos xcos x 2 sin xcos x sin xcos x sin2xcos2x tan x 1tan2x 3 10. 14计算 sin21sin22s
16、in23sin289等于() A89B90C.89 2 D45 答案C 解析sin21sin289sin21cos211， sin22sin288sin22cos221， sin21sin22sin23sin289sin21sin22sin23sin244sin245 cos244cos243cos23cos22cos21441 2 89 2 . 15对于函数 f(x)asin(x)bxc(其中 a，bR，cZ)，选取 a，b，c 的一组值计算 f(1) 和 f(1)，所得出的正确结果一定不可能是() A4 和 6B3 和 1 C2 和 4D1 和 2 答案D 解析sin(x)sin x， f
17、(x)asin xbxc， 则 f(1)asin 1bc， f(1)asin(1)b(1)casin 1bc， f(1)f(1)2c. 把 f(1)4，f(1)6 代入式，得 c5Z，故排除 A； 把 f(1)3，f(1)1 代入式，得 c2Z，故排除 B； 把 f(1)2，f(1)4 代入式，得 c3Z，故排除 C； 把 f(1)1，f(1)2 代入式，得 c3 2Z，故选 D. 16化简： cos k 2sin k 2 sink1cosk ，其中 kZ. 解当 k 为偶数时，设 k2m(mZ)，则 原式cos 2m 2sin 2m 2 sin2m1cos2m cos 2sin 2 sincos sin cos sin cos 1. 当 k 为奇数时，设 k2m1(mZ)，则 原式cos 2m 2sin 2m 2 sin2m2cos2m cos 2sin 2 sin cos sin cos sin cos 1， 故原式1.
