1、第第 2 课时课时函数的最大函数的最大(小小)值值 学习目标1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.能够借助函数图象的直观性得出 函数的最值.3.会借助函数的单调性求最值.4.能够利用函数的单调性解决日常生活中的问题 导语 108 这个数字大家也许并不陌生： 封神榜里面总共有 108 位神仙；在水浒传中，讲述 的是齐聚水泊梁山的 108 位英雄好汉；在红楼梦中，设置了 108 个章节，等等这些，足 以说明 108 在古人心中认为是数字之最，今天我们也来一次穿越，和古人一起探讨一下我们 的函数之最吧 一、直观感知函数的最大值和最小值 问题 1如图所示是函数 yx22x，y2x1(x1，
2、)，yf(x)的图象观察并 描述这三个图象的共同特征 提示函数 yx22x 的图象有最高点 A，函数 y2x1，x1，)的图象有最高 点 B，函数 yf(x)的图象有最高点 C，也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高 点 问题 2你是怎样理解函数图象最高点的？ 提示图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值 知识梳理 函数的最值 一般地，设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： (1)xI，都有 f(x)M； (2)x0I，使得 f(x0)M.那么，我们称 M 是函数 yf(x)的最大值 一般地，设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：
3、 (1)xI，都有 f(x)M； (2)x0I，使得 f(x0)M. 那么，我们称 M 是函数 yf(x)的最小值 注意点：最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标；并不是所有的函数都有最大(小) 值，比如 yx，xR；一个函数至多有一个最大(小)值；研究函数最值需先研究函数的 定义域和单调性；对于定义域内的任意 x 都满足 f(x)M(f(x)M)，那么 M 不一定是函数 f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点 x0，使 f(x0)M 时，M 才是函数的最大(小)值，否 则不是比如 f(x)x23 成立，但 3 不是 f(x)的最大值，0 才是它的最大值 例 1已知函数 f(x)
4、x2，1x1， 1 x，x1. 求 f(x)的最大值、最小值 解作出函数 f(x)的图象，如图 由图象可知，当 x1 时，f(x)取最大值为 f(1)f(1)1. 当 x0 时，f(x)取最小值为 f(0)0， 故 f(x)的最大值为 1，最小值为 0. 反思感悟图象法求函数最值的一般步骤 跟踪训练 1已知函数 f(x) x2x，0 x2， 2 x，x2， 求函数 f(x)的最大值、最小值 解作出 f(x)的图象如图 由图象可知，当 x2 时，f(x)取最大值为 2； 当 x1 2时，f(x)取最小值为 1 4. 所以 f(x)的最大值为 2，最小值为1 4. 二、利用函数的单调性求函数的最值
5、 问题 3若函数 yf(x)在区间a，b上单调递增，则 f(x)在区间a，b上的最大值与最小值分 别是多少？ 提示最大值为 f(b)，最小值为 f(a) 问题 4若 f(x)x2的定义域为1,2，则 f(x)的最大值和最小值一定在端点上取到吗？ 提示不一定，需要考虑函数的单调性 例 2已知函数 f(x) 3 2x1. (1)证明：函数 f(x)在 1 2，上单调递减； (2)求函数 f(x)在1,5上的最值 (1)证明设 x1，x2是区间 1 2，上的任意两个实数，且 x2x11 2， f(x1)f(x2) 3 2x11 3 2x21 6x2x1 2x112x21.由于 x 2x11 2， 所
6、以 x2x10，且(2x11)(2x21)0， 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)， 所以函数 f(x) 3 2x1在区间 1 2，上单调递减 (2)解由(1)知，函数 f(x)在1,5上单调递减， 因此，函数 f(x) 3 2x1在区间1,5的两个端点上分别取得最大值与最小值， 即最大值为 f(1)3，最小值为 f(5)1 3. 反思感悟(1)利用单调性求最值的一般步骤 判断函数的单调性利用单调性写出最值 (2)函数的最值与单调性的关系 若函数在闭区间a，b上单调递减，则 f(x)在a，b上的最大值为 f(a)，最小值为 f(b) 若函数在闭区间a，b上单调递增，则 f(
7、x)在a，b上的最大值为 f(b)，最小值为 f(a) 求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值 跟踪训练 2已知函数 f(x)x1 x. (1)求证 f(x)在1，)上单调递增； (2)求 f(x)在1,4上的最大值及最小值 (1)证明设 1x1x2， 则 f(x1)f(x2) x11 x1 x21 x2 x1x2x1x21 x1x2 . 1x1x2，x1x21， x1x210， x1x2x1x21 x1x2 0， 即 f(x1)400， 其中 x 是仪器的月产量 (1)将利润表示为月产量的函数 f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少
8、元？(总收益总成本利润) 解(1)设月产量为 x 台，则总成本为 20 000100 x， 从而 f(x) 1 2x 2300 x20 000，0 x400， 60 000100 x，x400. (2)当 0 x400 时，f(x)1 2(x300) 225 000. 当 x300 时，f(x)max25 000； 当 x400 时，f(x)60 000100 x 单调递减， f(x)60 00010040025 000. 当 x300 时，f(x)max25 000. 即每月生产 300 台仪器时利润最大，最大利润为 25 000 元 反思感悟本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数
9、解决实际问题的能力解 应用题的步骤是审清题意；建立数学模型，将实际问题转化为数学问题；总结结论， 回归题意 跟踪训练 3将进货单价为 40 元的商品按 50 元一个出售时，能卖出 500 个，已知这种商品 每涨价 1 元，其销售量就减少 10 个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？ 解设售价为 x 元，利润为 y 元，单个涨价(x50)元，销量减少 10(x50)个， 销量为 50010(x50)(1 00010 x)个， 则 y(x40)(1 00010 x)10(x70)29 000. 故当 x70 时，ymax9 000. 即售价为 70 元时，利润最大，最大利润值为 9
10、000 元 1知识清单： (1)函数的最大值、最小值定义 (2)求解函数最值的方法 2方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法 3常见误区： (1)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域 (2)求含参数的二次函数的最值时不要忘记按对称轴与区间的位置分类讨论 1函数 f(x)的图象如图所示，则其最大值、最小值分别为() Af 3 2 ，f 3 2Bf(0)，f 3 2 Cf 3 2 ，f(0)Df(0)，f(3) 答案B 解析观察函数图象可知，f(x)的最大值、最小值分别为 f(0)，f 3 2 . 2设函数 f(x)2x1(x0)，则 f(x)() A有最大值 B有最小值 C既有最大值又有最
11、小值 D既无最大值又无最小值 答案D 解析f(x)在(，0)上单调递增， f(x)f(0)1. 3函数 yx22x，x0,3的值域为() A0,3B1,0 C1，)D1,3 答案D 解析函数 yx22x(x1)21，x0,3， 当 x1 时，函数 y 取得最小值为1， 当 x3 时，函数 y 取得最大值为 3， 故函数的值域为1,3 4用长度为 24 m 的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的 长度为_ m. 答案3 解析设隔墙长度为 x m，场地面积为 S m2， 则 Sx244x 2 12x2x22(x3)218. 所以当 x3 时，S 有最大值 课时对点练课时对
12、点练 1 设函数 f(x)的定义域为 R， 以下三种说法： 若存在常数 M， 使得对任意 xR， 有 f(x)M， 则 M 是 f(x)的最大值；若存在 x0R，使得对任意 xR，有 f(x)f(x0)，则 f(x0)是 f(x)的最 大值； 若存在 x0R，使得对任意 xR， 且 xx0， 有 f(x)f(x0)， 则 f(x0)是 f(x)的最大值 其 中正确说法的个数为() A0B1C2D3 答案C 解析由函数最大值的概念知正确 2下列函数在1,4上最大值为 3 的是() Ay1 x2 By3x2 Cyx2Dy1x 答案A 解析选项 B，C 在1,4上均单调递增，选项 A，D 在1,4上
13、均单调递减，代入端点值，可 知 A 正确 3函数 f(x)x x，x0,4的值域为() A0,3B1,4 C0,6D0,4 答案C 解析函数 yx x在区间0,4上单调递增， f(x)f(0)，f(4)0,6 4某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为 L1x221x 和 L2 2x(其中销售量单位：辆)若该公司在两地共销售 15 辆，则能获得的最大利润为() A90 万元B60 万元 C120 万元D120.25 万元 答案C 解析设公司在甲地销售 x 辆， 则在乙地销售(15x)辆，公司获利为 Lx221x2(15x)x219x30 x19 2 230192 4 ，
14、当 x9 或 10 时，L 最大值为 120 万元 5函数 f(x)x23x2 在区间(5,5)上的最大值、最小值分别为() A42,12B42，1 4 C12，1 4 D无最大值，最小值为1 4 答案D 解析因为 f(x) x3 2 21 4，x(5,5)，所以当 x 3 2时，f(x)有最小值 1 4，f(x)无最大值 6(多选)若函数 f(x)x24x1 在定义域 A 上的值域为3,1，则区间 A 可能为() A0,4B2,4 C1,4D3,5 答案ABC 解析函数 f(x)x24x1 的图象是开口向上的抛物线，以直线 x2 为对称轴， 函数 f(x)在区间(，2)上单调递减，2，)上单
15、调递增 当 x0,4时，函数的最小值为 f(2)3，最大值为 f(0)f(4)1，得函数的值域为3,1； 当 x2,4时， 函数的最小值为 f(2)3， 最大值为 f(4)1， 得函数的值域为3,1； 当 x1,4 时， 函数的最小值为 f(2)3， f(1)2f(5)6，最大值为 f(3)22， 得函数的值域为3,22根据以上的讨论可得区间 A 不可能为3,5 7函数 yax1 在区间1,3上的最大值为 4，则 a_. 答案1 解析若 a0， 则函数 yax1 在区间1,3上单调递减， 并且在区间的左端点处取得最大值， 即 a14，解得 a3，不满足 a0，则函数 yax1 在区间1,3上单
16、调递 增，并且在区间的右端点处取得最大值，即 3a14，解得 a1.综上，a1. 8函数 f(x) 1 x3，x1,2，则 f(x)的最大值为_，最小值为_ 答案1 2 1 解析f(x) 1 x3在1,2上单调递减， f(2)f(x)f(1)，即1f(x)1 2. 9已知函数 f(x) x x21(x0) (1)求证：f(x)在(0,1上单调递增； (2)求函数 f(x)的最大值和最小值 (1)证明设 x1，x2是区间0,1上的任意两个实数，且 x1x2，则 f(x1)f(x2) x1 x211 x2 x221 x1x 2 21x2x211 x211x221 x2x1x2x11 x211x22
17、1 . 当 0 x10，x1x210， f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)， f(x)在(0,1上单调递增 (2)解当 1x10，x1x210， f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)， f(x)在1，)上单调递减 结合(1)(2)可知，f(x)maxf(1)1 2，无最小值 10某商场经营一批进价是每件 30 元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价 x(不低 于进价，单位：元)与日销售量 y(单位：件)之间有如下关系： x4550 y2712 (1)确定 x 与 y 的一个一次函数关系式 yf(x)(注明函数定义域)； (2)若日销售利润为 P 元， 根据(1)中的关系式
18、写出 P 关于 x 的函数关系式， 并指出当销售单价 为多少元时，才能获得最大的日销售利润？ 解(1)因为 f(x)是一次函数，设 f(x)axb(a0)， 由表格得方程组 45ab27， 50ab12， 解得 a3， b162， 所以 yf(x)3x162. 又 y0，所以 30 x54， 故所求函数关系式为 y3x162，x30,54 (2)由题意得， P(x30)y(x30)(1623x) 3x2252x4 860 3(x42)2432，x30,54 当 x42 时，日销售利润最大，最大值为 432， 即当销售单价为 42 元时，获得最大的日销售利润 11 已知函数 yx22x3 在闭区
19、间0， m上有最大值 3， 最小值 2， 则 m 的取值范围是() A1，)B0,2 C(，2D1,2 答案D 解析f(x)(x1)22， f(x)min2，f(x)max3， 且 f(1)2，f(0)f(2)3， 1m2. 12函数 f(x) 1 1x1x的最大值是( ) A.5 4 B.4 5 C.4 3 D.3 4 答案C 解析因为 1x(1x)x2x1 x1 2 23 4 3 4，所以 1 1x1x 4 3.故 f(x)的最大值为 4 3. 13已知函数 f(x)2x2ax1，x1，a，且 f(x)的最大值为 f(a)，则实数 a 的取值范围 为() A(，4B(，12，) C2，)D
20、4，) 答案C 解析函数 f(x)2x2ax1 图象的对称轴方程为 xa 4，当10 时， 要使 f(x)的最大值为 f(a)， 则 f(a)f(1)，即 2a2a212a1，解得 a1(舍)或 a2. 14用 mina，b表示 a，b 两个数中的最小值设 f(x)minx2，10 x(x0)，则 f(x)的 最大值为_ 答案6 解析在同一个平面直角坐标系内画出函数 yx2 和 y10 x 的图象 根据 minx2,10 x(x0)的含义可知，f(x)的图象应为图中的实线部分 解方程 x210 x，得 x4，此时 y6，故两图象的交点为(4,6) 所以 f(x) x2，0 x4， 10 x，x
21、4， 其最大值为交点的纵坐标，所以 f(x)的最大值为 6. 15(多选)已知 f(x)x，g(x)x22x，F(x) gx，fxgx， fx，fxgx， 则 F(x)的最值情况是() A最大值为 3B最小值为1 C无最小值D无最大值 答案CD 解析由 f(x)g(x)得 0 x3； 由 f(x)g(x)，得 x3， 所以 F(x) x22x，0 x3， x，x3. 作出函数 F(x)的图象(图略)， 可得 F(x)无最大值，无最小值 16已知函数 f(x)对任意 x，yR，总有 f(x)f(y)f(xy)，且当 x0 时，f(x)0，f(1)2 3. (1)求证：f(x)是 R 上的减函数； (2)求 f(x)在3,3上的最小值 (1)证明设 x1，x2是任意的两个实数，且 x10， 因为当 x0 时，f(x)0， 所以 f(x2x1)0， 又因为 x2(x2x1)x1， 所以 f(x2)f(x2x1)x1)f(x2x1)f(x1)， 所以 f(x2)f(x1)f(x2x1)0， 所以 f(x2)f(x1) 所以 f(x)是 R 上的减函数 (2)解由(1)可知 f(x)在 R 上是减函数， 所以 f(x)在3,3上单调递减， 所以 f(x)在3,3上的最小值为 f(3) 而 f(3)f(1)f(2)3f(1)3 2 3 2. 所以函数 f(x)在3,3上的最小值是2.
