1、2022 届福建名校联盟优质校高三第一次调研2022 届福建名校联盟优质校高三第一次调研 数学数学 姓名_准考证号_ 本试卷共 5 页，总分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写 在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求的。 1. 令
2、 ? ?= 1,2 , ? ?= ?, 1 ，若 ? ? ? ?，则实数 ? 的值是 A.2B.1C.2 D.1 2. 抛物线 ?2= 16? 的准线方程是 A.? = 8B.? = 4C.? = 8D.? = 4 3.设 ?, ? ?，? 0, ? 2 ，则 ? sin ? + ? cos ? 的最小值是 A. ? 3 5+ ? 3 5 5 3 B. ? 4 5+ ? 4 5 5 4 C. ? 1 2+ ? 1 2 2 D. ? 1 4+ ? 1 4 4 4. 甲和乙是同班同学，该班级共 52 名同学. 一次两人玩一个游戏，甲先在心里想好 该班某一位同学的名字，乙来猜，其中乙可以提问 ? 个
3、问题，问题必须一次性问完（意 思是乙问完所有问题后才能得到每个问题的答案）. 对每个问题，甲只能回答“是” 或“不是”. 若存在一种提问的策略，使得无论一开始甲想的是谁，乙一定能够猜出， 则 ? 的最小值是 A.5B.6 C.7D.8 5. 对任意 2022 个锐角 ? = 1,2, 2022 满足 ?=1 2022 tan?= 21011，均有 ?=1 2022 cos ? ?，则 ? 的最小值是 A.2019B.2020C.2021 D.2022 6. 要在每个班级抽取一名学生参加晚读小测.具体的抽取方法是： 计算两名数学课代表 的座位号之和与两名英语课代表座位号之和的差的绝对值，则最后的
4、结果就是被抽中 学生的座号.（每个班的数学课代表和英语课代表至少各一名，至多各两名，若只有一 名或某名同学同时担任数学课代表和英语课代表，则在上述计算中重复代入这名同学 的座号;若计算结果不是任何一名学生的座号，则在这个班不抽取，假设每个班的数学 课代表和英语课代表的座号是等可能分布的）. 已知某班级共有 50 名学生，则某名学 第 1 页，共 5 页 生被抽中的概率的最大值是 A. 833 62500 B. 716 15625 C. 833 31250 D. 792 15625 7. 在 3 3 方格表的每个小方格中填入 1,0,1 中的一个数，要求 ? 1,2,3 ， 第 ? 行和第 ?
5、列各自的三个数之和均要不小于 2 ?，则所有可能的填法总数是 A.1335B.2147C.685 D.716 8.记 ? 行 ? 列的数阵中第 ? 行 ? 列的数为 ?,?，数阵内所有数之和为 ?=1 ? ?=1 ? ?,?. 若 ? ?，? 0，? ?+，?.?. ? ? ? ?+， ? ?=1 ? ?=1 ? ?,? ?， 则定义 ? = ?1?1?,? ?. 根据以上定义，计算 ?=1 3 ?1 ?1 ?!?! ?! ? + ? + ? ! =? A.242? 2 3 B.? 27 2 C.4? 231 6 D.7? 260 6 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
6、。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。 9. 两个集合 ? 和 ? 之间若存在一一对应关系，则称 ? 和 ? 等势，记为 ?.例如：若 ? 为正整数集，? 为正偶数集，则 ? ，因为可构造一一映射 ? ? ? = 2?. 下列说法中正确的是 A.两个有限集合等势的充分必要条件是这两个集合的元素个数相同. B.对三个无限集合 ?,?, ?，若 ?，? ，则 ?. C.正整数集与正实数集等势. D.在空间直角坐标系中，若 ? 表示球面：?2+ ?2+ ?2= 2? 上所有点的集合，? 表示平 面 ? 上所有点的集合，则 ?
7、. 10. 设整数 ? 2， ? 是正实数， ? 是非零实数.数列 ?满足： ?1= ?,?+1= ? ? + ?. 下列说法中正确的是 A. 当 ? 0 且 ? 为偶数时， ?有界的充要条件是 ?1 2. B. 当 ? 0 且 ? 为偶数时， ?有界的充要条件是 ? 1. C. 当 ? 0 时， ?有界的充要条件是 ?1 ?1 ?1 ? . D. 当 ? 0 时， ?有界的充要条件是 ?1 ? ?+1 ?+1. 11. 设四面体 ?1?2?3?4 的六条棱长分别为 ?1, ?2, , ?6,体积为 ?，四个面的面积分别 为 ?1, ?2, ?3, ?4，面 ? 与面 ? 所成的内二面角为 ?
8、 1 ? ? 4 ,?1, ?2, ?3, ?4 为任意 第 2 页，共 5 页 四个正实数，? 为空间里任意一点. 下列不等式对任意满足 ?均为锐角的四面体恒成立的是 A. ?=1 4 ? 2 ? 2 1?4 ?cos ?. B. ?=1 4 ? ?=1 4 ? 2 ? 1?4 ? 2. C. 1?6 ? 2?2 ? ?=1 6 ? 4 ? 108 3 3? 4 3. D. 1?6 cos ? 1 729 . 12. 我们称某个曲线族的包络线（Envelope），是跟该曲线族的每条曲线都有至少一点 相切的一条曲线.（曲线族即一些曲线的无穷集，它们有一些特定的关系） 下列关于包络线的说法正确的
9、是 A. 设 ? 是以原点为圆心，半径为 2 的圆上的一个动点，过 ? 引椭圆 ?: ?2+ 2?2= 2 的 两条切线，切点分别为 ?,?. 当 ? 运动时，直线族 ? 的包络线所围成的封闭图形的面积是 ? 2 . B. 给定正实数 ?，线段族 ? ? cos ? + ? ? sin ? = 1 ?, ? 0, ? 0, ? 2 的包络线与两坐标轴围 成图形的面积为 3? 32 ?2. C. 设 ? 内接于椭圆 ?1:3?2+ 4?2= 12， 且直线 ?、 直线 ? 均与圆 ?2:?2+ ?2= 1 相切，则直线 ? 的包络线为圆. D. 设半径相等的圆 ?1和圆 ?2相交，圆心分别是 ?
10、1和 ?2. ?1和 ?2分别是圆 ?1和 圆 ?2上的两个动点.开始时 ?1和 ?2分别位于构成两圆重叠部分的两段弧上（不含两 段弧的交点）且 ?1?2?1?2.现使 ?1和 ?2以相同的角速度绕各自的圆心作逆时针匀 速圆周运动，则直线 ?1?2的包络线是椭圆. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 对任意三个模长小于 1 的复数 ?1,?2, ?3， 均有 ?1?2+ ?2?3+ ?3?1 2 + ?1?2?3 2 ? 恒成立，则实数 ? 的最小可能值是. 14.设 ?,? 为正整数 ，空间中一物体由 ? 个完全相同的1 1 1的表面涂满红色的 小立方体构成
11、， 且其三视图均为全部涂满红色的 ? ? 的方格表 （允许小立方体悬空） ， 则 ? 的最小值 ? ? =; ;当 ? = 4 时， 规定若主视方向不同但经过旋转或轴反射 后能完全重合的属于不同的情形，则能够达到 ? 4 的情形数为. 15. 给定 ? 2, ? ?，设 ?1, ?2,? ? 且 ?=1 ? ? 2 ?+ ?=1 ?1 ?+1?= 1，则对每个固定 第 3 页，共 5 页 的 ? ? ?,1 ? ? ， max 1? ?=. 16. 设 12 元实数集合 ? = ?1, ?2,?12 满足：可将其划分为两个 6 元子集 ?1,?2, ?6 和 ?7,?8,?12，使得对每个 ?
12、 1,2,3,4,5，均有 ?=1 6 ? ? ?= ?=7 12 ? ? ?，则 这样的 ? 可以是. （写出一个即可） 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （本题满分 10 分） 在 ? 中，? = ? 7，? = 2? 7 ，? 是内心，?,?,? 分别交对边于 ?,?, ?. （I）直接写出图中的一对相似三角形. （II）求?. 18. （本题满分 12 分） 记函数 ? ? = ? + ?ln 1 ln ? , ? ?，其导函数为 ? ? . （I）讨论 ? ? 的单调性. （II）当 ? = 1 时，设 ? ?1,? ?1,
13、 ? ?2,? ?2, ?1 2?0. 19. （本题满分 12 分） 班级里共有 ? ? 3 名学生，其中有 ?,?, ?.已知 ?,?,? 中任意两人均为朋友，且三人 中每人均与班级里中超过一半的学生为朋友. 若对于某三个人，他们当中任意两人均 为朋友，则称他们组成一个“朋友圈”. （I）求班级里朋友圈个数的最大值 ? ? . （II）求班级里朋友圈个数的最小值 ? ? . 20. （本题满分 12 分） 数列 ?满足：?1= ? 0, ?+1= ? 2 + 1 4? . 第 4 页，共 5 页 （I）当 ? =2 时，求 ?的通项公式. （II）记 ? 为正有理数集（?+）的一个子集，?
14、= ? ?，其中 ? 和 ?是互素的正整数. 现定义性质 ? 为：? ?+，? ? ? ?+，均有 2? 2 ? 2 为定值. 是否存在 ? 满足以下两个要求： 1? ?， ? 满足性质 ? ；2? ?+?， ? 不满足性质 ? . 证明你的结论. 21. （本题满分 12 分） 等轴双曲线是离心率为 2 的双曲线，可建立合适的坐标平面使之为反比例函数. （I）在等轴双曲线 ? = 1 上有三点 ?, ?,?，其横坐标依次是7,11,13. 设 ?,?, ? 分别为 ?, ?, ? 的中点，试求 ? 的外接圆圆心的横坐标. （II）双曲线 ? 的渐近线为 ?1和 ?2，? 上有三个不同的点 ?
15、, ?,?，直线 ?、直线 ?、 直线 ? 与 ?1分别交于 ?1,?1,?1，过 ?1, ?1, ?1分别作直线 ?、直线 ?、直线 ? 的 垂线 ?1,?1,?1. （i）当 ? 为等轴双曲线时，证明： ?1,?1,?1三线共点. （ii）当 ? 不为等轴双曲线时，记 ?1,?1,?1分别是 ?1与 ?1，?1与 ?1，?1与 ?1 的交点，类似地从另一条渐近线 ?2出发来定义 ?2,?2, ?2. 证明： ?1?1?1 ?2?2?2. 22. （本题满分 12 分） 空间中由若干平面多边形所圈成的封闭的立体叫做多面体，这些平面多边形称为多面 体的面，这些多边形的边和顶点分别称为多面体的棱和顶点. 我们称一个多面体为凸 多面体，当且仅当该多面体全部位于其每一面所决定的平面的同一侧.例如：四面体、 平行六面体、棱锥、棱柱、棱台都是凸多面体. 设多面体恰有 100 条棱. （I）当 ? 为凸多面体时，求最大整数 ?，使得存在某个平面恰与的 ? 条棱相交. （II）当 ? 为非凸多面体时，证明： （i）存在 ? 和平面 ? 使得 ? 恰与 ? 的 98 条棱相交. （ii）不存在 ? 和平面 ? 使得 ? 与 ? 的 100 条棱均相交. 第 5 页，共 5 页
