1、4.2指数函数指数函数 4.2.1指数函数的概念指数函数的概念 学习目标1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.了解指数增长型和指 数衰减型在实际问题中的应用 导语 话说一个毕业生去求职，当和老板讨论薪资的时候，他说：“老板，不如这样吧，我第一个 月只要 1 元，第二个月要 2 元，第三个月要 4 元，这样以后每个月的薪资都是前一个的 2 倍， 老板你看怎么样？”老板一听，这不多呀，当即拍板说：“好，就按你说的办，我们先签个 3 年的合同吧”，大家猜一下，第 12 个月，他能获得多少工资？(2112 048)第 24 个月，他 能获得多少工资？(2238 388 608)估计
2、这个老板肠子都悔青了，这就是我们今天要学习的指 数函数大家可以用这种方式向家长要个零花钱噢，但是周期千万不要太长，有个 10 天就可 以了 一、指数函数的概念 问题 1阅读课本 111 页113 页，你有什么样的收获？ 提示由课本问题 1 中可知，B 地景区的游客人次的年增长率是一个常数，问题 2 中的衰减 率也是一个常数函数 y1.11x(x0，)与函数 y 1 5730 1 2 x (x0，)的函数解 析式都是指数形式，底数为定值，自变量在指数位置 知识梳理 指数函数的概念：一般地，函数 yax(a0，且 a1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量， 函数的定义域是 R. 注意点： (1)
3、函数的特征底数 a0，且 a1；(2)指数幂的系数为 1. 例 1(1)给出下列函数：y23x；y3x 1；y3x；yx3；y(2)x.其中，指数 函数的个数是() A0B1C2D4 答案B 解析中，3x的系数是 2，故不是指数函数；中，y3x 1的指数是 x1，不是自变量 x，故不是指数函数；中，3x的系数是 1，幂的指数是自变量 x，且只有 3x一项，故是 指数函数； 中， yx3的底数为自变量， 指数为常数， 故不是指数函数； 中， 底数20，且 2a11， 解得 a1 2，且 a1， 即 a 的取值范围是 1 2，1(1，) 反思感悟判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数的值是否
4、符合要求 (2)ax前的系数是否为 1. (3)指数是否符合要求 跟踪训练 1(1)下列是指数函数的是() Ay3xB 2 1 2xy CyaxDyx 答案D 解析根据指数函数的特征知，A，B，C 不是指数函数 (2)若函数 y(a23a3)ax是指数函数，则 a 的值为_ 答案2 解析由指数函数的定义知 a23a31， a0 且 a1， 由得 a1 或 2，结合得 a2. 二、求指数函数的解析式或求值 例 2若函数 f(x) 1 2a3ax是指数函数，则 f 1 2 的值为() A2B2C2 2D2 2 答案D 解析因为函数 f(x)是指数函数，所以 1 2a31， 所以 a8， 所以 f(
5、x)8x，f 1 2 1 2 82 2. 反思感悟(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后 利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是 解决这类问题的关键 (2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式 跟踪训练 2指数函数 yf(x)的图象经过点 2，1 4 ，那么 f(4)f(2)等于() A8B16C32D64 答案D 解析由指数函数 yf(x)ax(a0， 且 a1)的图象经过点 2，1 4 ， 可得 a 21 4， 解得 a2， 函数的解析式为 y2x，f(4)f(2)242264. 三、指数增长型和指数衰
6、减型函数的实际应用 问题 2将一张报纸连续对折，折叠次数 x 与对应的层数 y 之间存在什么关系？对折后的面 积 S(设原面积为 1)与折叠的次数有怎样的关系？ 提示 折叠次数对应层数对折后的面积 S x1y221S1 2 x2y422 S1 4 1 2 2 x3y823 S1 8 1 2 3 由上面的对应关系，我们可以归纳出第 x 次折叠后对应的层数为 y2x(xN*)，对折后的面 积 S 1 2 x(xN*) 知识梳理 1ykax(k0，a0 且 a1)，当 a1 时为指数增长型函数模型 2ykax(k0，a0 且 a1)，当 0a0 时，若 a1，则刻画指数增长变化规律；若 0a0 且
7、a1. 1下列各函数中，是指数函数的是() Ay(4)xBy4x Cy3x 1 Dy 1 3 x 答案D 解析A 中函数的底数不满足大于零，故不是指数函数；B 中函数式中幂值的系数不是 1， 故不是指数函数；C 中的指数是 x1，不是指数函数 2若函数 y(m2m1)mx是指数函数，则 m 等于() A1 或 2B1C2D.1 2 答案C 解析依题意，有 m2m11， m0 且 m1， 解得 m2(m1 舍去) 3为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近 50 年内减少了 10%，如果按此规律， 设 2016 年的耕地面积为 m，则 2021 年的耕地面积为() A(10.1250)mB
8、 1 10 0.9 m C0.9250mD 1 10 1 0.9m 答案B 解析设每年减少的百分率为 a， 由题意得，(1a)50110%0.9， 1a 1 50 0.9， 由 2016 年的耕地面积为 m， 得 2021 年的耕地面积为(1a)5m 1 10 0.9 m. 4若函数 f(x)是指数函数，且 f(2)2，则 f(x)_. 答案( 2)x 解析由题意，设 f(x)ax(a0 且 a1)， 则由 f(2)a22，得 a 2， 所以 f(x)( 2)x. 课时对点练课时对点练 1下列函数是指数函数的是() Ay 2 x By(8)x Cy2x 1 Dyx2 答案A 解析对于 A， 函
9、数 y 2 x中， a 21， 是指数函数； 对于 B， 函数 y(8) x中， a80，且 a1)， 由题意得 a481，解得 a3，f(x)3x. 3函数 f(x)(2a3)ax是指数函数，则 f(1)等于() A8B.3 2 C4D2 答案D 解析函数 f(x)(2a3)ax是指数函数， 2a31，解得 a2. f(x)2x，f(1)2. 4一种产品的成品是 a 元，今后 m 年后，计划使成本平均每年比上一年降低 p%，成本 y 是 经过年数 x(0 xm)的函数，其关系式是() Aya(1p%)x(0 xm) Bya(1p%)x(0 xm) Cya(p%)x(0 xm) Dya(p%)
10、x(0 xm) 答案B 解析产品的成品是 a 元，1 年后，成本为 ap%aa(1p%)；2 年后，成本为 a(1p%) a(1p%)p%a(1p%)2；， x 年后，成本 ya(1p%)x(0 x0 且 a1)，对于任意实数 x，y 都有() Af(xy)f(x)f(y) Bf(xy)f(x)f(y) Cf(xy)f(x)f(y) Df(xy)f(x)f(y) 答案C 解析f(xy)ax yaxayf(x)f(y) 6(多选)若函数 f(x)(m2m1)ax是指数函数，则实数 m 的值为() A2B3C1D1 答案AC 解析函数 f(x)(m2m1)ax是指数函数， m2m11， 解得 m2
11、 或1. 7若函数 f(x)(a1)x是指数函数，则实数 a 的取值范围是_ 答案(1,2)(2，) 解析函数 f(x)(a1)x是指数函数， a10， a11， 解得 a1 且 a2，实数 a 的取值 范围是(1,2)(2，) 8f(x)为指数函数，若 f(x)过点(2,4)，则 f(f(1)_. 答案 1 4 解析设 f(x)ax(a0 且 a1)， 由 f(2)4，得 a 24，解得 a1 2， 所以 f(x) 1 2 x， 所以 f(1) 1 2 12， 所以 f(f(1)f(2) 1 2 21 4. 9牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间 y 与储藏温度 x 的关系式为
12、y kerx(k，r 为常数)若牛奶在 0 的冰箱中，保鲜时间约是 100 h，在 5 的冰箱中，保鲜时 间约是 80 h，那么在 10 的冰箱中的保鲜时间是多少？ 解因为保鲜时间 y 与储藏温度 x 的关系式为 ykerx(k，r 为常数) 所以 ker 0100， ker 580， 解得 k100， er 5 4 5， 所以 y100 5 4 5 x， 所以当 x10 时，y100 5 4 5 1064. 10已知函数 f(x)(a2a5)ax是指数函数 (1)求 f(x)的表达式； (2)判断 F(x)f(x)f(x)的奇偶性，并加以证明 解(1)由 a2a51，可得 a2 或 a3(舍
13、去)， f(x)2x. (2)F(x)2x2 x，定义域为 R， F(x)2 x2xF(x)， F(x)是奇函数 11函数 y(a24a4)ax是指数函数，则 a 的值是() A4B1 或 3C3D1 答案C 解析由题意得 a0， a1， a24a41， 解得 a3. 12函数 yf(x)是 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)等于() A2xB2 x C2 x D2x 答案C 解析当 x0 时，x0 时，f(x)f(x)2 x. 13某股民购买一公司股票 10 万元，在连续十个交易日内，前 5 个交易日，平均每天上涨 5%，后 5 个交易日内，平均每天下跌 4.9%，则股民的股票盈亏情况(
14、不计其他成本，精确到 元)为() A赚 723 元B赚 145 元 C亏 145 元D亏 723 元 答案D 解析由题意得 10(15%)5(14.9%)5 100.992 779.927 7(万元)， 100 00099 277723(元)， 股民亏 723 元 14函数 y2(a1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，则 a 的取值范围是_ 答案(1,2) 解析函数 y2(a1)x是刻画指数衰减变化规律的模型， 0a11，解得 1a0)，乙食堂的 营业额每月增加的百分率为 x.由题意，可得 m8am(1x)8，则 5 月份甲食堂的营业额 y1 m4a，乙食堂的营业额 y2m(1x)4 mm8a
15、，因为 y21y22(m4a)2m(m8a) 16a20，所以 y1y2，故该年 5 月份甲食堂的营业额较高 16 截止到 2018 年年底， 我国某市人口约为 130 万 若今后能将人口年平均递增率控制在 3， 则经过 x 年后，此市人口数为 y(万) (1)求 y 与 x 的函数关系 yf(x)，并写出定义域； (2)若按此增长率，2029 年年底的人口数是多少？ (3)哪一年年底的人口数将达到 135 万？ 解(1)2018 年年底的人口数为 130 万； 经过 1 年，2019 年年底的人口数为 1301303 130(13)(万)； 经过 2 年，2020 年年底的人口数为 130(
16、13)130(13)3130(13)2(万)； 经过 3 年，2021 年年底的人口数为 130(13)2130(13)23130(13)3(万) 所以经过的年数与(13)的指数相同， 所以经过 x 年后的人口数为 130(13)x(万) 即 yf(x)130(13)x(xN*) (2)2029 年年底的人口数为 130(13)11134(万) (3)由(2)可知，2029 年年底的人口数为 130(13)11134135. 2030 年年底的人口数为 130(13)12134.8(万)， 2031 年年底的人口数为 130(13)13135.2(万) 所以 2031 年年底的人口数将达到 135 万
