1、4.4.2对数函数的图象和性质对数函数的图象和性质(二二) 学习目标1.进一步掌握对数函数的图象和性质.2.利用单调性进一步求函数的定义域和简 单值域问题.3.了解反函数的概念和图象特点 一、与对数函数有关的定义域问题 例 1求下列函数的定义域： (1)y lg2x；(2)y 1 log33x2；(3)y log44x x3 . 解(1)要使函数式有意义，则 lg(2x)0， 2x0， 2x1， x1. 故函数的定义域为(，1 (2)要使函数式有意义，则 log3(3x2)0， 3x20， 3x21， x2 3，且 x1. 故函数的定义域为 2 3，1(1，) (3)要使函数式有意义，则 4x
2、0， x30， 解得 x0， 2x11， 3x20， 解得 x1 2且 x0， 函数的定义域为 1 2，0(0，) (2)要使函数式有意义，则 x22x0， 2x10， lg2x10， 即 x0 或 x2， x1 2， 2x11. 解得 x1 2，且 x1. 函数的定义域为 1 2，1(1，) 二、与对数函数有关的综合性问题 例 2已知函数 f(x)log2(x1)2. (1)若 f(x)0，求 x 的取值范围； (2)若 x(1,3，求 f(x)的值域 解(1)函数 f(x)log2(x1)2， f(x)0，即 log2(x1)20， log2(x1)2，x14， x3.x 的取值范围是(3
3、，) (2)x(1,3，x1(0,4， log2(x1)(，2， log2(x1)2(，0 f(x)的值域为(，0 反思感悟(1)求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求 解； (2)判断函数的奇偶性，一定要先求函数的定义域，再研究 f(x)与 f(x)的关系 跟踪训练 2函数 f(x)loga1x 1x(a0，且 a1)的图象( ) A关于原点对称 B关于直线 yx 对称 C关于直线 yx 对称 D关于 y 轴对称 答案A 解析因为函数 f(x)的定义域为(1,1)，f(x)loga1x 1xlog a 1x 1x 1loga1x 1xf(x)， 所以函数 f(x)
4、为奇函数，所以函数图象关于原点对称 三、反函数 问题在同一坐标系下，画出函数 y2x与 ylog2x 的图象，观察两函数图象的关系 提示 知识梳理 反函数：指数函数 yax(a0，且 a1)与对数函数 ylogax(a0，且 a1)互为反函数它们 的定义域与值域正好互换 注意点： (1)同底的指数函数与对数函数互为反函数； (2)互为反函数的两个函数图象关于 yx 对称 (高 中阶段只要求掌握这一类反函数) 例 3若函数 yf(x)是函数 y2x的反函数，则 f(f(2)的值为() A16B0C1D2 答案B 解析函数 y2x的反函数是 ylog2x， 即 f(x)log2x. f(f(2)f
5、(log22)f(1)log210. 反思感悟互为反函数的函数的性质 (1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数 (2)互为反函数的定义域与值域互换 (3)互为反函数的两个函数的图象关于直线 yx 对称 跟踪训练 3函数 ylog3x 1 3x81的反函数的定义域为() A(0，)B. 1 3，81 C(1,4)D1,4 答案D 解析由 ylog3x 1 3x81，可知 y1,4 所以反函数的定义域为 x1,4 1知识清单： (1)利用对数函数的单调性求函数的定义域 (2)求简单对数的值域、最值、奇偶性问题 2方法归纳：数形结合 3常见误区：求对数型函数的定义域时，有时需求几部分的交集 1函数
6、 f(x) 1 log2x1的定义域为( ) A(0,2)B(0,2 C(2，)D2，) 答案C 解析若函数 f(x)有意义，则 log2x10， x0， 即 log2x1， x0， 解得 x2. 函数 f(x)的定义域为(2，) 2函数 yxlog2x(x1)的值域为() A(1，)B(，1) C1，)D1，) 答案C 3若函数 f(x)axloga(x1)在0,1上的最大值和最小值之和为 a，则 a 的值为() A.1 4 B.1 2 C2D4 答案B 解析由题意得 f(x)在0,1上单调递增或单调递减， f(x)的最大值或最小值在端点处取得， 即 f(0)f(1)a， 即 1aloga2
7、a，loga21，解得 a1 2. 4 若函数 yf(x)是函数 yax(a0， 且 a1)的反函数， 其图象经过点 3 2，2 3 ， 则 a_. 答案2 解析由题意得 f(x)logax(a0，且 a1，x0)， 因为 f(x)的图象过点 3 2，2 3 ，所以 loga 3 22 3，所以 2 3 a 3 2，所以 a22，所以 a 2(负值 舍去) 课时对点练课时对点练 1已知函数 f(x)log2x，若函数 g(x)是 f(x)的反函数，则 f(g(2)等于() A1B2C3D4 答案B 解析g(x)是 f(x)的反函数，g(x)2x，g(2)224，则 f(g(2)f(4)log2
8、42. 2若点(a，b)在函数 ylg x 的图象上，a1，则下列点也在此图象上的是() A. 1 a，bB(10a,1b) C. 10 a ，b1 D(a2,2b) 答案D 解析因为点(a，b)在函数 ylg x 的图象上，所以 blg a当 x1 a时，有 ylg 1 alg a b，所以点 1 a，b不在此函数的图象上，A 不正确；当 x10a 时，有 ylg(10a)1lg a 1b，所以点(10a,1b)不在此函数的图象上，B 不正确；当 x10 a 时，有 ylg 10 a 1lg a1b，所以点 10 a ，b1 不在此函数的图象上，C 不正确；当 xa2时，有 ylg a22l
9、g a 2b，所以点(a2,2b)在此函数的图象上，D 正确 3下列三个数：aln 2 3，blog 33 2， 1 3 2 , 3 c 大小顺序正确的是() AcabBcba CbacDabc 答案B 解析0log31blog33 2log 32 3aln 2 3， 1 3 2 0, 3 c cba. 4设 f(x)是奇函数，当 x0 时，f(x)log2x，则当 x0 时，f(x)的解析式为() Alog2xBlog2(x) Clog2(x)Dlogx2 答案C 解析当 x0，f(x)log2(x) 又因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)f(x)， 所以 f(x)f(x)，所以 f(x)
10、log2(x) 5某企业 2018 年全年投入研发资金 150 万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研 发资金比上年增长 8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是() (参考数据：lg 1.080.033，lg 20.301，lg 30.477) A2020 年B2021 年 C2022 年D2023 年 答案C 解析设经过 n 年该企业全年投入的研发资金开始超过 200 万元，则 150(18%)n200， 则 n2lg 2lg 3 lg 1.08 0.6020.477 0.033 3.8，取 n4，则经过 4 年后是 2022 年 6(多选)任取 x1，x2a，
11、b，且 x1x2，若 f x1x2 2 fx1fx2 2 恒成立，则 f(x)称为a，b 上的凸函数，下列函数中在其定义域上为凸函数的是() Ay2xBylog2x Cyx2D 1 2 yx 答案BCD 7函数 f(x) 4x2 ln x 的定义域为_ 答案(0,1)(1,2 解析由 4x20， x0， ln x0， 得 01，函数 f(x)logax 在区间a,2a上的最大值与最小值之差为1 2，则 a_. 答案4 解析a1，f(x)logax 在a,2a上单调递增， loga(2a)logaa1 2，即 log a21 2， 1 2=2, aa4. 9已知函数 f(x)loga(10 x)
12、loga(10 x)(a0，且 a1) (1)判断 f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)若 f(x)0，求 x 的取值范围 解(1)函数 f(x)是奇函数 理由如下： 要使函数有意义， 则 10 x0， 10 x0， 解得10 x0，则 f(x)loga(10 x)loga(10 x)0，即 loga(10 x)loga(10 x)， 若 a1，则 10 x10 x， 解得 0 x10， 若 0a1，则 10 x10， 10 x10 x， 解得10 x1 时，x 的取值范围为(0,10)， 当 0a1 时，x 的取值范围为(10,0) 10已知函数 f(x)log2(1x2) 求证：(1)函
13、数 f(x)是偶函数； (2)函数 f(x)在区间(0，)上单调递增 证明(1)函数 f(x)的定义域是 R， f(x)log21(x)2log2(1x2)f(x)， 所以函数 f(x)是偶函数 (2)设 x1，x2为区间(0，)内的任意两个实数，且 x1x2， 则 f(x1)f(x2)log2(1x21)log2(1x22)log21x 2 1 1x22. 由于 0 x1x2，则 0 x21x22，01x211x22， 所以 01x 2 1 1x221， 所以 log21x 2 1 1x220， 所以 f(x1)0 时，f(x)lg x 在区间(0，)上单调递增，又因为 f(x)为偶 函数，
14、所以 f(x)lg|x|在区间(，0)上单调递减 13函数 f(x)lg( x21x)的奇偶性为() A奇函数B偶函数 C非奇非偶函数D既奇又偶函数 答案A 解析易知该函数的定义域为 R，又 f(x)f(x)lg( x21x)lg( x21x)lg( x21 x)( x21x)lg 10，f(x)f(x)， f(x)为奇函数 14.如图， 已知正方形 ABCD的边长为 2， BC 平行于 x 轴， 顶点 A， B 和 C 分别在函数 y13logax， y22logax 和 ylogax(a1)的图象上，则实数 a 的值为_ 答案2 解析设 B(x,2logax)，BC 平行于 x 轴，C(x
15、，2logax)，即 logax2logax，xx2， 正方形 ABCD 的边长|BC|x2x2，解得 x2. 由已知，得 AB 垂直于 x 轴，A(x,3logax)，正方形 ABCD 边长|AB|3logax2logaxlogax 2，即 loga22，a 2. 15已知 f(x)|log3x|，若 f(a)f(2)，则 a 的取值范围为_ 答案 0，1 2 (2，) 解析作出函数 f(x)的图象，如图所示， 由于 f(2)f 1 2 ，故结合图象可知 0a2. 16已知函数 f(x) 1 2 1 log 1 ax x 的图象关于原点对称，其中 a 为常数 (1)求 a 的值； (2)若当 x(1，)时，f(x) 1 2 log1xm-恒成立，求实数 m 的取值范围 解(1)函数 f(x)的图象关于原点对称， 函数 f(x)的定义域关于原点对称， 1ax x1 0， (x1)(1ax)0， 令(x1)(1ax)0， 得 x11，x21 a， 1 a1，a1， 经验证，a1 满足题意 (2) 1111 2222 1 log1loglog1log1 1 x f xxxx x ， 当 x1 时， 1 2 log1+1,x 又当 x(1，)时，f(x) 1 2 log1 xm恒成立， m1. 即实数 m 的取值范围是1，)
