1、课时作业(二十六)正弦定理和余弦定理 基础过关组 一、单项选择题 1已知在ABC 中，a1，b 3，A 6，则 B( ) A 3或 2 3 B2 3 C 3 D 4 解析由正弦定理 a sin A b sin B可得 sin B bsin A a 3sin 6 1 3 2 ，因为 ab，所以 A0， 则 DC2x。 在ADC 中， 由余弦定理可得 AC2AD2DC22ADDCcos 45，即 AC224x22 22x 2 2 24x24x。同理，在ADB 中，由余弦定理可得 AB22x22x。 又 AC 2AB，所以 24x24x2(2x22x)，即 x24x10，解得 x2 5。所以 BD2
2、 5。 答案C 二、多项选择题 7(2021山东临沂一模)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c。若 b2 3，c3，A3C， 则下列结论正确的是() Acos C 3 3 Bsin B 2 3 Ca3DSABC 2 解析A3C，故 B2C。根据正弦定理 b sin B c sin C，得 2 3sin C32sin Ccos C，又 sin C0，故 cos C 3 3 ，sin C 6 3 ，故 A 正确；sin Bsin 2C2sin Ccos C2 2 3 ，故 B 错误；由余弦定理得 c2a2b2 2abcos C，将 b2 3，c3 代入得 a24a30，解得 a3
3、 或 a1，若 a3，则 AC 4，且 B 2， 与 sin B2 2 3 矛盾，故 a1，故 C 错误；SABC1 2absin C 1 212 3 6 3 2，故 D 正确。故选 AD。 答案AD 8在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 acos Abcos B，且 c2，sin C3 5，则ABC 的面积为() A3B2 3 C1 3 D6 解析由 acos Abcos B，利用正弦定理可得 sin Acos Asin Bcos B，即 sin 2Asin 2B，因为 A，B(0， )，所以 AB 或 AB 2，又 sin C 3 5，所以 AB，当 C 为锐角时，
4、因为 sin C 3 5，所以 cos C 4 5，所以 sin C 2 10 10 ，由 sin C 2 c 2 a c 2 b ，所以 ba 10，所以ABC 中 AB 边上的高为 3，所以 SABC1 2233； 当 C 为钝角时，因为 sin C3 5，所以 cos C 4 5，所以 sin C 2 3 10 10 ，由 sin C 2 c 2 a c 2 b ，所以 ba 10 3 ，所 以ABC 中 AB 边上的高为1 3，所以 S ABC1 22 1 3 1 3。故选 AC。 答案AC 三、填空题 9在ABC 中，已知 AC2，BC 7，BAC60，则 AB_。 解析在ABC 中
5、，由余弦定理 BC2AB2AC22ABACcosBAC，得 AB22AB30，又 AB0，所 以 AB3。 答案3 10ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 acos Bbcos A2ac，则 a_。 解析由题设及正弦定理得 sin Acos Bsin Bcos A2asin C，所以 sin(AB)2asin C。又 ABC， 所以 sin C2asin C，又 sin C0，所以 a1 2。 答案 1 2 11在ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 所对的边，若 sin Asin Bsin C456，则2acos A c _。 解析由正弦定理得 abcsin
6、Asin Bsin C456，设 a4m，b5m，c6m，则由余弦定理 知 cos Ab 2c2a2 2bc 25m 236m216m2 25m6m 3 4，所以 2acos A c 24m 6m 3 41。 答案1 12(2021福州市适应性练习)已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c。若 cos A(sin Ccos C) cos B，a2，c 2，则角 C 的大小为_。 解析因为 cos A(sin Ccos C)cos B， 所以 cos A(sin Ccos C)cos(AC)， 所以 cos Asin Csin Asin C，所以 sin C(cos Asin A
7、)0，因为 C(0，)，所以 sin C0，cos Asin A，则 tan A1，又 A(0，)， 所以 A 4，又 a sin A c sin C，即 2 sin 4 2 sin C，所以 sin C 1 2，因为 ca，所以 0C 4，故 C 6。 答案 6 四、解答题 13(2020天津高考)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c。已知 a2 2，b5，c 13。 (1)求角 C 的大小； (2)求 sin A 的值； (3)求 sin 2A 4 的值。 解(1)在ABC 中，由余弦定理及 a2 2，b5，c 13， 有 cos Ca 2b2c2 2ab 2 2 。
8、又因为 C(0，)，所以 C 4。 (2)在ABC 中，由正弦定理及 C 4，a2 2，c 13， 可得 sin Aasin C c 2 13 13 。 (3)由 ac 及 sin A2 13 13 ， 可得 cos A 1sin2A3 13 13 ， 进而 sin 2A2sin Acos A12 13， cos 2A2cos2A1 5 13。 所以，sin 2A 4 sin 2Acos 4cos 2Asin 4 12 13 2 2 5 13 2 2 17 2 26 。 14在ABC 中，已知 AB5 6 2 ，AC7，D 是 BC 边上的一点，AD5，DC3。 (1)求角 B； (2)求AB
9、C 的面积。 解(1)如图，在ADC 中，由余弦定理，得 cosADCAD 2DC2AC2 2ADDC 1 2， 所以ADC120，从而ADB60。 在ABD 中，由正弦定理 AB sinADB AD sin B，得 sin B 2 2 ，所以 B45。 (2)由(1)知BAD75，且 sin 75 2 6 4 。 所以 SABD1 2ABADsinBAD 25 33 8 ， SADC1 2DADCsinADC 15 3 4 ， 所以 SABCSABDSADC55 375 8 。 素养提升组 15(数学文化)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五的“田域类”中写道：问有沙田 一段，有三
10、斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步。欲知为田几何。意思是已知 三角形沙田的三边长分别为 13 里，14 里，15 里，求三角形沙田的面积。则该沙田的面积为_平方里。 解析由题意画出ABC，且 AB13 里，BC14 里，AC15 里，在ABC 中，由余弦定理得，cos B AB 2BC2AC2 2ABBC 13 2142152 21314 5 13，所以 sin B 1cos 2B12 13，则该沙田的面积 S 1 2ABBCsin B 1 21314 12 1384(平方里)。 答案84 16(数学探究)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c。已知 co
11、s B1 2，_。ABC 的 面积是否存在最大值？若存在，求对应三角形的三边；若不存在，说明理由。 从ac2，b 3a 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答。 解选择。由 cos B1 2知 sin B 3 2 ， ABC 的面积 S1 2acsin B 3 4 ac 3 4 ac 2 2 3 4 ， 当且仅当 ac1 时等号成立， 即面积取得最大值 3 4 ， b2a2c22accos B3，b 3。 选择。 由 cos B1 2知 B 2 3 ，sin B 3 2 ，sin B sin A b a 3，所以 sin A 1 2，A 6，C 6，所以 ac，ABC 的 面积 S1 2acsin B 3 4 a2，a 可以取任意正数，所以ABC 的面积不存在最大值。
