1、解答题必刷卷(三)数列 1已知an是公差不为零的等差数列，a11，a2是 a1，a5的等比中项。 (1)求数列an的通项公式； (2)设 bn2an，求数列bn的前 n 项和 Sn。 解(1)设数列an的公差为 d。 因为 a2是 a1，a5的等比中项， 所以 a22a1a5，即(a1d)2a1(a14d)， 将 a11 代入，可得 d22d， 又 d0，所以 d2，故 an2n1。 (2)由(1)知 an2n1，则 bn2an22n 1， 可得bn 1 bn 2 2n1 22n 14，b12， 故bn是以 2 为首项，4 为公比的等比数列， 所以 Sn214 n 14 2 2n12 3 。
2、2(2021云南昆明三诊一模)已知数列an为正项等比数列，Sn为数列an的前 n 项和。若 S321，a2 a36a1。 (1)求数列an的通项公式； (2)从三个条件：bnan 3n；b nan2n；bnlog2 an 3 中任选一个作为已知条件，求数列bn的前 n 项和 Tn。 解(1)设数列an的公比为 q(q0)， 因为 a2a36a1， 所以 a1qa1q26a1，故 q2q60， 解得 q2 或 q3(舍去)。 由 S321，得 a1(1qq2)21， 将 q2 代入得 a13， 所以数列an的通项公式为 an32n 1。 (2)选择。bnan 3n 32n 1 3n 2 3 n1
3、， 所以数列bn是首项为 1，公比为2 3的等比数列， 所以 Tn 1 2 3 n 12 3 3 1 2 3 n 。 选择。bnan2n32n 12n， 所以 Tn312 n 12 n22n 2 3(2n1)n2n。 选择。bnlog2an 3 log22n 1n1， 所以数列bn是首项为 0，公差为 1 的等差数列， 所以 Tnnn1 2 。 3(2021湖南长沙明德中学月考)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，首项 a11，且 S2 020 2 020 S2 017 2 0173。数 列bn的前 n 项和为 Tn，且满足 Tn2bn(nN*)。 (1)求数列an和bn的通项公式； (2)
4、求数列 anbn 2的前 n 项和 Sn。 解(1)设数列an的公差为 d， 因为Sn n na1nn1 2 d n a1(n1)d 2， 所以 Sn n 为一个等差数列， 所以 S2 020 2 020 S2 017 2 017 3d 2 3， 所以 d2。故Sn n n，所以 Snn2。 当 n2 时，anSnSn12n1，当 n1 时也满足， 故 an2n1，nN*。 数列bn对任意正整数 n 满足 Tn2bn， 当 n1 时，b1T12b1，解得 b11； 当 n2 时，bnTnTn1(2bn)(2bn1)bn1bn， 所以 bn1 2b n1(n2)， 所以bn是首项为 1，公比为1
5、 2的等比数列， 故数列bn的通项公式为 bn 1 2 n1。 (2)由(1)知anbn 2 2n1 2n ， 所以 Sn1 2 3 22 5 23 2n3 2n 1 2n1 2n ， 1 2S n 1 22 3 23 2n3 2n 2n1 2n 1 ， ，得 1 2S n1 2 2 22 2 23 2 2n 2n1 2n 1 1 2 1 2 1 22 1 2n 1 2n1 2n 1 1 2 1 2 1 1 2 n1 11 2 2n1 2n 1 1 21 1 2 n12n1 2n 1 ， 所以 Sn32n3 2n 。 4已知数列an中，a11，anan1 1 2 n。 (1)证明：数列a2n1
6、和数列a2n都是等比数列。 (2)若数列an的前 2n 项和为 T2n，bn(3T2n)n(n1)，求数列bn的最大项。 解(1)证明：由 anan1 1 2 n， 得 an1an2 1 2 n1。 作商得an 2 an 1 2。 因为 a11，a1a2 1 2 1， 所以 a21 2， 所以a2n1是以 a11 为首项，1 2为公比的等比数列，a 2n是以 a21 2为首项， 1 2为公比的等比数列。 (2)因为 T2n 1 1 2 n 11 2 1 2 1 1 2 n 11 2 3 3 2n， 所以 bn(3T2n)n(n1)3nn1 2n 。 则bn 1 bn 3n1n2 2n 1 2n
7、 3nn1 n2 2n 。 当 n1，即 b2b13； 当 n2 时，n2 2n 1，即 b2b39 2； 当 n2 时，n2 2n 1，即 bn1Sn，求 n 的最小值。 从图，图，图中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答。 解(1)设等比数列an的公比为 q， 由 S33a21，a31，得 a12a2， 故 qa2 a1 1 2。 又因为 a3a1q2，所以 a14， 所以 Sn4 1 1 2n 11 2 8 1 1 2n823 n。 (2)设等差数列bn的公差为 d。 由题图知，T1b11，T33，可判断 d0， 故数列bn是递减数列。 而Sn是递增数列，且 b1Sn”。 若选择题图，则 T1b11，T36，可得 d1， 所以 bnn。 当 n1,2,3,4,5,6,7 时，bnSn不成立， 当 n8 时，b88，S8823 8，即 S8Sn成立的正整数 n 的最小值为 8。 若选择题图，则 T1b13，T30，可得 d3， 所以 bn3n6。 当 n1,2,3,4 时，bnSn不成立， 当 n5 时，b59，S5823 5，即 S5Sn成立的正整数 n 的最小值为 5。
