1、习题课与圆有关的最值问题 第二章 直线和圆的方程 1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题. 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 学 习 目 标 2017年7月我国首座海上风电平台4G基站在黄海建成，信号覆盖范围 达60公里. 一艘船由于机械故障在海上遇险，想要求救，却发现手机没有信号.已 知基站在海面上的信号覆盖范围是以基站为圆心的一个圆及其内部区 域，那么船到达信号区域的最短路程是多少呢？(引出课题：探究与圆 有关的最值问题.) 导 语 随堂演练课时对点练 一、与距离有关的最值问题 二、与面积相关的最值问题 三、利用数学式的几何意义解圆的最值问题 内容索引 一、与距离有关的最值
2、问题 3.过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值 ，最大值 . 1.圆外一点到圆上任意一点距离的最小值 ，最大 值 . 2.直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值 ，最大值 . dr dr d-rdr 2r 4.直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值 . 例1(1)当直线l：(2m1)x(m1)y7m40(mR)被圆C：(x1)2 (y2)225截得的弦最短时，m的值为_. 解得定点坐标为M(3,1) ，圆心C为(1,2)，当直线l与CM垂直时，直线被圆 截得的弦长最短， (2)已知圆C：x2y22x4y10关于直线l：3ax2by40对称，则 由点M(a，b)向圆C所作
3、的切线中，切线长的最小值是 解析因为圆C：x2y22x4y10，即圆C：(x1)2(y2)24， 所以圆心为C(1，2)，半径R2. 因为圆C关于直线l：3ax2by40对称， 所以l：3a4b40，所以点M(a，b)在直线l1：3x4y40上， 反思感悟(1)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点(x， y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题. (2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利 用数形结合确定距离的最值. 跟踪训练1(1)从点P(1，2)向圆x2y22mx2ym20作切线，当 切线长最短时，m的值为 A.1 B.1 C.2 D.0 解析x2y
4、22mx2ym20可化为(xm)2(y1)21，圆心C(m，1)， 半径为1， 即当m1时，|CP|最小，切线长最短. (2)过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦长为_. 解析设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r2. 当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦， 二、与面积相关的最值问题 例2已知点O(0,0)，A(0,2)，点M是圆(x3)2(y1)24上的动点，则 OAM面积的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.4 解析根据题意，得圆(x3)2(y1)24的圆心为(3，1)，半径r2， O(0,0)，A(0,2)，OA所在的直线是y轴， 当M到直线AO的距离
5、最小时，OAM的面积最小， 则M到直线AO的距离的最小值d321， 反思感悟求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关 的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方 法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合 思想求解. 跟踪训练2(1)直线ykx3与圆O：x2y21相交于A，B两点，则 OAB面积的最大值为 解析设圆心到直线的距离为d(0d0)上一动点，PA，PB是圆C：x2 y22y0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2， 则k_. 2 解析圆C：x2y22y0的圆心为C(0,1)，半径r1， 由圆的性质可知，四边形的面积S2SPBC
6、， 又四边形PACB的最小面积是2， 则|PB|min2， 所以当|PC|取最小值时，|PB|最小. 又点P(x，y)是直线kxy40上的动点， 当CP垂直于直线kxy40时，|PC|最小，即为圆心C(0,1)到直线的距离， 三、利用数学式的几何意义解圆的最值问题 例3已知点P(x，y)在圆C：x2y26x6y140上. 解方程x2y26x6y140可化为(x3)2(y3)24. 表示圆上的点P与原点连线所在直线的斜率， 如图(1)所示，显然PO(O为坐标原点)与圆相切时， 斜率最大或最小. 解x2y22x3(x1)2y22， 它表示圆上的点P到E(1,0)的距离的平方再加2， 所以当点P与点
7、E的距离最大或最小时， 所求式子取得最大值或最小值， 如图(2)所示，显然点E在圆C的外部， 所以点P与点E距离的最大值为|P1E|CE|2，点P与点E距离的最小值为 |P2E|CE|2. (2)求x2y22x3的最大值与最小值； 所以x2y22x3的最大值为(52)2251，最小值为(52)2211. 解设xyb， 则b表示动直线yxb在y轴上的截距， 如图(3)所示， 显然当动直线yxb与圆(x3)2(y3)24相切时， b取得最大值或最小值，此时圆心C(3,3)到切线xyb的距离等于圆的半 径2， (3)求xy的最大值与最小值. 跟踪训练3(多选)已知实数x，y满足方程x2y24x10，
8、则下列说 法正确的是 1.知识清单： (1)与距离、面积有关的最值问题 (2)利用数学式的几何意义解圆的最值问题. 2.方法归纳：数形结合、转化思想. 3.常见误区：忽略隐含条件导致范围变大. 课堂小结 随堂演练 1.圆x2y24上的点到直线4x3y250的距离的取值范围是 A.3,7 B.1,9 C.0,5 D.0,3 1234 解析x2y24，圆心(0,0)，半径r2， 所以圆上的点到直线的距离的最小值为523， 最大值为527，所以圆上的点到直线的距离的取值范围为3,7. 2.已知O为坐标原点，点P在单位圆上，过点P作圆C：(x4)2(y3)2 4的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为
9、1234 解析根据题意，圆C：(x4)2(y3)24，其圆心C(4,3)，半径r2， 过点P作圆C：(x4)2(y3)24的切线，切点为Q， 1234 4.已知圆C1：x2y24x4y0，动点P在圆C2：x2y24x120上， 则PC1C2面积的最大值为_. 1234 解析因为C1(2,2)，r12，C2(2,0)，r24， 课时对点练 1.已知过点(1,1)的直线l与圆x2y24x0交于A，B两点，则|AB|的最小 值为 解析将圆的方程x2y24x0化为标准方程为(x2)2y24， 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.已知点P是直线3x4y50上的动点，
10、点Q为圆(x2)2(y2)24上 的动点，则|PQ|的最小值为 解析圆(x2)2(y2)24的圆心为(2,2)，半径为2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.已知实数x，y满足方程x2y24x10，则y2x的最小值和最大值分 别为 A.9,1 B.10,1 C.9,2 D.10,2 解析y2x可看作是直线y2xb在y轴上的截距，如图所示， 当直线y2xb与圆x2y24x10相切时， 12345678910 11 12 13 14 15 16 解得b9或1，所以y2x的最大值为1，最小值为9. 4.已知直线l：xy40与圆C：(x1)2(y1)22，则圆C上的点到
11、直线l的距离的最小值为 解析由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直 线l的距离减去圆的半径， 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由已知得点(x1，y1)在圆(x2)2y25上，点(x2，y2)在直线x2y 40上， 故(x1x2)2(y1y2)2表示(x2)2y25上的点和直线x2y40上点 的距离的平方， 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.已知点P是直线l：3x4y70上的动点，过点P引圆C：(x1)2y2 r2(r0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，则当PM的最小值为 时，r 的值为 解析如图，由题意
12、得|PM|2|PC|2r2， 当PCl时，|PC|最小时，|PM|最小. 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m1 0(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_. (x1)2y22 解析直线mxy2m10恒过定点(2，1)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 半径最大的圆的标准方程为(x1)2y22. 8.已知圆C：(x4)2(y3)24和两点A(m，0)，B(m，0)(m0).若圆C 上存在点M，使得AMMB，则m的最小值为_.3 解析根据题意，点A(m，0)，B(m，
13、0)(m0)， 则AB的中点为(0,0)，|AB|2m， 12345678910 11 12 13 14 15 16 若圆C上存在点M，使得AMMB， 则圆C与圆O有交点，必有|m2|OC|m2， 又由m0，解得3m7，即m的最小值为3. 解由圆C的方程x2y24x14y450化为标准方程得(x2)2(y 7)28， 9.已知M为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q(2,3). (1)求|MQ|的最大值和最小值； 12345678910 11 12 13 14 15 16 设直线MQ的方程为y3k(x2)， 即kxy2k30， 12345678910 11 12 13 14 15
14、16 10.已知直线l：3x4y10，一个圆与x轴正半轴、y轴正半轴都相切， 且圆心C到直线l的距离为3. (1)求圆的方程. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解圆与x，y轴正半轴都相切， 圆的方程可设为(xa)2(ya)2a2(a0)， 圆心C到直线的距离为3， 解得a2，半径为2. 圆的方程为(x2)2(y2)24. (2)P是直线l上的动点，PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，求 四边形PECF的面积的最小值. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点， PCEPCF， S四边形PECF2
15、SPCE，PE是圆的切线，且E为切点， PECE，|CE|2，|PE|2|PC|2|CE|2|PC|24， 当斜边PC取最小值时，PE也最小，即四边形PECF的面积最小.|PC|min 即为C到l的距离，由(1)知|PC|min3， 12345678910 11 12 13 14 15 16 11.设P是圆(x3)2(y1)24上的动点，Q是直线x3上的动点，则 |PQ|的最小值为 A.6 B.4 C.3 D.2 解析如图，圆心M(3，1)与定直线x3的最 短距离为|MQ|3(3)6. 又因为圆的半径为2，故所求最短距离为624. 12345678910 11 12 13 14 15 16 综
16、合运用 12.已知AC，BD为圆O：x2y24的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1， )， 则四边形ABCD面积的最大值为 A.5 B.10 C.15 D.20 解析如图，作OPAC于P，OQBD于Q， 则|OP|2|OQ|2|OM|23， |AC|2|BD|24(4|OP|2)4(4|OQ|2)20. 又|AC|2|BD|22|AC|BD|，则|AC|BD|10， 12345678910 11 12 13 14 15 16 四边形ABCD面积的最大值为5. 13.已知圆C的方程为(x2)2(y1)25，点B的坐标为(0,2)，设P，Q分 别是直线l：xy20和圆C上的动点，则|PB|PQ|的最
17、小值为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由于点B(0,2)关于直线l：xy20的对称点为B(4，2)， 则|PB|PQ|PB|PQ|BQ|， 12345678910 11 12 13 14 15 16 15.已知直线l：xy1与圆M：x2y22x2y10相交于A，C两点， 点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的 最大值为_. 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 又B，D两点在圆上，并且位于直线l的两侧， 四边形ABCD的面积可以看成是ABC和ACD的面积之和，当B，D为 如图所示位置， 1234
18、5678910 11 12 13 14 15 16 即BD为弦AC的垂直平分线时(即为直径)，两三角形的面积之和最大，即 四边形ABCD的面积最大， 12345678910 11 12 13 14 15 16 (1)求圆C的标准方程； 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以a1， 12345678910 11 12 13 14 15 16 即r2，所以圆C的标准方程为(x1)2y24. (2)已知N(2,1)，经过原点且斜率为正数的直线l1与圆C交于P(x1，y1)， Q(x2，y2). 12345678910 11 12 13 14 15 16 证明设直线l1：ykx(k0)，与圆联立方程组可得(1k2)x22x30， 求|PN|2|QN|2的最大值. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解|PN|2|QN|2(x12)2(y11)2(x22)2(y21)2 (x12)2(kx11)2(x22)2(kx21)2 (1k2)(x1x2)22(1k2)x1x2(42k)(x1x2)10 令t3k(t3)，则kt3， 本课结束 更多精彩内容请登录：
