1、第1课时直线与圆的位置关系 第二章 2.5.1直线与圆的位置关系 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离. 2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系. 学 习 目 标 海上日出是非常壮丽的美景.在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升 起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再 跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和迷人的风采.在这个过程中， 把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了 直线与圆的位置关系. 导 语 随堂演练课时对点练 一、直线与圆的位置关系的判断 二、圆的弦长问题 三、求圆的切线方程 内容索引 一、直线与圆的位置关系的判断
2、问题1如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 提示转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解. 位置关系相交 相切 相离 公共点个数 个 个 个 判 断 方 法 _ _ _ 代数法：由 消元得到一元二次方程，可得方 程的判别式 _ _ _ 21 知识梳理 0 dr 000 例1已知直线方程mxym10，圆的方程x2y24x2y10.当 m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点. 解方法一将直线mxym10代入圆的方程化简整理得， (1m2)x22(m22m2)xm24m40. 则4m(3m4). 方法二已知圆的方程可化为(x2)2
3、(y1)24， 即圆心为C(2,1)，半径r2. 圆心C(2,1)到直线mxym10的距离 反思感悟直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断. (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判 断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性，必须是过定点的直线系. 跟踪训练1(1)已知圆C: x2y24x0，l是过点P(3,0)的直线，则 A.l与C相交 B.l与C相切 C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能 解析将点P(3,0)代入圆的方程，得32024391230
4、， 点P(3,0)在圆内. 过点P的直线l必与圆C相交. (2)若直线xy0与圆(x1)2(y1)2m相离，则实数m的取值范围是 A.(0,2 B.(1,2 C.(0,2) D.(1,2) m0，0m2. 二、圆的弦长问题 求直线与圆相交时弦长的两种方法： (1)几何法：如图，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心 距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有 (2)代数法：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两 交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)， 反思感悟(1)求直线与圆的弦长的三种方法：代数法、几何法及弦长 公式. (2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的
5、情况. 跟踪训练2已知直线l经过直线2xy30和4x3y50的交点，且 与直线xy20垂直. (1)求直线l的方程； 两直线交点为(2,1). 设直线l的斜率为kl， 直线l与xy20垂直，kl1， 直线l过点(2,1)， 直线l的方程为y1x2，即xy10. 解设圆的半径为r，依题意，得 圆的标准方程为(x3)2y24. 三、求圆的切线方程 例3(1)若圆C：x2y22x4y30关于直线2axby60对称，则 由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是 A.2 B.3 C.4 D.6 解析(12)2(43)2101，点A在圆外. 当直线l的斜率不存在时，l的方程是x1，不满足题意. 设直线l的
6、斜率为k，则切线l的方程为y4k(x1)， 即kxy4k0. (2)过点A(1,4)作圆(x2)2(y3)21的切线l，则切线l的方程为 _. y4或3x4y130 因此，所求直线l的方程为y4或3x4y130. 反思感悟求过某一点的圆的切线方程 (1)点(x0，y0)在圆上. 先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为 由点斜式可得切线方程. 如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程yy0或xx0. (2)点(x0，y0) 在圆外. 设切线方程为yy0k(xx0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方 程，可求得k，也就得切线方程. 当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为xx
7、0，因为在上面解 法中不包括斜率不存在的情况. 过圆外一点的切线有两条. 跟踪训练3(1)过圆x2y22x4y0上一点P(3,3)的切线方程为 A.2xy90 B.2xy90 C.2xy90 D.2xy90 解析x2y22x4y0的圆心为C(1,2)， 切线方程为y32(x3)，即2xy90. (2)由直线yx1上任一点向圆(x3)2y21引切线，则该切线长的最 小值为 解析圆心C(3,0)到直线yx1的距离 1.知识清单： (1)直线与圆的三种位置关系. (2)弦长公式. (3)圆的切线方程. 2.方法归纳：几何法、代数法、弦长公式法. 3.常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况.
8、课堂小结 随堂演练 1.直线yx1与圆x2y21的位置关系是 A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 1234 直线与圆x2y21相交， 又(0,0)不在yx1上，直线不过圆心. 点P在圆上.P为切点. 1234 3.(多选)若直线3x4yb与圆x2y22x2y10相切，则b的值是 A.2 B.12 C.2 D.12 1234 解析圆的方程为x2y22x2y10， 可化为(x1)2(y1)21， 得b2或12. 4.过原点且倾斜角为60的直线被圆x2y24x0所截得的弦长为_.2 1234 课时对点练 1.直线3x4y120与圆(x1)2(y1)29的位置关系是 A.过圆心
9、 B.相切 C.相离 D.相交但不过圆心 所以直线与圆的位置关系是相交但不过圆心. 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关 系是 A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 解析点M(a，b)在圆x2y21外，a2b21. 12345678910 11 12 13 14 15 16 则直线与圆的位置关系是相交. 解析由圆的方程，可知圆心坐标为(a，0)，半径r2. 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以|a2|2，解得a4或a0. 解析当弦长最短时，该弦所在直线与过
10、点P(1,2)的直径垂直.已知圆心 O(0,0)， 4.已知圆x2y29的弦过点P(1,2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为 A.y20 B.x2y50 C.2xy0 D.x10 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.一条光线从点(2,3)射出，经x轴反射后与圆x2y26x4y120相 切，则反射光线所在直线的斜率为 解析点(2,3)关于x轴的对称点Q的坐标为(2，3)， 圆x2y26x4y120的圆心为(3,2)，半径r1. 设过点(2，3)且与已知圆相切的直线的斜率为k， 则切线方程为yk(x2)3，
11、即kxy2k30， 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.直线l与圆x2y22x4ya0(a0)， 解得a6(舍)或a2， 则圆C的标准方程为(x2)2y22. (2)已知过点P(1,3)的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|2，求直线l的方程. 12345678910 11 12 13 14 15 16 若斜率存在，设直线方程为y3k(x1)， 即kxyk30. 11.已知圆C与直线xy30相切，直线mxy10始终平分圆C的面 积，则圆C的方程为 A.x2y22y2 B.x2y22y2 C.x2y22y1 D.x2y22y1 12345678910 11 12 13
12、 14 15 16 综合运用 解析在直线mxy10的方程中， 令x0，则y1， 则直线mxy10过定点(0，1). 由于直线mxy10始终平分圆C的面积， 则点(0，1)是圆C的圆心， 又圆C与直线xy30相切， 12345678910 11 12 13 14 15 16 因此，圆C的方程为x2(y1)22，即x2y22y1. A.4x3y130 B.3x4y150 C.3x4y150 D.x1 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由题意知圆心C的坐标为(2,0)，半径为r2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 当直线l的斜率存在时， 设直
13、线l的方程为y3k(x1)， 即kxyk30， 12345678910 11 12 13 14 15 16 即4x3y130. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析圆的标准方程为(x1)2(y2)24，圆心为C(1,2)，半径为r 2，直线被圆截得的弦长为4，则圆心在直线上， 所以2m2n2，mn1. 又m0，n0， 12345678910 11 12 13 14 15 16 14.在圆x2y22x6y0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和 BD，则四边形ABCD的面积为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 设点F为其圆心，坐
14、标为(1,3). 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右 侧(含与y轴的交点)的部分. 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2.且被直线l：4x3y30 截得的弦长为 (1)求圆C的方程； 12345678910 11 12 13 14 15 16 圆C的方程为(x2)2y24. (2)设P是直线xy40上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A， 证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求所有定点的坐标. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解P是直线xy40上一点. 设P(m，m4)， PA为圆C的切线，PAAC， 即过A，P，C三点的圆是以PC为直径的圆. 设圆上任一点Q(x，y)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 即x2y22x4ym(xy2)0， 12345678910 11 12 13 14 15 16 经过A，P，C三点的圆必过定点(1，3)和(2,0). 本课结束 更多精彩内容请登录：
