1、习题课轨迹问题 第三章 圆锥曲线的方程 1.理解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法. 2.能熟练地运用直接法、定义法、代入法等方法求曲线的轨迹方程. 学 习 目 标 生活中我们处处可见轨迹的影子. 导 语 例如：人生的轨迹，我们每个人的成长轨迹，美丽的流星划过夜空留 下的轨迹. 随堂演练课时对点练 一、定义法求轨迹方程 二、相关点代入法求轨迹方程 三、直接法求轨迹方程 内容索引 一、定义法求轨迹方程 问题1回顾圆、椭圆的定义，圆、椭圆上的点分别满足什么条件？ 提示圆上的点满足到圆心的距离等于半径.椭圆上的点满足到两定点的 距离的和等于常数. 例1一动圆过定点A(2,0)，且与
2、定圆x24xy2320内切，求动圆圆 心M的轨迹方程. 解将定圆的方程化为标准形式为(x2)2y262，这时，已知圆的圆心 坐标为B(2,0)，半径为6，如图， 设动圆圆心M的坐标为(x，y)， 由于动圆与已知圆相内切，设切点为C. 已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离， 即|BC|MC|BM|，而|BC|6，|BM|CM|6， 又|CM|AM|，|BM|AM|6， 根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(2,0)和点A(2,0)为焦点，线段AB的 中点O(0,0)为中心的椭圆. 反思感悟观察几何图形，根据几何图形的直观性质得到动点轨迹的 几何属性，由曲线的定义直接得到动点轨迹的
3、方程.注意要检验是否有 要删除的点. 跟踪训练1 已知ABC的顶点A，B的坐标分别为(4，0)，(4,0)，C 为动点，且满足sin Bsin A sin C，求点C的轨迹. 即|AC|BC|10，满足椭圆的定义. 则a5，c4b3， 二、相关点代入法求轨迹方程 解设动点M的坐标为(x，y)，B点坐标为(x0，y0)，则由M为线段AB的中点， 即点B的坐标可表示为(2x2a，2y). 反思感悟相关点代入法求轨迹方程的一般步骤 (1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐 标为(x0，y0). (2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0.
4、 (3)将x0，y0代入其所在的曲线方程. (4)化简方程得所求方程. 跟踪训练2已知P(4，4)，Q是椭圆x22y216上的动点，M是线段 PQ上的点， A.(x3)22(y3)21 B.(x3)22(y3)21 C.(x1)22(y1)29 D.(x1)22(y1)29 又Q(m，n)在椭圆x22y216上， 故16(x3)232(y3)216，即(x3)22(y3)21. 三、直接法求轨迹方程 问题2直接法求轨迹方程的步骤有哪些？ 提示建系、设点列式、化简检验. (1)求动点M的轨迹的方程； 解设动点M(x，y)， 解设点B(x，y)，点P(x0，y0)， 反思感悟求轨迹方程时，没有坐标
5、系时要先建立坐标系，设轨迹上 任一点的坐标为(x，y)，轨迹方程就是x，y之间的等式，关键是找到等 量关系，然后用x，y表示. 解设P(x，y). 即动点P的轨迹C的方程为x28y. 1.知识清单： (1)定义法求轨迹方程. (2)相关点代入法求轨迹方程. (3)直接法求轨迹方程. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：在求动点的轨迹方程时，易忽略检查是否有要删除(增加) 的点. 课堂小结 随堂演练 1.在ABC中，B(2,0)，C(2,0)，|AB|AC|6，则顶点A的轨迹方程是 1234 解析在ABC中，B(2,0)，C(2,0)，|AB|AC|6|BC|4， 1234 解析设点M的坐标
6、为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)， 则点D的坐标为(x0，0)， 1234 点P在x2y24上， 3.到A(2，3)和B(4，1)的距离相等的点的轨迹方程是_. 1234 xy10 解析由点P满足|PA|PB|，可知点P的轨迹为点A(2，3)和B(4，1) 的垂直平分线. 其垂直平分线的斜率为1. 点P的轨迹方程是y2(x3)， 即xy10. 故曲线C的轨迹是椭圆. 椭圆 1234 课时对点练 1.平面内一点M到两定点F1(0，3)，F2(0,3)的距离之和为10，则M的轨 迹方程是 解析平面内一点M到两定点F1(0，3)，F2(0,3)的距离之和为106， 所以M的轨迹满足椭圆的定义
7、，是椭圆，且a5，c3，则b4， 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.已知ABC的周长为12，B(0，2)，C(0,2)，则顶点A的轨迹方程为 解析ABC的周长为12，顶点B(0，2)，C(0,2)， |BC|4，|AB|AC|1248， 点A到两个定点的距离之和等于定值， 又84，点A的轨迹是椭圆，且a4，c2，b212， 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.已知点F1(1,0)，F2(1,0)，动点A到F1的距离是 线段AF2的垂直平 分线交AF1于点P，则点P的轨迹方程是 12345678910 11 12 13 14 1
8、5 16 点P的轨迹是以F1(1,0)，F2(1,0)为焦点的椭圆. 4.已知椭圆 (ab0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点， 则线段MF1的中点P的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线 解析设椭圆的右焦点为F2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 又|MF1|MF2|2a， 所以|PO|PF1|a|F1O|c， 故由椭圆的定义，可知点P的轨迹是椭圆. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设交点为P(x，y)，A1(3,0)，A2(3,0)，P1(x0，y0)，P2(x0，y0)， A1，P1，P共线， 1234567891
9、0 11 12 13 14 15 16 A2，P2，P共线， 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.动圆M与圆M1：(x1)2y21外切，与圆M2：(x1)2y225内切，则 动圆圆心M的轨迹方程是 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设动圆的圆心为M(x，y)，半径为R， 动圆与圆M1：(x1)2y21外切，与圆M2：(x1)2y225内切， |MM1|MM2|1R5R6， |MM1|MM2|M1M2|2， 该动圆圆心M的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆，且2a6， c1， 解得a3，根据a，b，c的关系求得b28， 1234567
10、8910 11 12 13 14 15 16 解析设点P的坐标为(x，y)(x2)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设点P的坐标为(x，y)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 9.如图所示，RtABC的顶点坐标A(2,0)，直角顶点 B(0， 顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点. (1)求边BC所在直线的方程； 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)M为RtABC外接圆的圆心，求圆M的方程； 令y0，得C(4,0). 圆心M(1,0). 又|AM|3， 圆M的方程为(x1)2y29. 123456789
11、10 11 12 13 14 15 16 (3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程. 解P(1,0)，M(1,0)，且圆N过点P(1,0)， PN是该圆的半径. 又动圆N与圆M内切， |MN|3|PN|，即|MN|PN|32. 点N的轨迹是以M，P为焦点，长轴长为3的椭圆. 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A(2,3)，且点F(2，0)为其右焦点. (1)求椭圆的标准方程； 12345678910 11 12 13 14 15 16 若点F(2,0)为其右焦点， 则其左焦点为F(2,0)， 123456789
12、10 11 12 13 14 15 16 又a2b2c2， b212， (2)若P是(1)中所求椭圆上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解设P(x0，y0)，Q(x，y)， Q为PF的中点， 11.已知在ABC中，点A(2,0)，点B(2,0)，若tanCABtanCBA2， 则点C的轨迹方程为 12345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 解析设C(x，y)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 由tanCABtanCBA2， 当x2时，C与A或B重合，不符合题意. 12.设圆(x1
13、)2y225的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一 点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析圆心C(1,0)，半径为5，设点M(x，y)， AQ的垂直平分线交CQ于M， |MA|MQ|， 又|MQ|MC|5|AC|2， 即|MA|MC|AC|， 由椭圆的定义可得点M的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，且2a5，c1， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)， 12345
14、678910 11 12 13 14 15 16 因为|AB|5， 解析设Q(x，y)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 15.如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得 ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是 A.圆 B.一条直线 C.椭圆 D.两条平行直线 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析因为三角形的面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得 P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P在以AB为轴线的圆柱面与平 面的交线上，且与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判 断，可得P的轨迹为椭圆. 16
15、.设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l 交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明|EA|EB|为定值， 并写出点E的轨迹方程. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解圆A的方程整理可得(x1)2y216，点A的坐标为(1,0)，如图所示， 因为|AD|AC|， 所以ACDADC. 因为EBAC， 所以EBDACD， 故EBDACDADC. 所以|EB|ED|， 故|EA|EB|EA|ED|AD|. 12345678910 11 12 13 14 15 16 又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4， 所以|EA|EB|4. 由题设得A(1,0)，B(1,0).|AB|2， 由椭圆定义可得点E的轨迹是以A，B为焦点的椭圆， 且2a4，c1， 所以a24，b23， 12345678910 11 12 13 14 15 16 本课结束 更多精彩内容请登录：
