1、第2课时共线向量与共面向量 第一章 1.1.1空间向量及其线性运算 1.理解向量共线、向量共面的定义. 2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件，会证明空间三点 共线、四点共面. 学 习 目 标 我们知道向量是有大小、有方向的量，它可以平行移动，平面内两个 向量若方向相同或相反，就说它们是共线的，那么在空间内向量共线 又是怎么回事呢？今天我们就来探究一下. 导 语 随堂演练课时对点练 一、空间向量共线的充要条件 二、空间向量共面的充要条件 内容索引 一、空间向量共线的充要条件 问题1平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ 提示对任意两个平面向量a，b(b0)，ab的充要条件是
2、存在实数， 使ab，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间 向量. 1.对任意两个空间向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使 . 2.如图，O是直线l上一点， 在直线l上取非零向量a， 则对于 直线l上任意一点P，可知 a，把与向量a平行的非零 向量称为直线l的 ，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和 它的方向向量表示. ab 方向向量 知识梳理 注意点：注意点： (1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定. (2)向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直 线上. 解方法一M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都 是平行四边
3、形， 方法二M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平 行四边形， 反思感悟向量共线的判定及应用 (1)判断或证明两向量a，b(b0)共线，就是寻找实数，使ab成立， 为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简 或用同一组向量表达. (2)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数， 跟踪训练1(1)已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若 则mn_. 解析由于A，B，C三点共线，所以存在实数， 1 所以mn1. (2)如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD 的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，
4、 求证： 四边形EFGH是梯形. 证明E，H分别是AB，AD的中点， 又F不在直线EH上， 四边形EFGH是梯形. 二、空间向量共面的充要条件 问题2空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？ 提示不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面. 问题3对两个不共线的空间向量a，b，如果pxayb，那么向量p与向 量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时， pxayb? 提示向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 (x，y)，使pxayb. 1.向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段 所在的直线OA_ 或 ，那么称向量a平行于平面. 2
5、.共面向量 平行于 平面 知识梳理 定义平行于同一个 的向量 三个向量共面 的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在_ 的有序实数对(x，y)使 _ 在平面内 平面 唯一 pxayb 提示xyz1. 证明如下：(1)充分性 点P与A，B，C共面. (2)必要性 点P在平面ABC内，不共线的三点A，B，C， 又点O在平面ABC外， x1mn，ym，zn，xyz1. 例2(1)(多选)对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A， B，C四点共面的是 由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面，故C选项正确. (2)(链接教材P5例1)如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D
6、1中，M为DD1的 中点，NAC，且ANNC2，求证：A1，B，N，M四点共面. 又三向量有相同的起点A1， A1，B，N，M四点共面. 反思感悟解决向量共面的策略 (2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程 中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个不共线 的向量来表示. 跟踪训练2已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC， CD，DA的中点，求证： (1)E，F，G，H四点共面. 证明如图，连接EG，BG. (2)BD平面EFGH. 所以EHBD.又EH平面EFGH，BD 平面 EFGH，所以BD平面EFGH. 1.知识清单： (1)空间
7、向量共线的充要条件，直线的方向向量. (2)空间向量共面的充要条件. (3)三点共线、四点共面的证明方法. 2.方法归纳 ：转化化归、类比. 3.常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线. 课堂小结 随堂演练 1.对于空间的任意三个向量a，b,2ab，它们一定是 A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量 1234 解析由向量共面定理可知，三个向量a，b,2ab为共面向量. 2.(多选)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是 1234 解析A选项中，3111，四点共面， 点M，A，B，C共面. 且M，A，B，C四点共面， 1234 3 1234 因为A，B，D三点
8、共线， 1234 即9amb(3ab). 解得m3. 课时对点练 1.下列命题中正确的是 A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B.向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 D.若ab，则存在唯一的实数，使ab 解析A中，若b0，则a与c不一定共线； B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向 线段所在的直线不一定共面； D中，若b0，a0，则不存在，使ab. 12345678910 11 12 13 14 15 16 A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D A，B，D三点共
9、线. 12345678910 11 12 13 14 15 16 A.P直线AB B.P 直线AB C.点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上 D.以上都不对 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析因为mn1， 所以m1n， 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以P，A，B三点在同一直线上，即P直线AB. A.四点O，A，B，C必共面B.四点P，A，B，C必共面 C.四点O，P，B，C必共面D.五点O，P，A，B，C必共面 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.(多选)在以下命题中，不正确的命题是 A.已知A，B
10、，C，D是空间任意四点， B.|a|b|ab|是a，b共线的充要条件 C.若a与b共线，则a与b所在的直线平行 D.对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C， (其中x，y，zR)，则P，A，B，C四点共面 12345678910 11 12 13 14 15 16 若a，b同向共线，则|a|b|ab|，故B不正确； 由向量平行知C不正确； D中只有xyz1时，才有P，A，B，C四点共面，故D不正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 又P是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四 点共面，
11、 8 A，B，D三点共线， 12345678910 11 12 13 14 15 16 2e1ke2(e14e2)e14e2， e1，e2不共线， 平行 解析设G是AC的中点，连接EG，FG(图略)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)判断M是否在平面ABC内. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充
12、分又不必要条件 12345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内 C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内 12345678910 11 12 13 14 15 16 于是M，B，A1，D1四点共面. 14.有下列命题： 12345678910 11 12 13 14 15 16 若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1k2e2
13、k3e30， 则k1k2k30. 其中是真命题的序号是_(把所有真命题的序号都填上). 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 0 解析A，B，C三点共线， 12345678910 11 12 13 14 15 16 当k1时，比较系数得m0且n， mn0； 12345678910 11 12 13 14 15 16 得m(k1)，nk； 由此可得mn(k1)k0， 综上所述，mn0. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解如图，连接BG. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 又因为G，B，P，D四点共面， 本课结束 更多精彩内容请登录：
