1、第1课时空间向量基本定理 第一章 1.2空间向量基本定理 1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用. 2.掌握空间向量的正交分解. 学 习 目 标 回顾平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a 1e12e2.若e1，e2不共线，我们把e1，e2叫做表示这一平面内所有向 量的一个基底.类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向 量a，b，c表示呢？ 导 语 随堂演练课时对点练 一、空间向量基本定理 二、空间向量的正交分解 三、用基底表示空间向量 内容索引 一、空间向量基本定理 问题1如图，设i，j，k是
2、空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有 向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p ，p 能否用i，j，k表 示呢？ 问题2你能证明唯一性吗？ 提示假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x，y，z)，使得p xiyjzk，则xiyjzkxiyjzk. 不妨设xx，则(xx)i(yy)j(zz)k. 由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾.所以有序实数组 (x，y，z)是唯一的. 1.空间向量的基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个 空间向量p，存在 的有序实数组(x，y，z)，使得 . 2.基底：我们把a，b，c叫做空间的一个 ，a，b，c都叫做基向量. 唯
3、一 pxaybzc 知识梳理 基底 注意点：注意点： (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后，空 间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也 有可能不同. (2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者 是相关联的不同概念. (3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量 共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量. e12e2e3(3e1e22e3)(e1e2e3) (3)e1()e2(2)e3， e1，e2，e3不共面， 反思感悟基底的判断思路 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断
4、这三个向量是 否共面，若不共面，就可以作为一个基底. (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几 何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基 础上构造其他向量进行相关的判断. 跟踪训练1(多选)设xab，ybc，zca，且a，b，c是空间 的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有 A.a，b，x B.x，y，z C.b，c，z D.x，y，abc 可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，abc也不共面. 二、空间向量的正交分解 1.单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长 度都为 ，那么这个基底叫做单位正交基底
5、，常用i，j，k表示. 2.正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以 分解为三个向量xi，yj，zk，使 .像这样，把一个空间向量 分解为三个 的向量，叫做把空间向量正交分解. 两两垂直 1 知识梳理 axiyjzk 两两垂直 三、用基底表示空间向量 反思感悟用基底表示向量时： (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形 法则，以及数乘向量的运算律； (2)若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方 便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求. 解如图，连接AC，EF，D1F，BD1， 1.知识清单： (1)空间的
6、基底. (2)空间向量基本定理. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区： (1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件. (2)运算错误，利用基底表示向量时计算要细心. 课堂小结 随堂演练 1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：a，b，c为空间的一个基底，则p 是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1234 解析当非零向量a，b，c不共面时，a，b，c可以当基底， 否则不能当基底， 当a，b，c为基底时，一定有a，b，c为非零向量. 因此pq，qp. 1234 3.如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，点O为空间内任意一点， 123
7、4 1234 1234 课时对点练 1.(多选)若a，b，c是空间一个基底，则下列各组中能构成空间的一个 基底的是 A.a,2b,3c B.ab，bc，ca C.abc，bc，c D.a2b,2b3c,3a9c 解析因为a，b，c是空间的一个基底，所以a，b，c不共面，对于A， B，C选项，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底； 对于D，a2b,2b3c,3a9c满足3a9c3(a2b)(2b3c)， 所以这三个向量是共面向量，故不能构成空间的一个基底. 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.(多选)给出下列命题，其中是真命题的是 A.若a，b，c可以
8、作为空间的一个基底，d与c共线，d0，则a，b，d 也可以作为空间的一个基底 B.已知向量ab，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底 C.已知A，B，M，N是空间中的四点， 不能构成空间的一 个基底，则A，B，M，N四点共面 D.若a，b是两个不共线的向量，而cab(，R且0)，则a， b，c构成空间的一个基底 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析A中，假设d与a，b共面，则存在实数，使得dab，d 与c共线，c0，存在实数k，使得dkc，d0，k0，从而c c与a，b共面，与已知条件矛盾，d与a，b不共面，即A是真 命题； B中，根据基底的概念，知空间中任何
9、三个不共面的向量都可作为空间 的一个基底，显然B是真命题； 12345678910 11 12 13 14 15 16 D中，因为a，b，c共面，所以a，b，c不能构成基底，故D错误. 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.已知a，b，c是空间的一个基底，若pab，qab，则 A.a，p，q是空间的一组基底 B.b，p，q是空间的一组基底 C.c，p，q是空间的一组基底 D.p，q与a，b，c中的任何一个都不能构成空间的一组基底 解析假设ck1pk2q，即ck1(ab)k2(ab)， 得c(k1k2)a(k1k2)b，这与a，b，c是空间的一个基底矛盾， 故c，p，q
10、是空间的一组基底，故选C. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析取PC的中点E，连接NE， 12345678910 11 12 13 14 15 16 9.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中， E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点. 1234567891
11、0 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 12.若ae1e2，be2e3，ce1e3，de12e23e3，若e1，e2，e3不 共面，当dabc时，_. 解析由已知得，d()e1()e2()e3. 又de12e23e3， 12345678910 11 12 13 14 15 16 3 故有3. 12345678910 11 12 13 14 15 1
12、6 14.如图所示，在正方体OABCO1A1B1C1中，点G为 ACO1的重心， xa ybzc，则xyz_. 解析易知ACO1为正三角形，连接OB，设AC，BO相交于点M，连接 O1M，如图所示， 12345678910 11 12 13 14 15 16 1 可得xyz1. 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略). 12345678910 11 12 13 14 15 16 点D，E，F，M共面， 12345678910 11 12 13 14 15 16 本课结束 更多精彩内容请登录：
