1、1.3.2空间向量运算的坐标表示 第一章 1.3空间向量及其运算的坐标表示 1.掌握空间向量运算的坐标表示. 2.掌握空间两点间的距离公式. 3.会用向量的坐标解决一些简单的几何问题. 学 习 目 标 前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐 标一一对应起来.那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标 运算，同学们是否可以探究出空间向量运算的坐标表示并给出证明？ 导 语 随堂演练课时对点练 一、空间向量运算的坐标表示 二、空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 三、夹角和距离的计算 内容索引 一、空间向量运算的坐标表示 向量运算 向量表示坐标表示 加法ab_ 减法ab_ 数
2、乘a_ 数量积ab_ 设向量a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，R，那么 (a1b1，a2b2，a3b3) 知识梳理 (a1b1，a2b2，a3b3) (a1，a2，a3) a1b1a2b2a3b3 注意点：注意点： (1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致. (2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 (x2x1，y2y1，z2z1).即一 个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. (3)运用公式可以简化运算：(ab)2a22abb2；(ab)(ab)a2 b2. (4)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为
3、数量. 例1(1)已知a(1,2,1)，b(2,0,1)，则(2a3b)(ab)_. 解析易得2a3b(4,4,5)，ab(3,2,0)， 则(2a3b)(ab)4(3)42504. 4 求顶点B，C的坐标； 解设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)， 所以点B的坐标为(6，4,5). 所以点C的坐标为(9，6,10). 解设P(x2，y2，z2)， 反思感悟空间向量坐标运算的规律及注意点 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标 确定. (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式 计算. (3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解
4、方程 (组)，求出其坐标. 4 ab1034. 二、空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则有 平行关系：当b0时，abab ， ，_ (R)； 垂直关系：abab0 . a1b1a2b2 知识梳理 a3b3 a1b1a2b2a3b30 注意点：注意点： (1)要证明ab，就是证明ab0；要证明ab，就是证明ab(b0). 所以2ab(3,2，2)， 所以2ab2c， 所以(2ab)c. 若kab与ka2b互相垂直，求k. 所以kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4). 又因为(kab)(ka2b)， 所以(kab)(ka2b)0， 即(
5、k1，k,2)(k2，k，4)2k2k100. 解如图所示，以点D为原点， 由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)， 所以3(a1，a1,0)(a，a,0)， 延伸探究 1.若本例中的PQAE改为B1QEQ，其他条件不变，结果如何？ 设正方体棱长为1，点Q的坐标为(c，c,0)， 因为B1QEQ， 所以点Q是线段BD的中点， 2.本例中若点G是A1D的中点，点H在平面Dxy上，且GHBD1，试判断点 H的位置. 设正方体的棱长为1， 因为点G是A1D的中点， 因为点H在平面Dxy上， 设点H的坐标为(m，n,0)， 且GHBD1， 所以点H为线段AB的中点. 反思感悟(1)判断两向量是否平行或
6、垂直可直接利用向量平行或垂直 的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的 充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解. (2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐 标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明. 跟踪训练2如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平 面互相垂直，CEAC，EFAC，AB CEEF1. (1)求证：AF平面BDE； 证明设AC与BD交于点G，连接EG. 所以四边形AGEF为平行四边形， 所以AFEG. 因为EG平面BDE，AF 平面BDE， 所以AF平面BDE. (2)求证：CF平面BDE. 证明因
7、为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相 互垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD. 如图，以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz. 即CFBE，CFDE. 又BEDEE，且BE平面BDE，DE平面BDE，所以CF平面BDE. 三、夹角和距离的计算 问题你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公 式吗？ 提示如图，建立空间直角坐标系Oxyz， 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， 因此，空间中已知两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 注意点：注意点： (1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类 比记忆. 知
8、识梳理 例3如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1， BCA90，棱AA12，M，N分别是AA1，CB1的中点. (1)求BM，BN的长. 解以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图. (2)求BMN的面积. 反思感悟利用空间向量的坐标运算的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系. (2)求坐标：求出相关点的坐标；写出向量的坐标. (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算. (4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题. 跟踪训练3如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别 为D1D，BD
9、的中点，G在棱CD上，且CG H为C1G的中点. (1)求证：EFB1C； 证明如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点， (2)求FH的长； (3)求EF与C1G所成角的余弦值. 1.知识清单： (1)向量的坐标的运算. (2)向量的坐标表示的应用. 2.方法归纳：类比、转化. 3.常见误区： (1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等. (2)求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的 情况. 课堂小结 随堂演练 1.已知M(5，1,2)，A(4,2，1)，O为坐标原点， 则点B的坐 标应为 A.(1,3，3) B.(9,1,1) C.(1，3,3) D.(9，
10、1，1) 1234 2.已知向量a(0，1,1)，b(4,1,0)，|ab| 且0，则等于 A.5 B.4 C.3 D.2 1234 解析ab(0，1,1)(4,1,0)(4,1，)， 3.已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是 1234 解析依题意得(kab)(2ab)0， 所以2k|a|2kab2ab|b|20， 而|a|22，|b|25，ab1， 1234 课时对点练 1.已知a(1，2,1)，ab(1,2，1)，则b等于 A.(2，4,2) B.(2,4，2) C.(2,0，2) D.(2,1，3) 解析ba(1,2，1)(1，2,1)(1,2
11、，1)(2，4,2). 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设点C的坐标为(x，y，z)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.已知a(1,0,1)，b(2，1,1)，c(3,1,0)，则|ab2c|等于 解析ab2c(9,3,0)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.已知A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，则ABC的形状是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以ABC是直角三角形. 5
12、.空间中点A(3,3,1)关于平面Oxy的对称点A与B(1，1,5)的长度为 解析点A(3,3,1)关于平面Oxy的对称点A的坐标为(3,3，1)， 所以A与B(1,1,5)的长度为 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.已知向量a(1,2,3)，b(2，4，6)，|c| 若(ab)c7，则a 与c的夹角为 A.30 B.60 C.120 D.150 解析ab(1，2，3)a， 故(ab)cac7， 得ac7， 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以a，c120. 12345678910 11 12 13 14 15 16 11 AB 解析以
13、O为坐标原点，OA，OO1所在直线分别为y，z轴 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 12345678910 11 12 13 14 15 16 (1,3,3) 解析设点P(x，y，z)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 得(x1，y3，z1)2(1x，3y，4z)， 即P(1,3,3). 解由空间两点间的距离公式得 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面 ABCD，AB BC1，PA2，E为PD的中点. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (1)
14、求AC与PB所成角的余弦值； 解由题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 设AC与PB的夹角为， 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)在侧面PAB内找一点N，使NE平面PAC，求N点的坐标. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解由于N点在侧面PAB内， 故可设N点坐标为(x,0，z)， 11.已知点A(1t,1t，t)，B(2，t，t)，则A，B两点的距离的最小值为 解析因为点A(1t,1t，t)，B(2，t，t)， 所以|AB|2(1t)2(2t1)2(tt)25t22t2， 1
15、2345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 12.(多选)从点P(1,2,3)出发，沿着向量v(4，1,8)方向取点Q，使|PQ| 18，则Q点的坐标为 A.(1，2,3) B.(9,4，13) C.(7,0,19) D.(1，2，3) 12345678910 11 12 13 14 15 16 即(x01，y02，z03)(4，1,8). 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以2， 所以(x01，y02，z03)2(4，1,8)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 因为a与b的夹角为钝角， 所以ab0， 123456
16、78910 11 12 13 14 15 16 若a与b的夹角为180， 则存在0，使ab(0)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 14.已知棱长为a的正四面体ABCD，如图，建立空间直角坐标系，O为A 在底面上的射影，M，N分别为线段AB，AD的中点，则M的坐标是 _，CN与DM所成角的余弦值为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 15.如图，在长方
17、体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱 AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是_，若D1EEC，则 AE_. 90 1 解析在长方体ABCDA1B1C1D1中，以D为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系. 又ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动. 12345678910 11 12 13 14 15 16 则D(0,0,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，C(0,2,0)， 设E(1，m,0)，0m2， 直线D1E与A1D所成角的大小是90. 解得m1，AE1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.在正
18、三棱柱ABCA1B1C1中，ABC和A1B1C1为正三角形，所有的 棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直 线AB1和MN所成的角等于45？ 12345678910 11 12 13 14 15 16 解以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 12345678910 11 12 13 14 15 16 又点N在棱CC1上，可设N(0,2，m)(0m2)， 若异面直线AB1和MN所成的角等于45， 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以在棱CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45. 本课结束 更多精彩内容请登录：
