1、题组层级快练题组层级快练(五十五十五五) 一、单项选择题 1(2021保定模拟)直线 y 3 3 xm 与圆 x2y21 在第一象限内有两个不同的交点，则 m 的取值范围是() A( 3，2)B( 3，3) C. 3 3 ，2 3 3D. 1，2 3 3 答案D 解析当直线经过点(0，1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时 m1；当直线与圆相切 时有圆心到直线的距离 d |m| 1 3 3 21，解得 m 2 3 3 (切点在第一象限)，所以要使直线 与圆在第一象限内有两个不同的交点，需使 1m0)截直线 xy0 所得线段的长度是 2 2，则 圆 M 与圆 N：(x1)2(y1)21 的位置关
2、系是() A内切B相交 C外切D相离 答案B 解析圆 M：x2y22ay0 的圆心为 M(0，a)，半径为 a， 所以圆心 M 到直线 xy0 的距离为 |a| 2. 由直线 xy0 被圆 M 截得的弦长为 2 2，知 a2a 2 2 2，故 a2，即 M(0，2)且圆 M 的半 径为 2. 又圆 N 的圆心为 N(1，1)，且半径为 1， 根据 1|MN| 20)上一动点，PA，PB 是圆 C：x2y22y0 的两条 切线A，B 是切点，若四边形 PACB 的最小面积是 3，则 k 的值为() A. 3 B. 2 C2 3D2 2 答案A 解析如图，圆 C：x2y22y0 的圆心为(0，1)
3、，半径是 r1， 由圆的性质知：S四边形PACB2SPBC，四边形 PACB 的最小面积是 3， SPBC的最小值 3 2 1 2rd(d 是切线长)， d最小值 3. |PC|的最小值为 12（ 3）22，2 4 1k2，k 3，k0，k 3.故选 A. 9(2021河北唐山一中模拟)已知圆 C：x2y26x80 和两点 A(t，0)，B(t，0)(t0)， 若圆 C 上存在点 P，使得AP BP0，则实数 t 的取值范围是( ) A(1，3)B(2，4) C1，3D2，4 答案D 解析将圆 C：x2y26x80 变形为(x3)2y21，即圆心 C(3，0)，半径 r1， 设 P(a，b)在
4、圆 C 上，则AP (at，b)，BP(at，b)， AP BPa2t2b20，即 t2a2b2|OP|2， 所以实数 t 的取值就是圆 C 上的 P 点到原点的距离的取值， 且 OC3，r1，则 COr4，OCr2，因此实数 t 的取值范围为2，4故选 D. 二、多项选择题 10以下四个命题表述正确的是() A直线 mx4y120(mR)恒过定点(0，3) B圆 C：x2y22x8y130 的圆心到直线 4x3y30 的距离为 2 C圆 C1：x2y22x0 与圆 C2：x2y24x8y40 恰有三条公切线 D两圆 x2y24x4y0 与 x2y22x120 的公共弦所在的直线方程为：x2y
5、6 0 答案AC 解析对于 A，当 x0 时 y3，所以直线过定点(0，3)，故正确 对于 B，圆 C 的圆心为(1，4)，到直线 4x3y30 的距离为|4123| 5 1，故错误 对于 C，圆 C1的圆心为(1，0)，半径为 r11；圆 C2的圆心为(2，4)，半径为 r24. 圆心距为 32425r1r2，所以两圆外切，故恰有三条公切线，故正确 对于 D，由 x2y24x4y0， x2y22x120，两式相减并化简得 x2y60，故错误综上所述，正 确的选项为 AC. 11(2021山东泰安市模拟)直线 ykx1 与圆 C：(x3)2(y3)236 相交于 A，B 两点， 则 AB 的长
6、度可能为() A6B8 C12D16 答案BC 解析因为直线 ykx1 过定点(0，1)，故圆 C 的圆心(3，3)到直线 ykx1 的距离 的最大值为（03）2（13）25.又圆 C 的半径为 6，故弦长 AB 的最小值为 2 62522 11. 又当直线 ykx1 过圆心时弦长 AB 取最大值为直径 12，故 AB2 11，12故选 BC. 三、填空题与解答题 12已知直线3xy20 及直线3xy100 截圆 C 所得的弦长均为 8，则圆 C 的面 积是_ 答案25 解析因为已知的两条直线平行且截圆 C 所得的弦长均为 8， 所以圆心到直线的距离 d 为两 直线距离的一半，即 d1 2 |
7、210| 313.又因为直线截圆 C 所得的弦长为 8，所以圆的半径 r 32425，所以圆 C 的面积是 25. 13(2015湖南)若直线 3x4y50 与圆 x2y2r2(r0)相交于 A，B 两点，且AOB 120(O 为坐标原点)，则 r_ 答案2 解析圆 x2y2r2的圆心为原点，则圆心到直线 3x4y50 的距离为 |005| 32（4）2 1，在OAB 中，点 O 到边 AB 的距离 drsin30r 21，所以 r2. 14(2017天津)设抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为 l.已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A.若FAC120，则
8、圆的方程为_ 答案(x1)2(y 3)21 解析由题意知该圆的半径为 1，设圆心坐标为 C(1，a)(a0)，则 A(0，a)，又 F(1，0)， 所以AC (1， 0)， AF (1， a)， 由题意得AC 与AF 的夹角为 120， 得 cos120 1 1 1a2 1 2，解得 a 3，所以圆的方程为(x1) 2(y 3)21. 15(2021云南弥勒市一中期末)直线 l： axy30 与圆 C： x2y24x2y0 相交于 M， N 两点，若|MN|2 3，则实数 a 的取值范围是_ 答案7，1 解析因为圆 C：(x2)2(y1)25，直线 l：axy30， 而|MN|2 3，则(|M
9、N| 2 )25(|2a4| 1a2) 23， 解得7a1，所以 a 的取值范围为7，1 16已知圆 C：(x3)2(y4)24. (1)若直线 l1过定点 A(3，0)，且与圆 C 相切，求直线 l1的方程； (2)若圆 D 的半径是 3，圆心在直线 l2：xy20 上，且与圆 C 外切，求圆 D 的方程 答案(1)y 3(x3)(2)(x3)2(y1)29 或(x2)2(y4)29 思路(1)根据直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径，d2 4 k21k 3， 即可求出直线方程 (2)圆与圆外切则转化为圆心距等于半径和， 可得 （a3）2（a2）2 5a3 或 a2，即可算出圆的方程
10、解析(1)设直线 l1的方程为 yk(x3)，即 kxy3k0，则圆心到 l1的距离 d 为 d2 4 k21k 3， 所以，直线 l1的方程为 y 3(x3) (2)设圆心 D(a，2a)，则|CD|5， （a3）2（a2）25a3 或 a2. 所以，圆 D 的方程为：(x3)2(y1)29 或(x2)2(y4)29. 17(2020山西晋中模拟)阿波罗尼斯(古希腊数学家，约公元前 262190)的著作圆锥曲线 论是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余 地他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 k(k0 且 k1)的点的轨迹是 圆，后人将这个
11、圆称为阿波罗尼斯圆现有ABC，AC4，sinC2sinA，则当ABC 的 面积最大时，AC 边上的高为_ 答案 8 3 解析sinC2sinA，由正弦定理可得|AB| |CB| sinC sinA2 为非零常数， 根据阿波罗尼斯圆可得：点 B 的轨迹是圆 以线段 AC 的中点为原点，AC 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系， 则 A(2，0)，C(2，0)，设 B(x，y)，|AB|2|CB|， （x2）2y22 （x2）2y2， 即 3x23y220 x120，整理得(x10 3 )2y2(8 3) 2， 因此，当ABC 面积最大时，AC 边上的高为圆的半径8 3. 18已知圆 O1：x2
12、(y1)21，动圆 O2与圆 O1外切，且动圆 O2与 x 轴相切 (1)求动点 O2的轨迹 E 的方程 (2)过点 O1作两条相互垂直的直线分别交曲线 E 于 A，B 和 C，D，求四边形 ACBD 的面积 的最小值 答案(1)x24y(2)32 解析(1)由圆 O1的方程知 O1(0，1)，半径为 1. 设点 O2(x，y)，动圆 O2的半径为 R. 由题意得 |O1O2|R1， |y|R， 所以 x2（y1）2|y|1.化简，得 x22(y|y|) 故当 y0 时，x24y；当 y0 时，x0，此时动圆 O2不存在，舍去 所以动点 O2的轨迹 E 的方程为 x24y. (2)由题意知直线 AB，CD 的斜率必存在，且不为 0. 设直线 AB 的方程为 ykx1，将其代入 x24y，得 x24kx40， 则|AB| 1k2 16k2164k24. 又 ABCD，同理可得|CD| 4 k24， 所以四边形 ACBD 的面积 S1 2|AB|CD|8k 28 k2162 641632， 当且仅当 k21，即 k1 时，等号成立 此时，四边形 ACBD 的面积最小为 32.
