1、再练一课再练一课(范围：范围：1.11.4) 一、单项选择题 1已知直线 l 与平面垂直，直线 l 的一个方向向量为 u(1，3，z)，向量 v(3，2,1) 与平面平行，则 z 等于() A3B6C9D9 答案C 解析由题意可得 uv， uv36z0，解得 z9. 2已知直线 l1的方向向量 a(1,2，m)，直线 l2的方向向量 b(2，n，12)，且 l1l2， 则 m3n 的值是() A6B6C14D14 答案A 解析l1l2，ab， 则1 2 2 n m 12， 解得 n4，m6， m3n6126. 3在平面 ABCD 中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(1,0，1)，若 a
2、(x，y，z)，且 a 为平面 ABC 的法向量，则 y2等于() A2B0C1D3 答案C 解析AB (1,1,0)，AC(1，1，2)， 由 a 为平面 ABC 的法向量知 aAB 0， aAC 0， 即 xy0， xy2z0， 令 x1，则 y1，y21. 4已知平面的一个法向量 n(2，2,1)，点 A(1,3,0)在内，则 P(2,1,4)到的距离为 () A10B3C.8 3 D. 10 3 答案D 解析PA (1,2，4)， 又平面的一个法向量为 n(2，2,1)， 所以 P 到的距离为|PA n| |n| |244| 3 10 3 . 5若点 A(2,3,2)关于 Ozx 平面
3、的对称点为 A，点 B(2,1,4)关于 y 轴的对称点为 B，点 M 为线段 AB的中点，则|MA|等于() A. 30B3 6C5D. 21 答案C 解析点 A(2,3,2)关于 Ozx 平面的对称点为 A， A(2，3,2)， 点 B(2,1,4)关于 y 轴的对称点为 B，B(2,1，4)， 点 M 为线段 AB的中点， M(2，1，1)， |MA| 2221321225. 6在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 是 AA1的中点，则点 A1到平面 MBD 的距离 是() A. 6a 6 B. 3a 6 C. 3a 4 D. 6a 3 答案A 解析建立如图所示的空间直
4、角坐标系， 则 D(0,0,0)，M a，0，a 2 ，B(a，a,0)，A1(a,0，a)， DM a，0，a 2 ，DB (a，a,0)，DA1 (a,0，a) 设平面 MBD 的法向量为 n(x，y，z)，则 nDM 0， nDB 0， 即 axa 2z0， axay0， 令 x1，则 y1，z2，可得 n(1，1，2) 点 A1到平面 MBD 的距离 d|DA1 n| |n| |a2a| 6 6 6 a. 二、多项选择题 7 在正方体ABCDA1B1C1D1中， E， F分别是A1D1和C1D1的中点， 则下列结论正确的是() AA1C1平面 CEF BB1D平面 CEF C.CE 1
5、 2DA DD 1DC D点 D 与点 B1到平面 CEF 的距离相等 答案AC 解析对 A， 因为 E， F 分别是 A1D1和 C1D1的中点， 故 EFA1C1， 故 A1C1平面 CEF 成立 对 B，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体 ABCDA1B1C1D1边长为 2，则B1D (2， 2，2)，FC (0,1，2)故B 1D FC 02420.故B 1D ，FC 不互相垂直又 CF平 面 CEF.故 B1D平面 CEF 不成立 对 C，CE (1，2,2)，1 2DA DD 1DC 1 2(2,0,0)(0,0,2)(0,2,0)(1，2,2)故CE 1 2DA DD 1DC
6、 成立 对 D， 点 D 与点 B1到平面 CEF 的距离相等， 则点 D 与点 B1中点 O 在平面 CEF 上 连接 AC， AE 易得平面 CEF 即平面 CAEF.又点 D 与点 B1中点 O 在 A1ACC1上，故点 O 不在平面 CEF 上故 D 不成立 8.正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H 分别为 CC1，BC，CD，BB1的中点，则下列结 论正确的是() AB1GBC B平面 AEF平面 AA1D1DAD1 CA1H平面 AEF D平面 EAF 与平面 AFC 的夹角为 4 答案BC 解析由题意可知，B1G 在底面上的射影为 BG，而 BC 不垂直 BG，则
7、B1G 不垂直于 BC， 则选项 A 不正确； 连接 AD1和 BC1，由 E，F，G，H 分别为 CC1，BC，CD，BB1的中点，可知 EFBC1AD1， 则平面 AEF平面 AA1D1DAD1，所以选项 B 正确； 由题知，可设正方体的棱长为 2，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立 空间直角坐标系，则各点坐标如下：A(2,0,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，H(2,2,1)，F(1,2,0)，A1H (0,2，1)，AF (1,2,0)，EF(1,0，1)，AA 1 (0,0,2)，设平面 AEF 的法向量为 n(x， y，z)，则 n
8、AF 0， nEF 0， 即 x2y0， xz0， 令 y1，得 x2，z2，得平面 AEF 的法向量 为 n(2,1,2)，所以A1H n0，所以 A1H平面 AEF，则 C 选项正确； 由图可知，AA1平面 AFC，所以AA1 是平面 AFC 的法向量，则 cosAA1 ，n AA1 n |AA1 |n| 2 3. 平面 EAF 与平面 AFC 的夹角的大小不是 4，所以 D 不正确. 三、填空题 9已知空间三点 A(0,0,1)，B(1,1,1)，C(1,2，3)，若直线 AB 上一点 M 满足 CMAB，则 点 M 的坐标为_ 答案 1 2， 1 2，1 解析设 M(x，y，z)， 又
9、AB (1,1,0)，AM (x，y，z1)，CM (x1，y2，z3)， 由题意得 1xy20， xy， z10， x1 2， y1 2， z1， 点 M 的坐标为 1 2， 1 2，1. 10正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，E，F，G，H 分别是棱 AB，AD，B1C1，D1C1的 中点，则平面 EFD1B1和平面 GHDB 的距离是_ 答案 2 3 解析因为平面 EFD1B1平面 GHDB，EF平面 GHDB， 所以平面 EFD1B1和平面 GHDB 的距离，就是 EF 到平面 GHDB 的距离，也就是点 F 到平面 GHDB 的距离 建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz
10、， 则DF (1,0,0)，DH (0,1,2)，DB (2,2,0) 设平面 GHDB 的法向量为 n(x，y，z)， 则 nDH 0， nDB 0， 即 y2z0， 2x2y0， 不妨取 y2，则 n(2，2,1)， 所以点 F 到平面 GHDB 的距离 d|DF n| |n| |120201| 222212 2 3， 即平面 EFD1B1和平面 GHDB 的距离也是2 3. 11在直三棱柱 ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线 BA1与 AC1 所成的角的大小为_ 答案60 解析三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱，且BAC90， 以点 A 为坐标原点，分别以
11、AC，AB，AA1所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 设 ABACAA11， 则 A(0,0,0)，B(0,1,0)，A1(0,0,1)，C1(1,0,1)， BA1 (0，1,1)，AC 1(1,0,1)， cosBA1 ，AC 1 BA1 AC 1 |BA1 |AC 1| 011011 2 2 1 2. 异面直线 BA1与 AC1所成的角等于 60 . 12已知ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1,2,3)，B(2，1，5)，C(3,2，5)则ABC 的 面积为_，ABC 中 AB 边上的高为_ 答案3 213 6 解析由已知得AB (1，3,2)，AC(2,0，8)， |AB
12、 | 194 14，|AC| 40642 17，ABAC12(3)02(8) 14， cosAB ， AC AB AC |AB |AC| 14 142 17 14 2 17 ， sinAB ， AC 114 68 27 34. SABC1 2|AB |AC|sinAB， AC1 2 142 17 27 343 21， 设 AB 边上的高为 CD，则 CD|CD | 2SABC |AB | 3 6. 四、解答题 13.如图，已知在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBC，D 为 AB 的中点，ACBCBB1. 求证：(1)BC1AB1； (2)BC1平面 CA1D. 证明如图，以 C1为原点，分
13、别以 C1A1，C1B1，C1C 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间 直角坐标系设 ACBCBB12， 则 A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2) (1)由于BC1 (0，2，2)， AB1 (2,2，2)， 因此BC1 AB1 0440， 因此BC1 AB1 ， 故 BC1AB1. (2)取 A1C 的中点 E，连接 DE，由于 E(1,0,1)， 所以ED (0,1,1)， 又BC1 (0，2，2)， 所以ED 1 2BC 1 ， 又 ED 和 BC1不共线，所以 EDBC1， 又 DE平面
14、 CA1D，BC1 平面 CA1D， 故 BC1平面 CA1D. 14.如图，在多面体 ABCA1B1C1中，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，ABC120，A1A 4，C1C1，ABBCB1B2. (1)证明：AB1平面 A1B1C1； (2)求直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值 (1)证明如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB，OC 为 x，y 轴的正半轴，建立空 间直角坐标系 Oxyz. 由题意知各点坐标如下： A(0， 3，0)，B(1,0,0)， A1(0， 3，4)，B1(1,0,2)，C1(0，3，1) 因此AB1 (1，3，2)，A1B1 (
15、1，3，2)， A1C1 (0,2 3，3) 由AB1 A1B1 0 得 AB 1A1B1. 由AB1 A1C1 0 得 AB 1A1C1， 又 A1B1A1C1A1，A1B1，A1C1平面 A1B1C1， 所以 AB1平面 A1B1C1. (2)解设直线 AC1与平面 ABB1所成的角为. 由(1)可知AC1 (0,2 3，1)，AB (1，3，0)，BB 1 (0,0,2)设平面 ABB1的法向量为 n(x， y，z) 由 nAB 0， nBB1 0， 得 x 3y0， 2z0， 令 y1，则 x 3，z0， 可得平面 ABB1的一个法向量 n( 3，1,0) 所以 sin |cosAC1
16、 ，n| |AC1 n| |AC1 |n| 39 13 . 因此直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值是 39 13 . 15.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E 为 CD 的中点 (1)求证：B1EAD1； (2)在棱 AA1上是否存在一点 P，使得 DP平面 B1AE？若存在，求 AP 的长；若不存在，说 明理由； (3)若平面 AB1E 与平面 A1B1E 夹角的大小为 30，求 AB 的长 (1)证明以 A 为原点， AB ， AD ，AA1 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐 标系(如图) 设 ABa，则 A(0,0,0)， D
17、(0,1,0)，D1(0,1,1)， E a 2，1，0，B1(a,0,1) 故AD1 (0,1,1)， B1E a 2，1，1， AB1 (a,0,1)，AE a 2，1，0. AD1 B1E a 2011(1)10， B1EAD1. (2)解假设在棱 AA1上存在一点 P(0,0，z0)(0z01)， 使得 DP平面 B1AE，此时DP (0，1，z0) 设平面 B1AE 的法向量为 n(x，y，z) 则 nAB1 ，nAE ， 得 axz0， ax 2 y0. 取 x1，得平面 B1AE 的一个法向量 n 1，a 2，a. 要使 DP平面 B1AE，只要 nDP ， 即 nDP 0，a
18、2az 00， 解得 z01 2. 又 DP平面 B1AE， 存在点 P，使得 DP平面 B1AE，此时 AP1 2. (3)连接 A1D，B1C，由 ABCDA1B1C1D1为长方体及 AA1AD1，得 AD1A1D. B1CA1D， AD1B1C， 又由(1)知 B1EAD1，且 B1CB1EB1，B1C，B1E平面 DCB1A1， AD1平面 DCB1A1， AD1 是平面 DCB1A1即平面 A1B1E 的一个法向量， 且AD1 (0,1,1) 设AD1 与 n 所成的角为， 则 cos nAD1 |n|AD1 | a 2a 21a 2 4 a2 . 平面 AB1E 与平面 A1B1E 夹角的大小为 30， |cos |cos 30， 即 3a 2 215a 2 4 3 2 . 解得 a2，即 AB 的长为 2.
