1、课时跟踪检测课时跟踪检测 2数列的函数特性数列的函数特性 (对应学生用书 P071) 基础检测题顺畅轻松做 一、选择题 1数列9,7,4,1,m,是递增数列,则实数 m 的取值范围是() A(,3)B(,2) C(1,)D(2,) 解析依据递增数列的定义,只要后面的项比它的前一项大即可,所以 m 1,故实数 m 的取值范围是(1,)故选 C. 答案C 2数列8n1的最小项等于() A1B7 C8D不存在 解析an8n1 为单调递增数列,其最小项为 a18117.故选 B. 答案B 3已知数列an的通项为 an n n258,则数列a n的最大值为() A. 1 2 58 B. 7 107 C.
2、 4 61 D不存在 解析an n n258 1 n58 n 1 2 58,而 a 7 7 7258 7 107,a 8 8 8258 4 61, 而 a7a8,数列an的最大项为 a8 4 61.故选 C. 答案C 4已知数列an中,a13,an1 1 an1(nN *),能使 an3 的 n 可以为 () A17B16 C15D14 解析由 an1 1 an1a 21 4a 34 3a 43a163,故选 B. 答案B 5 若数列an, bn的通项公式分别为 an(1)n 2 018a, bn21n 2 019 n , 且 anbn对任意 nN恒成立,则实数 a 的取值范围是() A. 1
3、,1 2B1,1) C2,1)D. 2,3 2 解析anbn,故(1)n 2 018a21n 2 019 n . 当 n 为奇数,a2,故a2,解 a 2; 当 n 为偶数, a21 n, 又 2 1 n单调递增, 故 2 1 n 3 2, 故 a 3 2, 综上2a 3 2. 故选 D. 答案D 6已知函数 f(x) mx 2017,x2019, 3m 20181x2020,x2019, 数列an满足:an f(n),nN*,且an是单调递增函数,则实数 m 的取值范围是() A(1,2B(1,2) C(2,)D(1,) 解析因为 anf(n) mn 2017,n2019. 3m 20181
4、n2020,n2019, 且an是单调递增数列, 所以根据指数函数的单调性可得 m1, 根据一次函数的单调性可得 3m 20181 0, 由分段函数的单调性结合数列的单调性可得, 3m 2018120182020m2019 2017,综合三种情况解得 m2.故选 C. 答案C 7对于数列an,a14,an1f(an),依照下表可得 a2 017等于() x12345 f(x)54312 A2B3 C5D4 解析由题意, 得 a2f(a1)f(4)1, a3f(a2)f(1)5, a4f(a3)f(5)2, a5f(a4)f(2)4,a6f(a5)f(4)1,则数列an的项周期性出现,其周期 为
5、 4,所以 a2017a45041a14.故选 D. 答案D 二、填空题 8已知数列an的通项公式 ann 96 n 98,nN ,则数列an的最大项为 _,最小项为_ 解析将数列an的通项公式变形为 an1 98 96 n 98 ,考察函数 f(x)1 98 96 x 98 ,画出图像(图略),数列an的图像即为曲线上横坐标为正整数的孤立 的点,易知 n10 时,an取得最大值,为10 96 10 98;n9 时,a n取得最小值,为 9 96 9 98.所以,数列a n中最大项为 a1010 96 10 98,最小项为 a 99 96 9 98. 答案 10 96 10 98 9 96 9
6、 98 9已知通项公式为 an(m22m)(n32n)的数列是递减数列,则实数 m 的 取值范围为_ 解析因为数列an为递减数列,所以 an1an. 所以 an1an(m22m)(n1)32(n1)n32n(m22m)(3n23n 1)0. 因为 nN,所以 3n23n13 n1 2 27 450.所以 m 22m0,解得 0m2.故 m(0,2). 答案(0,2) 10设数列an的通项公式为 ann2n,且an满足 a1a2a3an an1,则实数的取值范围是_ 解析方法一因为 ann2n,其图像的对称轴为 n 2,显然,当 21,即2 时,数列a n是单调递增数列 如图所示, 当 1 22
7、 a1a2 时,数列an也是单调递增的,此时32. 故实数的取值范围为 |2|32|3, 即实数的取值范围是(3,) 方法二直接根据定义来处理 数列an是单调递增数列, an1an0,又 ann2n, (n1)2(n1)n2n0, 2n10,(2n1), 又 nN*,3, 即实数的取值范围是(3,) 方法三 2 3 2, 3. 答案(3,) 三、解答题 11设数列满足 a11,an2 1 an1(n1),试写出这个数列的前 4 项 解a11,an2 1 an1(n1), a22 1 a13, a32 1 a22 1 3 7 3, a42 1 a32 3 7 17 7 . 12已知数列an的通项
8、公式为 an(n2) 9 10 n,试问 n 取何值时,an取最 大值?试求出 an的最大值 解因为an 1 an n3 9 10 n1 n2 9 10 n 9n3 10n2 9 10 9 10 1 n2,由 an1 an 1,解得 n 7,则当 n7 时,a8 a71,即 a 7a8. 当 n7 时,an 1 an 1,即 an1an,当 n8 时,an 1 an 1,即 an1an.则当 n 7 或 n8 时,an取最大值, 最大值为 a7a8 98 107. 13已知数列an的通项公式 ann27n8. (1)数列中有多少项为负数? (2)数列an是否有最小项?若有,求出其最小项 解(1
9、)令 an0,即 n27n80,得1n8. 又 nN*,所以 n1,2,3,7,故数列从第 1 项至第 7 项均为负数,共 7 项 (2)ann27n8 是关于 n 的二次函数,其对称轴方程为 n7 23.5, 所以当 1n3 时,an是递减数列;当 n4 时,an是递增数列 又因为 nN*,故 n3 或 n4 时,数列an有最小项,最小项为 a3a4 20. 素养能力题从容有序过 14.数列an满足:a11,an1an 1 an,则 a 2018的值所在区间为() A(0,100)B(100,200) C(200,300)D(300,) 解析因为 a11, 所以 a2n1a2n2 1 a2n
10、a 2 n3, a2n1a2n3a2n133 可得:a2n1a213n,所以 a2018 a2132017 10 000100. 答案A 15已知数列an的通项公式 an an bn1(a,b 为正常数),那么 a n与 an1的 关系是() Aanan1Banan1 Canan1D以上都不对 解析考虑函数 y ax bx1 a bbx1 a b bx1 a b a b bx1 a b a b2 x1 b , 其图像可由 y a b2 x 先向左平移1 b个单位长度, 再向上平移 a b个单位长度得到, 如图 由图像不难得知 y ax bx1在1,)上单调递增,所以 a n an bn1的值随
11、 n 的变大而变大 所以数列an是递增数列,即 anan1,故选 B. 答案B 16已知数列an满足 a12a23a3nann 2 2 n. (1)求数列an的通项公式; (2)数列an有没有最小项?若有,求出这个最小项;若没有,请说明理由 解(1)由题意,当 n1 时,a11 2 2 11 2. 因为 a12a23a3nann 2 2 n, 所以当 n2 时, a12a23a3(n1)an1n1 2 2 (n1), 得 nan2n1 2 1,即 an1 3 2n. 易知 n1 时,a11 2满足上式, 所以数列an的通项公式为 an1 3 2n(nN *) (2)由(1)知数列an为递增数列, 所以数列an有最小项,最小项为 a11 2.