1、限时跟踪检测(一)集合运算 12020 新高考设集合 A2,3,5,7，B1,2,3,5,8，则 AB() A1,8B2,5 C2,3,5D1,2,3,5,7,8 答案：C解析：A2,3,5,7，B1,2,3,5,8，AB2,3,5，故选 C. 2设 Px|x4，Qx|x24，则() APQBQP CP(RQ)DQ(RP) 答案：B解析：(数轴法)Px|x4，Qx|x24x|2x2，将集合 P，Q 表示在数轴上如图所示 可知 QP，故选 B. 3多选设集合 A1,2,3，B4,5，Mx|xab，aA，bB，则 M 中元素可以是() A7B8 C9D10 答案：AB解析：a1,2,3，b4,5，
2、则 M5,6，7,8，故选 AB. 42021 湖南长沙长郡中学月考已知集合 A0，B1，0,1，若 ACB，则符合条件的集合 C 的个 数为() A1B2 C4D8 答案：C解析：由题意得，含有元素 0 且是集合 B 的子集的集合有0，0，1，0,1，0，1,1，即 符合条件的集合 C 共有 4 个，故选 C. 52021 河北衡水中学第九次调研已知集合 Ax|0 x 2，Bx|log1 2x2，则 AB( ) ARBx|0 x0D x|1 4x 2 答案：C解析：因为 Ax|0 x 2，Bx|log1 2x1 4 ，所以 ABx|x0故选 C. 62021 名师原创已知集合 A x|x2
3、x3| x2 x3 ，集合 Bx|log1 2xx2 x3， x2 x30， 即(x2)(x3)0， 得 Ax|2x1，(RA)Bx|x33，) 故选 C. 7多选若 xA，则1 xA，就称 A 是伙伴关系集合，集合 M 1，0，1 2， 1 3，2，3的所有非空子集中具有 伙伴关系的集合是() A1B 1，0，2，1 2 C 3，1 3D 2，1 2，1 答案：ACD解析：集合 M 1，0，1 2， 1 3，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合为：1， 1 2，2， 1 3，3， 1，1 2，2， 1，1 3，3， 1 2，2， 1 3，3， 1，1 2，2， 1 3，3.故选 ACD.
4、 82021 湖南七州市联考已知 N 是自然数集，设集合 A x| 6 x1N，B0,1,2,3,4，则 AB() A0,2B0,1,2 C2,3D0,2,4 答案：B解析： 6 x1N，x1 应为 6 的正约数，x11 或 x12 或 x13 或 x16，解得 x 0 或 x1 或 x2 或 x5，集合 A0,1,2,5，又 B0,1,2,3,4，AB0,1,2故选 B. 9 2021 山东潍坊重点高中联考若集合 Ax|(k2)x22kx10有且仅有 2 个子集， 则实数 k 的值为() A2B2 或1 C2 或1D2 或1 答案：B解析：集合 Ax|(k2)x22kx10有且仅有 2 个子
5、集，集合 A 只有 1 个元素若 k20， 即 k2 时，方程等价于4x10，解得 x1 4，满足条件若 k20，k2 时，则方程满足0，即 4k 2 4(k2)0，k2k20，解得 k2 或 k1.综上，k2 或 k1.故选 B. 10已知集合 Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若 BA，则实数 m 的取值范围是_ 答案： (， 3解析： 当 B时， 有 2m1m1， 此时 m3a5，解得 a6， (2)当 A时， 2a13a5， 2a13， 3a522， 解得 6a9. 综上可知，使 A(AB)成立的实数 a 的取值范围为(，9 12已知集合 Aa2，(a1)2，a23a3，若 1A，则实
6、数 a 的取值集合为_ 答案：0解析：(1)若 a21， 则 a1，(a1)20，a23a31331， 不满足集合中元素的互异性 (2)若(a1)21，则 a2 或 0. 当 a2 时，a20，a23a34631， 不满足集合中元素的互异性； 当 a0 时，a22，a23a33，满足题意 (3)若 a23a31，解得 a1 或2. 由(1)(2)可知均不符合题意 综上，实数 a 的取值集合为0 13某班有学生 55 人，其中音乐爱好者 34 人，体育爱好者 43 人，还有 4 人既不爱好体育也不爱好音乐，则 班级中既爱好体育又爱好音乐的有_人 答案：26解析：设只爱好音乐的人数为 x，两者都爱
7、好的人数为 y，只爱好体育的人数为 z，作 Venn 图如图 所示， 则 xyz55451，xy34，yz43. 故 y(3443)5126. 故答案为 26. 14集合 Ax|x24x0，Bx|x22(a1)xa210， 若 B 是 A 的子集，实数 a 的取值范围是_； 若 A 是 B 的子集，实数 a 的取值范围是_ 答案：a1 或 a1a1解析：根据题意可以得出 A0，4， B 是 A 的子集，包括三种情况，BA，B 是 A 的真子集，B 为空集， B 集合中根的判别式8a8， 当 B 为空集时，得 a0BxR，exx10 CxR，exx10Dx0R，ex0 x010 答案：A解析：命
8、题 p：“x0R，ex0 x010”的否定为“xR，exx10”，故选 A. 32020 天津卷设 aR，则“a1”是“a2a”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案：A解析：本题考查充分条件、必要条件的判断由 a2a，即 a2a0，得 a0 或 a1，所以“a 1”是“a2a”的充分不必要条件，故选 A. 42021 吉林辽源五校期末联考下列命题中的假命题是() Ax0R，使得 log2x00 BxR，x20 Cx0R，使得 cos x01 DxR,2x0 答案：B解析：由于 log210，因此x0R，使得 log2x00 为真命题；当 x0 时，x
9、20，因此xR， x20 为假命题；当 x0 时，cos x1，因此x0R，使得 cos x01 为真命题；根据指数函数的性质，xR,2x0 为真命题故选 B. 52021 河北“五个一名校联盟”考试直线 l1：mx2y10，l2：x(m1)y10，则“m2”是“l1 l2”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案：C解析：由直线 l1与直线 l2平行，得m(m1)1(2)，得 m2 或 m1，经验证，当 m1 时，直线 l1与 l2重合，舍去所以“m2”是“l1平行于 l2”的充要条件，故选 C. 6命题 p：“x0 0， 4 ，sin 2x0cos
10、2x01 且 b1”是“ab1”的充分不必要条件 B已知平面向量 a，b，“|a|1，|b|1”是“|ab|1”的必要不充分条件 C已知 a，bR，“a2b21”是“|a|b|1”的充分不必要条件 D命题 p：“x0R，使 ex0 x01 且 ln x0 x01”的否定为綈 p：“xR，都有 exx1” 答案：AC解析：选项 A，已知 a，bR，“a1 且 b1”能够推出“ab1”，“ab1”不能推出“a1 且 b1”， 故 A 正确；选项 B，已知平面向量 a，b，“|a|1 且|b|1”不能推出“|ab|1”，“|ab|1”也不能推出“|a|1 且 |b|1”， 故 B 不正确； 选项 C
11、 已知 a， bR， 当 a2b21 时， a2b22|a|b|1， 则(|a|b|)21， 则|a|b|1. 又 a0.5，b0.5 满足|a|b|1，但 a2b20.51，所以“a2b21”是“|a|b|1”的充分不必要条件，故 C 正确； 选项 D， 命题 p： “x0R， 使 ex0 x01 且 ln x0 x01”的否定为綈 p： “xR， 都有 exx 1”，故 D 不正确所以正确命题是 AC. 82021 湖南长沙模拟已知命题 p：x00，x0a10，若 p 为假命题，则实数 a 的取值范围是() A(，1)B(，1 C(1，)D1，) 答案：D解析：因为 p 为假命题，所以綈
12、p 为真命题，所以x0，xa10，即 x1a，所以 1a0， 即 a1，故选 D. 92021 重庆育才中学月考“ln(a2)ln(b1)0”是“a b1”成立的( ) A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 答案：A解析：由 ln(a2)ln(b1)0， 得 a20， b10， a2b1， 即 ab1，a b1； 反之，由a b1，不一定有 ln(a2)ln(b1)0， 如 a2，b1. “ln(a2)ln(b1)0”是“a b1”成立的充分不必要条件故选 A. 102021 山东省实验中学模拟设命题 p：2x1 x1 0，命题 q：x2(2a1)xa(a1)
13、0，若 p 是 q 的充分不必 要条件，则实数 a 的取值范围是_ 答案： 0，1 2解析：解2x1 x1 0，得1 2x1， 所以 p：1 2x1； 由 q：x2(2a1)xa(a1)0， 得 axa1，即 q：axa1， 要使 p 是 q 的充分不必要条件， 则 1 2，1a，a1， 故 a11， a1 2， 解得 0a1 2， 所以实数 a 的取值范围是 0，1 2 . 112021 宁夏银川二中月考已知命题 p：xR，x22xm0，命题 q：幂函数 f(x)x 1 m31 在(0， )上是减函数若 p，q 一真一假，则实数 m 的取值范围是_ 答案：(，1(2,3)解析：本题考查根据含
14、有量词的命题真假求参数的取值范围对命题 p，因为xR， x22xm0，所以 44m0，解得 m1.命题 q，因为幂函数 f(x)x 1 m31 在(0，)上是减函数，所以 1 m3 10，解得 2m1， 2m3， 解得 2mx201 成立”是假命题，则实 数 k 的取值范围是_ 答案：(，1解析：本题考查根据特称命题的真假求参数的取值范围命题“x0R，使得 kx201 成 立”是假命题，则命题“xR，使得 kx21 成立”是真命题，所以 k1.故实数 k 的取值范围是(，1 强化训练 12021 山东齐鲁协作体名校安丘一中期末“xm1”是“x22x30”的必要不充分条件，则 实数 m 的取值范
15、围是() A0,2B(0,2) C0,2)D(0,2 答案：A解析：由 x22x30，得 x3 或 x1.若“xm1”是“x22x30”的必要不充分 条件，则 m13， m11 且等号不同时成立，即 0m2.故选 A. 22021 湖南师大附中月考已知命题 p：x0(，0)，2x03x0；命题 q：x 0， 2 ，sin x3x，故命题 p 是假命题，故綈 p 是真命题；命题 q 是真命题，故(綈 p) q 是真命题，故选 C. 32021 云南玉溪模拟不等式 x1 x0 成立的一个充分不必要条件是 () A1x1Bx1 或 0 x1Dx1 答案： D解析： 由 x1 x0 可知 x21 x
16、0， 即 x210， x0 或 x210， x1 或1x0 的解集为x|x1 或1x0 成立的一个充分不必要条件是 x1.故选 D. 42021 名师原创若命题 p：x0R，使得 x20ax010 为真命题，则实数 a 的取值范围是() A2，)B(，2 C2,2D(，22，) 答案：D解析：解法一(间接法)：因为命题 p：x0R，使得 x20ax010 为真命题，所以綈 p：xR， x2ax10 为假命题，而“xR，x2ax10”的充要条件为 a240，即2aln x，则綈 p：x0(0，)，x01ln x0 C在ABC 中，“sin Acos Asin Bcos B”是“AB”的充要条件
17、D若定义在 R 上的函数 yf(x)是奇函数，则函数 yf(f(x)也是奇函数 答案：ABD解析：对于选项 A，由|ab|ab|得(ab)2(ab)2，即 a22abb2a22abb2. 整理可得 ab0，又 a 与 b 为非零向量，ab，选项 A 正确；对于选项 B，全称量词命题的否定是存 在量词命题， 选项 B 正确； 对于选项 C， 由 sin Acos Asin Bcos B 得2sin A 4 2sin B 4 ， 在ABC 中，A 4B 4或 A 4 B 4 ，即 AB 或 AB 2，在ABC 中，“sin Acos Asin Bcos B”是“A B”的必要不充分条件，选项 C
18、错误；对于选项 D，由奇函数的性质可知 f(f(x)f(f(x)f(f(x)，函数 yf(f(x)为奇函数，选项 D 正确，故选 ABD. 6多选以下命题中条件 p 不是结论 q 的充分不必要条件的是() A在ABC 中，p：sin Asin B，q：AB B已知直线 a平面，p：平面平面，q：直线 a平面 Cp：若是第一象限角，q：是锐角 Dp：若函数 f(x)在 x0处可导，且在 x0处取得极值，q：f(x0)0 答案：AC解析：本题考查条件充分性和必要性的判断由正弦定理和三角形边角关系可知 A 中条件 p 是结 论 q 的充要条件，B 中条件 p 是结论 q 的充分不必要条件，C 中条件
19、 p 是结论 q 的必要不充分条件，D 中条件 p 也 是结论 q 的充分不必要条件，故选 AC. 7多选已知 p：函数 f(x)x2mx1 的图象与 x 轴有两个交点，q：xR,4x24(m2)x10 恒成立若 pq 为真，则满足条件的 m 的取值为() A3B1 C1D3 答案：AD解析：若函数 f(x)x2mx1 的图象与 x 轴有两个交点，则m240，解得 m2 或 m0 恒成立， 则16(m2)2160，解得 1m2 或 m2， m3 或 m1 或 2m2， 1m2 或 m2， 1m3， 解得 m1， 即实数 m 的取值范围为(，2)(1，) 故满足条件的 m 的值可以是3，故选 A
20、D. 82021 山东省实验中学第二次诊断已知命题 p：|x1|2；命题 q：xa，且綈 p 是綈 q 的充分不必要条件， 则 a 的取值范围是() A(，3)B(，3 C(，1)D(，1 答案：A解析：命题 p：|x1|2，即 x1. 綈 p 是綈 q 的充分不必要条件， q 是 p 的充分不必要条件， x|xax|x1， a3(xm)是 q： x23x40 的必要不充分条件， 则实数 m 的取值范围为_ 答案：m|m1 或 m7解析：p 对应的集合 Ax|xm3，q 对应的集合 Bx|4x0，设 p：函数 ycx在 R 上单调递减；q：不等式 x|x2c|1 的解集为 R. 如果 p 和
21、q 有且仅有一个正确，则 c 的取值范围是_ 答案： 0，1 2 1，)解析：由函数 ycx在 R 上单调递减，得 0c1. x|x2c| 2x2c，x2c， 2c，x1 的解集为 R. 2c1，得 c1 2. 如果 p 真 q 假，则 00，所以 x0)，其定义域和值域都 为(0，) 4若二次函数 g(x)满足 g(1)1，g(1)5，且图象过原点，则 g(x)的解析式为() Ag(x)2x23xBg(x)3x22x Cg(x)3x22xDg(x)3x22x 答案：B解析：设 g(x)ax2bxc(a0)， g(1)1，g(1)5，且图象过原点， abc1， abc5， c0， 解得 a3，
22、 b2， c0， g(x)3x22x. 5多选2021 山东枣庄、滕州期末如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的 P 点的距离是 2 km，从 P 点沿 海岸正东 12 km 处有一个城镇假设一个人驾驶的小船的平均速度为 3 km/h，步行的速度为 5 km/h，时间 t(单位： h)表示他从小岛到城镇的时间，x(单位：km)表示此人将船停在海岸处距 P 点的距离设 u x24x，v x24 x，则() A函数 vf(u)为减函数 B15tu4v32 C当 x1.5 时，此人从小岛到城镇花费的时间最少 D当 x4 时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过 3 h 答案：AC解析：A.u x24x，v
23、 x24x， x24uv 2 ，xuv 2 ，uv4， 易知 v4 u在(0，)上是减函数，A 正确 Bt x24 3 12x 5 uv 6 12 5 uv 10 ， 整理得 15tu4v36，B 错误； C由 A、B 得 15tu16 u 362u16 u 3644， 当且仅当 u16 u ，即 u4 时取等号，由 x24x4，解得 x3 21.5，C 正确； Dx4 时，t2 5 3 8 5，t3 2 5 3 7 5 10 521 15 500 441 15 0，t3，D 错误故选 AC. 62021 湖北武汉摸底已知函数 f(x)满足 f(x)2f(1x)1 x1，则 f(2)的值为(
24、) A 1 18 B1 6 C 1 18 D1 6 答案：C解析：本题考查复合函数的解析式及求值 由 f(x)2f(1x)1 x1，将 x 换成 1x， 得 f(1x)2f(1(1x) 1 1x1， 即 f(1x)2f(x) 1 1x1. 故 fx2f1x1 x1， f1x2fx 1 1x1， 所以 fx2f1x1 x1， 2f1x4fx 2 1x2， 两式相减化简得 f(x) 2 1x1 1 x 3 ， 故 f(2) 2 121 1 2 3 1 6 3 1 18.故选 C. 72021 浙江衢州二中模拟已知函数 f(x)ax1|2x2ax1|(aR)的最小值为 0，则 a() A1 2 B1
25、 C1D1 2 答案：C解析：本题考查分段函数的图象与性质 设 gxhxax1， gxhx2x2ax1， 则 gxx2ax， hx1x2， 则 f(x)g(x)h(x)|g(x)h(x)| 2gx，gxhx， 2hx，gx1， 若 f(x0)2，则 x0的值为_ 答案：1 或 9解析：若 x01，则 2x02，解得 x01；若 x01，则 log3x02，解得 x09. 102021 江苏南京模拟已知 f(sin x)cos 2x，则 f(x)的解析式为_ 答案：f(x)12x2，x1,1 解析：f(sin x)cos 2x12sin2x， 设 sin xt，t1,1， f(t)12t2，t1
26、,1， f(x)12x2，x1,1 强化训练 12021 名师原创如下折线图统计了 2020 年 2 月 27 日至 2020 年 3 月 11 日共 14 天全国(不含湖北)新冠肺炎 新增确诊人数和新增疑似人数 记 2020 年 2 月 27 日至 2020 年 3 月 11 日的日期为 t(tN*)，t 的取值如下表. 日 期 2.2 7 2.2 8 2.2 9 3.0 1 3.0 2 3.0 3 3.0 4 3.0 5 3.0 6 3.0 7 3.0 8 3.0 9 3.1 0 3.1 1 t1234567891011121314 新增确诊人数记为 f(t)(图中粗线)，新增疑似人数记为
27、 g(t)(图中细线)，则下列结论正确的是() Af(t)与 g(t)的值域相同 Bf(9)g(10) Ct0N*，使 f(t0)g(t0) DtN*，f(t)g(t) 答案：D解析：由题图纵轴可知 f(t)与 g(t)的值域不相同；f(9)30g(10)；函数 f(t)的图象在函数 g(t)的图象 的下方，所以不存在 t0，使 f(t0)g(t0)；由题图可以看出tN*，f(t)g(t) 2多选函数 f(x) sin x2，1x0 且 1x1，解得 x1， 若 f(f(1)4a，则实数 a 等于() A1 2 B4 3 C2D4 答案：C解析：f(1)2，f(f(1)f(2)42a4a，解得
28、 a2. 52021 上海月考已知 f(x)是一次函数，且 f(f(x)x2，则 f(x)() Ax1B2x1 Cx1Dx1 或x1 答案：A解析：设 f(x)kxb，则由 f(f(x)x2，可得 k(kxb)bx2，即 k2xkbbx2，k21， kbb2，解得 k1，b1，则 f(x)x1.故选 A. 6多选设 f(x)是定义在 R 上的函数，若存在两个不相等的实数 x1，x2，使得 f x1x2 2fx1fx2 2 ，则称函数 f(x)具有性质 P，那么下列函数中，具有性质 P 的函数为() f(x) 1 x，x0， 0，x0； f(x)|log2x|；f(x)x3x；f(x)2|x|.
29、 AB CD 答案：ABC解析：“若存在两个不相等的实数 x1，x2，使得 f x1x2 2fx 1fx2 2 ”说明函数 f(x)的图象上存 在三点，其中有两点关于另一点对称 函数 f(x) 1 x，x0， 0，x0 是奇函数，所以 f(x)的图象关于原点对称，任意过原点的直线与曲线相交的两点必 然满足题意 函数 f(x)|log2x|的图象上若存在满足题意的三点，则存在直线与曲线交于三点，由 f(x)|log2x|的图象易知 这三点中有两点的横坐标大于 1，一点的横坐标在区间(0，1)上，设 x11mx2，且x1x2 2 m，则根据 f x1x2 2 fx1fx2 2 ，得 |log2 x
30、1x2 2 |log2x1|log2x2| 2 ， 因为 x11m0，故一定存在 x1，x2满足题意 函数 f(x)x3x 是奇函数，所以 f(x)的图象关于原点对称，任意过原点的直线与曲线相交后异于原点的两点 必然满足题意 函数 f(x)2|x|是偶函数，所以 f(x)的图象关于 y 轴对称，当 x0 时，函数 f(x)单调递增，当 x1 Df(x)1 xx 答案：BCD解析：本题考查新定义令 f(x)2xxx，则 2x0，无解，选项 A 不符合题意；令 g(x)x2 x3x，则 x22x3(x3)(x1)0，解得 x1 或 x3，该函数为“不动点”函数，选项 B 符合题意；当 x1 时，令
31、 2x21x，则 2x2x1(2x1)(x1)0，解得 x1 2或 1，当 x1 时，令|2x|x，无解，该函数 为“不动点”函数，选项 C 符合题意；令 f(x)1 xxx，则 1 x2x0，解得 x 2 2 ，该函数为“不动点”函数， 选项 D 符合题意，故选 BCD. 8 2021江苏南京、 盐城一模设函数yex1 exa的值域为A， 若A0， )， 则实数a的取值范围是_ 答案：(，2解析：ex1 ex2 ex1 ex2，函数 ye x1 exa 的值域为2a，)又A0， )，2a0，即 a2. 92021 山东济宁期末已知函数 f(x) ln xb，x1， ex2，x1， 若 f(e
32、)3f(0)，则函数 f(x)的值域为_ 答案：(2，e2(2，)解析：因为 f(x) ln xb，x1， ex2，x1， f(e)3f(0)， 所以 1b3(1)， 所以 b2，即函数 f(x) ln x2，x1， ex2，x1. 当 x1 时，yln x22； 当 x1 时，yex2(2，e2 故函数 f(x)的值域为(2，e2(2，) 102021 江西南昌模拟已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：对于任意的实数 x，y，都有 f(xy)f(x)y(y2x 1)，且 f(1)3.则函数 f(x)的解析式为_. 答案：f(x)x2x1解析：令 x0，yx， 得 f(x)f(0)x2x.
33、把 x1 代入上式， 得 f(0)f(1)21， 从而有 f(x)x2x1. 112021 吉林模拟若 3f(x1)2f(1x)2x，则 f(x)_. 答案：2x2 5 解析：3f(x1)2f(1x)2x2(x1)2， 用 1x 代换 x1，得 3f(1x)2f(x1)2(1x)2， 32，得 5f(x1)10(x1)2， f(x1)2(x1)2 5， f(x)2x2 5. 限时跟踪检测(四)函数的单调性与最值 基础训练 12021 名师原创已知 1x5，则下列函数中，最小值为 4 的是() Ay4x1 x Byx 4 x1 Cyx22x3Dy5ln x1 x 答案： D解析： 易知函数 y4
34、x1 x在1,5上递增， 所以 4x 1 x5， A 不符合题意； 因为 x1， 所以 yx 4 x1 x1 4 x11413(当且仅当 x1 时取等号)，故其最小值不为 4，B 不符合题意；yx 22x3(x 1)24，其最大值为 4(当 x1 时取得)，最小值是 f(5)12，C 不符合题意；因为函数 y5ln x1 x在(0， )上递增，所以在区间1,5上也是增函数，其最小值为 f(1)5ln 11 14，符合题意故选 D. 2函数 f(x)x1 x在 2，1 3 上的最大值是() A3 2 B8 3 C2D2 答案：A 3函数 f(x)log1 2(x 24)的单调递增区间为( ) A
35、(0，)B(，0) C(2，)D(，2) 答案：D解析：由 x240，得 x2.又 ylog1 2u 为减函数，故 f(x)的单调递增区间为(，2) 4 2021 湖北华大新联盟考试若函数 f(x)2|xa|3 在区间1， )上不单调， 则实数 a 的取值范围是() A1，)B(1，) C(，1)D(，1 答案：B解析：易知函数 f(x)2|xa|3 的增区间在为a，)，减区间为(，a因为函数 f(x)2|x a|3 在区间1，)上不单调，则 a1.故选 B. 52021 山东济南模拟已知 f(x)cos 2x 2 x x211，则 f(x)的最大值与最小值的和为( ) A0B1 C2D4 答
36、案：C解析：f(x)cos 2x 2 x x211sin 2x x x211，xR，易知 ysin 2x，y x x21都是奇函数， 则可设 g(x)f(x)1sin 2x x x21，可得 g(x)为奇函数，即 g(x)的图象关于点(0,0)对称，所以可知 f(x)g(x)1 的图象关于点(0,1)对称，所以 f(x)的最大值和最小值也关于点(0,1)对称，因此它们的和为 2. 6多选对于定义域为 D 的函数 f(x)，若存在区间m，nD，且满足下列条件：f(x)在m，n上是单调的； 当 f(x)的定义域是m，n时，值域也是m，n，则称m，n为该函数的“和谐区间”下列函数存在“和谐区间” 的
37、是() Af(x)x3Bf(x)32 x Cf(x)ex1Df(x)ln x2 答案：ABD解析：对于 A 选项，函数 f(x)x3在定义域 R 上单调递增，且 x3x 的解为 x1,0,1，满足条 件；对于 B 选项，函数 f(x)32 x在(，0)，(0，)上单调递增，且 3 2 xx 的解为 x1,2，满足条件；对于 C 选项，函数 f(x)ex1 在定义域 R 上单调递增，但 ex1x 只有一个解，为 x0，不满足条件；对于 D 选项， 函数 f(x)ln x2 在(0，)上单调递增，显然函数 f(x)ln x2 的图象与函数 yx 的图象在(0，)上有两个 交点，即 ln x2x 有
38、两个解，满足条件故选 ABD. 7函数 y xx(x0)的最大值为_ 答案：1 4 解析：令 t x，则 t0，ytt2 t1 2 21 4，当 t 1 2，即 x 1 4时，y max1 4. 8设函数 f(x) 1，x0， 0，x0， 1，x1， 0，x1， x2，x0，x0) (1)求证：f(x)在(0，)上是增函数； (2)若 f(x)在 1 2，2上的值域是 1 2，2，求 a 的值 (1)证明：任取 x1，x2(0，)，且 x2x1， 则 x2x10，x1x20. f(x2)f(x1) 1 a 1 x2 1 a 1 x1 1 x1 1 x2 x2x1 x1x2 0，f(x2)f(x
39、1)， f(x)在(0，)上是增函数 (2)解：f(x)在 1 2，2上的值域是 1 2，2， 又 f(x)在 1 2，2上单调递增， f 1 2 1 2，f(2)2.易得 a 2 5. 强化训练 1已知 f(x) 3a1x4a，x1， logax，x1 是 R 上的减函数，那么 a 的取值范围是() A(0,1)B 0，1 3 C 1 7， 1 3D 1 7，1 答案：C解析：f(x)是 R 上的减函数， 3a10， 0a1， 3a114aloga1， 解得1 7a0 时单调递增， 且 f(1)0， 若 f(x1)0， 则 x 的取值范围为() Ax|0 x2Bx|x2 Cx|x3Dx|x1
40、 答案：A解析：奇函数 f(x)在(0，)上单调递增，且 f(1)0， 函数 f(x)在(，0)上单调递增，且 f(1)0， 则1x1 时，f(x)0； x1 或 0 x1 时，f(x)0，即1x11， 解得 0 x2.故选 A. 3若函数 f(x)x2axb 在0,1上的最大值是 M，最小值是 m，则 Mm() A与 a 有关，且与 b 有关B与 a 有关，但与 b 无关 C与 a 无关，且与 b 无关D与 a 无关，但与 b 有关 答案：B解析：解法一：设 x1与 x2分别是函数 f(x)在0,1上的最小值点与最大值点，则 mx2 1ax1b，M x22ax2b，Mmx22x21a(x2x
41、1)，显然此值与 a 有关，与 b 无关故选 B. 解法二：由题意可知，函数 f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定随着 b 的变动，相当于 图象上下移动，若 b 增大 k 个单位，则最大值与最小值分别变为 Mk，mk，而(Mk)(mk)Mm，故与 b 无关随着 a 的变动，相当于图象左右移动，则 Mm 的值在变化，故与 a 有关，故选 B. 42021 福建莆田质量检测设函数 f(x) |x33x|，xa， a2x6，x0，则 x1，令 y0，则1x1， 当 x1 时，y2. 当 x1 时，y2，作出 y|x33x|以及 ya2x6 的图象如图 ya2x6 的图象过点(0，6
42、)，要使 f(x)在定义域 R 上是增函数，则有 a 3， a33aa36， 3a2，故选 D. 52021 陕西西安高新第一中学模拟已知函数 f(x)5log3x，x(3,27，则 f(x)的值域是() A(2,4B2,4) C4,4)D(6,9 答案：B解析：因为 3x27，所以 1log3x3，所以 2f(x)0； (2)对一切 x0，有 f(x)1 x0； (3)对任意的 x(0，)，有 f(x)f fx1 x 1. 则 f(1)的值不可能为() A1 5 2 B1 5 2 C1 5 2 D1 5 2 答案：ACD解析：设 mf(1)， 由题意，令 x1，得 mf(m1)1， 所以 f
43、(m1)1 m， 令 xm1， 得 f(m1)f fm1 1 m1 1， 由得 f 1 m 1 m1 m， 从而 f 1 m 1 m1 f(1) 由fx 1fx2 x1x2 0 知，函数 f(x)在(0，)上单调递增，所以1 m 1 m11，解得 m 1 5 2 . 若 m1 5 2 ，则由单调性知 1mf(1)f(m1)1 m0 的解集 解：由题意易知条件和最好只选择一个，否则可能产生矛盾；条件和最好也只选择一个，否则 f(x)就 变成恒等于 0 的常数函数，失去研究价值 如果选择条件.由 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 可知 f(0)0， 且 f(x)在关于原点对称的区间上的单调性一致
44、， 且 f(1)f(1)0，因为 f(x)在(0，)上单调递减，所以，当 0 x1 或 x0，当 x1 或1x0 时，f(x)0.f(x1)00 x11 或 x11，即 1x2 或 x0 的解集为(，0)(1,2) 如果选择条件.因为 f(x)在(0，)上单调递减，且 f(x)是偶函数，所以 f(x)在(，0)上单调递增，注 意到 f(1)0，所以 f(x1)0f(x1)f(1)f(|x1|)f(|1|)|x1|10 x0 的解集为(0,1)(1,2) 选择其他条件组合的解法类似 如果同时选择条件.易知 f(x)0 恒成立， 不等式 f(x1)0 的解集为空集 102021 河北石家庄模拟已知
45、 f(x)是定义在1,1上的奇函数，且 f(1)1.若 a，b1,1，ab0 时，有 fafb ab 0 成立 (1)判断 f(x)在1,1上的单调性，并证明； (2)解不等式 f x1 2 f 1 x1 ； (3)若 f(x)m22am1 对所有的 a1,1恒成立，求实数 m 的取值范围 解：(1)任取 x1，x21,1，且 x10，x1x20， 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)， 所以 f(x)在1,1上单调递增 (2)因为 f(x)在1,1上单调递增， 所以 x1 2 1 x1， 1x1 21， 1 1 x11， 解得3 2x1. (3)因为 f(1)1，f(x)在
46、1,1上单调递增， 所以在区间1,1上，f(x)1. 问题转化为 m22am11， 即 m22am0 对 a1,1恒成立 下面来求 m 的取值范围 设 g(a)2mam20. 若 m0，则 g(a)00， 对 a1,1恒成立 若 m0，则 g(a)为 a 的一次函数， 若 g(a)0，对 a1,1恒成立， 必须 g(1)0，且 g(1)0， 所以 m2 或 m2. 所以 m 的取值范围是m|m0 或 m2 或 m2 限时跟踪检测(五)函数的奇偶性与周期性 基础训练 12021 福建南平第一次综合质量检测下列函数中，既是奇函数又在(0，)上单调递减的是() Ay2x2 x Byxtan x Cy
47、xsin xDy1 x2x 答案：D解析：A.y2x2 x2x1 2x，是奇函数，但在(0，)上是增函数；B.yxtan x 是偶函数；C.yx sin x 是奇函数，y1cos x0，yxsin x 是增函数；D.y1 x2x 是奇函数，y 1 x220 时，f(x) ln2x1ln12x，0 x1 2. 当 0 x1 2时，f(x)ln 2x1 2x1ln 1 2 2x1 ，易 知f(x)单调递减 因为f(x)为奇函数， 且在 1 2， 1 2 上连续， 所以f(x)在 1 2， 1 2 上单调递增， 在 ，1 2 和 1 2， 上单调递减，故选 D. 32021 河南南阳模拟已知函数 f
48、(x)是定义在 R 上的偶函数，并且满足 f(x2) 1 fx，当 2x3 时，f(x) x，则 f(105.5)() A2.5B2.5 C5.5D5.5 答案：B解析：f(x2) 1 fxf(x4)f(x)，故 4 为函数的一个周期f(105.5)f(4261.5)f(1.5)又 f(x)为偶函数，f(1.5)f(1.5)f(1.54)f(2.5)2.5.故选 B. 4多选设 f(x)lg x1 x1，g(x)e x1 ex，则对 f(x)，g(x)判断正确的是( ) Af(x)是奇函数Bf(x)是偶函数 Cg(x)是偶函数Dg(x)是奇函数 答案：AC解析：首先，f(x)的定义域为(，1)
49、(1，)，g(x)的定义域是 R，两个函数的定义域都关 于原点对称对于 f(x)，故 f(x)lg x1 x1lg x1 x1，f(x)f(x)lg x1 x1 x1 x1 lg 10，由此可得 f(x) f(x)，故 f(x)是奇函数；对于 g(x)，可得 g(x)e x1 e x 1 exe x，g(x)g(x)，g(x)是偶函数故选 AC. 52021 江西赣州寻乌中学期末已知 f(x)x1 x1，f(a)2，则 f(a)( ) A4B2 C1D3 答案：A解析：由题可得 f(x)x1 x1，则 f(x)f(x)2，所以 f(a)f(a)2，则 f(a)4. 故选 A. 62021 山东
50、曲阜期末已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x0,1时，f(x)x3，且xR，f(x)f(2 x)，则 f(2 017.5)() A1 8 B1 8 C0D1 答案：B解析：f(x)是定义域为 R 的奇函数， f(x)f(2x)f(x2)， 即 f(x)f(x2)，用 x2 代换 x， 可得 f(x2)f(x4) f(x)f(x4)， 故函数 f(x)是周期函数，且周期 T4. f(2 017.5)f(50441.5)f(1.5) 又 f(x)f(2x)， f(1.5)f(0.5) 当 x0,1时，f(x)x3， f(2 017.5)f(0.5)0.531 8， 故选 B. 7多选
