1、导数的概念导数的概念 海口一中海口一中马丽雯马丽雯 海南省 2006 年高中数学青年教师说课评选 第 2 页 共 14 页 海南省 2006 年高中数学青年教师说课评选 第 3 页 共 14 页 的说课稿的说课稿 一、教材分析一、教材分析 导数的概念是高中新教材人教 A 版选修 2-2 第一章 1.1.2 的内容, 是在学生学习了物理的 平均速度和瞬时速度的背景下，以及前节课所学的平均变化率基础上，阐述了平均变化率和 瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数 的应用奠定基础。 新教材在这个问题的处理上有很大变化，它与旧教材的区别是从平均变化率入手，用 形
2、象直观的“逼近”方法定义导数。 问题 1 气球平均膨胀率-瞬时膨胀率 问题 2 高台跳水的平均速度-瞬时速度 - 根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平 ，制定如下教学目标和重、难点，制定如下教学目标和重、难点 二、二、教学目标教学目标 函数的平均变化率 f x 函数的瞬时变化率 0 lim x f x （即导数） 海南省 2006 年高中数学青年教师说课评选 第 4 页 共 14 页 1、 知识与技能： 通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的 实际背景，知道瞬时变化率就是导数。 2、 过程与方法： 1
3、通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力 2通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方 法 3、 情感、态度与价值观： 通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生 学习数学的兴趣. 三、三、重点、难点重点、难点 重点：重点：导数概念的形成，导数内涵的理解 难点：难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵 通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点 四、四、 教学设想（具体如下表）教学设想（具体如下表） 海南省 2006 年高中数学青年教师说课评选 第 5 页 共 14 页 教 学 环 节 教学内容师生互动设计思路
4、创创 设设 情情 景景 、 引引 入入 新新 课课 幻灯片幻灯片 回顾上节课留下的思考题： 在高台跳水运动中，运动员相对水面 的高度 h（单位：m）与起跳后的时间 t （单位：s）存在函数关系 h（t）=4.9t 2 6.5t10.计算运动员在 65 0 49 t 这段 时间里的平均速度，并思考下面的问题： （1）运动员在这段时间里是静止的 吗？ （2）你认为用平均速度描述运动员 的运动状态有什么问题吗？ 首先回顾上节课留 下的思考题： 在学生相互讨论， 交流结果的基础上，提 出 ： 大家得到运动员在 这段时间内的平均速度 为“0” ，但我们知道运 动员在这段时间内并没 有“静止” 。为什么会
5、产 生这样的情况 呢？ 引起学生的好奇，意识 到平均速度只能粗略地描 述物体在某段时间内的运 动状态，为了能更精确地刻 画物体运动，我们有必要研 究某个时刻的速度即瞬时 速度。 使学生带着问题走进 课堂，激发学生求知欲 海南省 2006 年高中数学青年教师说课评选 第 6 页 共 14 页 根据学生的认知根据学生的认知水平水平, ,概念的形成分概念的形成分 了两个层次：了两个层次： 结合跳水问题结合跳水问题，明确瞬时速明确瞬时速 度的定义度的定义 问题一：请大家思考如何求运动员的 瞬时速度，如 t=2 时刻的瞬时速度？ 提出问题一，组织 学生讨论，引导他们自 然地想到选取一个具体 时刻如 t=
6、2， 研究它附近 的平均速度变化情况来 寻找到问题的思路，使 抽象问题具体化 理解导数的内涵是本 节课的教学重难点，通过层 层设疑，把学生推向问题的 中心，让学生动手操作，直 观感受来突出重点、突破难 点 海南省 2006 年高中数学青年教师说课评选 第 7 页 共 14 页 问题二：请大家继续思考，当t 取 不同值时,尝试计算 (2)(2)hth t v 的值？ tt -0.10.1 -0.010.01 -0.00 1 0.00 1 -0.00 01 0.00 01 -0.00 001 0.00 001 . . . 学生对概念的认知 需要借助大量的直观数 据，所以我让学生利用 计算器，分组完
7、成问题 二， 帮助学生体会从平均 速度出发， “以已知探求未 知”的数学思想方法, 培养 学生的动手操作能力 海南省 2006 年高中数学青年教师说课评选 第 8 页 共 14 页 问题三：当t 趋于 0 时，平均速度 有怎样的变化趋势？ t v t v -0.1- 12.6 1 0.1- 13.59 -0.01- 13.0 51 0.0 1 - 13.14 9 -0.00 1 - 13.0 951 0.0 01 - 13.10 49 -0.00 01 - 1300 9951 0.0 001 - 13.10 049 -0.00 001 - 13.0 9995 1 0.0 0001 - 13.1
8、0 0049 . . . 一方面分组讨论， 上台板演，展示计算结 果，同时口答：在 t=2 时刻,t 趋于 0 时，平 均速度趋于一个确定的 值-13.1，即瞬时速度， 第一次体会逼近思想； 另一方面借助动画多渠 道地引导学生观察、分 析、比较、归纳，第二 次体会逼近思想，为了 表述方便,数学中用简 洁 的 符 号 来 表 示 , 即 0 (2)(2) lim13.1 t hth t 数形结合，扫清了学生 的思维障碍，更好地突破了 教学的重难点，体验数学的 简约美 海南省 2006 年高中数学青年教师说课评选 第 9 页 共 14 页 问题四： 运动员在某个时刻 0 t的瞬时 速度如何表示呢？
9、 引导学生继续思 考:运动员在某个时刻 0 t的瞬时速度如何表 示? 学生意识到将 0 t 代 替 2, 可 类 比 得 到 00 0 ()( ) lim t httht t 与旧教材相比,这里不 提及极限概念,而是通过形 象生动的逼近思想来定义 0 t时刻的瞬时速度,更符合 学生的认知规律,提高了他 们的思维能力,体现了特殊 到一般的思维方法 借助其它实例借助其它实例，抽象导数的抽象导数的 概念概念 问题五： 气球在体积v0时的瞬时膨胀 率如何表示呢？ 类比之前学习的瞬 时速度问题,引导学生 得到瞬时膨胀率的表示 00 0 ()( ) lim v r vvr v v 积极的师生互动能帮 助学
10、生看到知识点之间的 联系，有助于知识的重组和 迁移,寻找不同实际背景下 的数学共性，即对于不同实 际问题，瞬时变化率富于不 同的实际意义 海南省 2006 年高中数学青年教师说课评选 第 10 页 共 14 页 问题六：如果将这两个变化率问题中 的函数用( )f x来表示， 那么函数( )f x在 0 xx处的瞬时变化率如何呢？ 在前面两个问题的 铺垫下,进一步提出，我 们 这 里 研 究 的 函 数 ( )f x在 0 xx处的瞬 时变化率 00 00 ()( ) limlim xx f xxf xf xx 即( )yf x在 0 xx 处的导数,记作 00 0 0 ()( ) ( ) li
11、m x f xxf x f x x (也可记为 0 xx y) 引导学生舍弃具体问 题的实际意义,抽象得到导 数定义,由浅入深、由易到 难、由特殊到一般，帮助学 生完成了思维的飞跃；同时 提及导数产生的时代背景， 让学生感受数学文化的熏 陶，感受数学来源于生活， 又服务于生活。 海南省 2006 年高中数学青年教师说课评选 第 11 页 共 14 页 循循 序序 渐渐 进进 、 延延 伸伸 拓拓 展展 例 1：将原油精炼为汽油、柴油、塑 料等不同产品，需要对原油进行冷却和加 热。如果在第 x h 时候，原油温度（单位： c ）为 2 ( )715(08)f xxxx （1）计算第 2h 和第
12、6h 时，原油温 度的瞬时变化率，并说明它的意义。 （2）计算第 3h 和第 5h 时，原油温 度的瞬时变化率，并说明它的意义。 步骤： 启发学生根据导数定义，再分别求 出(2) f 和(6) f 既然我们得到了第 2h 和第 6h 的原 油温度的瞬时变化率分别为-3 与 5，大家 能说明它的含义吗？ 大家是否能用同样方法来解决问 题二？ 师生共同归纳得到，导数即瞬时变 化率，可反映物体变化的快慢 步步设问，引导学 生深入探究导数内涵 发展学生的应用意识， 是高中数学课程标准所倡 导的重要理念之一。在教学 中以具体问题为载体,加深 学生对导数内涵的理解，体 验数学在实际生活中的应 用 海南省
13、2006 年高中数学青年教师说课评选 第 12 页 共 14 页 变式练习：已知一个物体运动的位移 （m） 与时间 t （s） 满足关系 S （t） -2t 2+5t （1）求物体第 5 秒和第 6 秒的瞬时速度 （2）求物体在 t 时刻的瞬时速度 （3）求物体 t 时刻运动的加速度， 并判断物体作什么运动？ 学生独立完成，上 台板演，第三次体会逼 近思想 目的是让学生学会用 数学的眼光去看待物理模 型，建立各学科之间的联 系，更深刻地把握事物变化 的规律 归归 纳纳 总总 结结 、 内内 化化 知知 识识 1、瞬时速度的概念、瞬时速度的概念 2、导数的概念、导数的概念 3、思想方法、思想方法
14、： “以已知探求未知” 、 逼近、类比、从特殊到一般 引导学生进行讨 论，相互补充后进行回 答，老师评析，并用幻 灯片给出 让学生自己小结，不仅 仅总结知识更重要地是总 结数学思想方法。这是一个 重组知识的过程，是一个多 维整合的过程，是一个高层 次的自我认识过程，这样可 帮助学生自行构建知识体 系，理清知识脉络，养成良 好的学习习惯 作作 业业 安安 排排 （必做）（必做）第第 10 页习题页习题 A 组第组第 2、3、4 题题 （选做（选做） ：思考：思考第第 11 页习题页习题 B 组第组第 1 题题 作业是学生信息的反馈，能在作业中发现 和弥补教学中的不足，同时注重个体差异，因 材施教
15、 附后板书设计清楚整洁,便于突出知识目标 海南省 2006 年高中数学青年教师说课评选 第 13 页 共 14 页 、 板板 书书 设设 计计 五、五、 学法与教法学法与教法 学法与教学用具学法与教学用具 学法：学法： （1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。 （如问题 2 的处理） （2）自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动。 （如问题 3 的处理） （3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。 （如例题的处理） 教学用具：教学用具：电脑、多媒体、计算器电脑、多媒体、计算器 教法：教法：整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出突出动师
16、生互动、 共同探索。导教师指导、循序渐进 （1）新课引入提出问题, 激发学生的求知欲 （2）理解导数的内涵数形结合，动手计算,组织学生自主探索,获得导数 的定义 （3）例题处理始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识 （4）变式练习深化对导数内涵的理解，巩固新知 海南省 2006 年高中数学青年教师说课评选 第 14 页 共 14 页 六、评价分析六、评价分析 这堂课由平均速度到瞬时速度再到导数，展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、 计算观察、发现规律、给出定义，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。 从旧教材上看，导数概念学习的起点是极限，即从数列的极限，到函数的极限，
17、再到导 数。这种概念建立方式具有严密的逻辑性和系统性，但学生很难理解极限的形式化定义，因 此也影响了对导数本质的理解。 新教材不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是用直观形象的逼近方法定义导数。 通过列表计算、直观地把握函数变化趋势（蕴涵着极限的描述性定义） ，学生容易理解； 这样定义导数的优点： 1避免学生认知水平和知识学习间的矛盾； 2将更多精力放在导数本质的理解上； 3学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解，有利于在大学的初级阶段学习严 格的极限定义. （附）板书设计（附）板书设计 1.1.2 导数的概念导数的概念 一、回顾上节课的思考题 二、瞬时速度的概念 三、导数的概念 四、归纳小结 五、作业安排 电脑投影屏幕 列表 例 1变式练习
