1、说课题目：等比数列的前说课题目：等比数列的前 n n 项和（第一课时）项和（第一课时） 长沙市六中钟辅君 （选自人教版高中数学第一册（上）第三章第五节） 一、教材分析 1.从在教材中的地位与作用来看 等比数列的前 n 项和 是数列这一章中的一个重要内容， 它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用， 如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方 程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养 2.从学生认知角度看 从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前 n 项和从公式的形成、特点等方面进行类比， 这是积极因素，应因势利导不利因素是：本节
2、公式的推导与等差数列前 n 项和公式的推导有着本质的不 同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于 q = 1 这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使 用的过程中容易出错 3.学情分析 教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形 成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨 4. 重点、难点 教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用 教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用 公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数 学思想，所以既是重点也是难点 二、目标分析
3、知识与技能目标： 理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础 上能初步应用公式解决与之有关的问题 过程与方法目标： 通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转 化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力 情感与态度价值观： 通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之 间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点 三、过程分析 学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发 展过程，结合本节课的特点，我设计了如下的教学过程： 1.创设情境，提出问题 在
4、古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你 的任何要求西萨说：请给我棋盘的 64 个方格上，第一格放 1 粒小麦，第二格放 2 粒，第三格放 4 粒， 往后每一格都是前一格的两倍，直至第 64 格国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊为 什么呢？ 设计意图：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极 性故事内容紧扣本节课的主题与重点 此 时 我 问 ： 同 学 们 ， 你 们 知 道 西 萨 要 的 是 多 少 粒 小 麦 吗 ？ 引 导 学 生 写 出 麦 粒 总 数带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器
5、依次算出各项 的值，然后再求和这时我对他们的这种思路给予肯定 设计意图：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的 “无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相 加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在整个教学关键处学生 难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障 碍同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为 后面的教学埋下伏笔. 2.师生互动，探究问题 在肯定他们的思路后， 我接着问： 1， 2， 2 2， ， 263是什么数列？有何特征？
6、应 归结为什么数学问题呢？ 探讨 1：，记为（1）式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会 发现，后一项都是前一项的 2 倍） 探讨 2：如果我们把每一项都乘以 2，就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以 2 则 有，记为（2）式比较（1）(2）两式，你有什么发现？ 设计意图：留出时间让学生充分地比较，等比数列前 n 项和的公式推导关键是变“加”为 “减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应 着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机 经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了， 得到：老
7、师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边 2363 1+2+2 +2 +2 2363 1+2+2 +2 +2 2363 64 设s=1+2+2 +2 +2 s 236364 64 2=2+2 +2 +2+2 64 64 21s 要同乘以 2 呢？ 设计意图：经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了！让 学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信 心 3.类比联想，解决问题 这时我再顺势引导学生将结论一般化， 这里，让学生自主完成，并喊一名学生上黑板，然后对个别学生进行指导 设计意图：在教师的指导下，让学
8、生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生 自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感 对不对？这里的 q 能不能等于 1？等比数列中的公比能不能为 1？q=1 时是什么数列？此时 sn=？（这 里引导学生对 q 进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础） 再次追问：结合等比数列的通项公式 an=a1q n-1,如何把 s n用 a1、an、q 表示出来？（引导学生得出公式 的另一形式） 设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面 使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的 能力这一环节非常重要，尽管时间有
9、时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙 用 4.讨论交流，延伸拓展 在此基础上，我提出：探究等比数列前 n 项和公式，还有其它方法吗？我们知道, 公比为 ，q q n 如何求前n项和s ？ 2n-1n-2 n11111111 s =a +aq+aq +aq=a +q(a +aq+aq) n1设等比数列 a,首项为a , n 11 n n11n a - a q (1- q)s = a - a q s = 1- q 在学生推导完成后,我再问:由得 那么我们能否利用这个关系而求出 sn呢？根据等比数列的定义又有 234n 123n-1 aaaa = q aaaa ，能否 联想到等比定理从而求
10、出 sn呢？ 设计意图：以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的 氛围. 以上两种方法都可以化归到 11 nn qsas, 这其实就是关于 n s的一个递推式，递推数 列有非常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于课本， 对学生的思维发展有促进作用. 5.变式训练,深化认识 首先，学生独立思考，自主解题，再请学生上台来幻灯演示他们的解答，其它同学进行评价，然后师 生共同进行总结 设计意图：采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、 变式运用公式、 研究公式特点这三个层次的问题解决， 促进学生新的数学认知结构的形成
11、 通 过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识 6.例题讲解，形成技能 设计意图：解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨，该题有意培养学生对含有参 数的问题进行分类讨论的数学思想 1 1 1 1 例1: 求等比数列 , , , 前8项和； 2 4 8 16 63 1 1 1 1 1、 等比数列 , , , 前多少项的和是? 2 4 8 16 64 ,510 1 1 1 1 2、 等比数列 , , ,求第 项到第项的和. 2 4 8 16 1 1 1 1 3、 等比数列 , , , 求前2n项中所有偶数项的和. 2 4 8 16 23n-1 1+a+a +a +a.
12、例2：求和 7.总结归纳，加深理解 以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学 思想方法两方面总结 设计意图：以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力 8.故事结束，首尾呼应 最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出国王奖赏的小麦约为 1.8410 19粒，大约 7000 亿吨，用 这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽 10 米、厚 8 米的大道，大约是全世界一年粮食产量的 459 倍，显 然国王兑现不了他的承诺 设计意图：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服疲倦、继续积极思维 9.课后作业，分层练习 必做： P129 练习 1、2、3、4 选
13、作： （2）“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的 答案是多少？ 设计意图：出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空 间 四、教法分析 对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的推导方法，理解公式的成立条件， 充分体现公式之间的联系在教学中，我采用“问题探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、 探索规律、总结规律、应用规律四个阶段 利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维活动得以充分展开，从而优化了教学过程， . 23n x+2x +3x +nx 思考题(1):求和 大大提高了课堂教学效率 五、评价分析 本节课通过三种推导方法的研究， 使学生从不同的思维角度掌握了等比数列前 n 项和公式 错位相减： 变加为减，等价转化；递推思想：纵横联系，揭示本质；等比定理：回归定义，自然朴实学生从中深刻 地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性同时通过 精讲一题，发散一串的变式教学，使学生既巩固了知识，又形成了技能在此基础上，通过民主和谐的课 堂氛围，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质
