1、习题课习题课同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系 学习目标1.掌握利用同角三角函数的基本关系求值的几种类型.2.灵活运用同角三角函数 的基本关系的几种变形证明恒等式 一、弦切互化求值 例 1已知 tan 4，求下列各式的值 (1)sin2；(2)cos2sin2；(3)3sin cos ； (4)4sin 2cos 5cos 3sin . 解(1)sin2 sin2 sin2cos2 tan2 tan21 42 421 16 17. (2)cos2sin2cos 2sin2 cos2sin2 1tan2 1tan2 142 142 15 17. (3)3sin cos 3sin cos
2、 sin2cos2 3tan tan21 34 421 12 17. (4)4sin 2cos 5cos 3sin 4tan 2 53tan 442 534 18 7 . 反思感悟已知 tan 的值，求关于 sin ，cos 齐次式的值的方法 (1)对于形如asin bcos csin dcos 或 asin2bsin cos ccos2 dsin2esin cos fcos2 的分式，分子、分母同时除以 cos ， cos2，将正弦、余弦转化为正切，从而求值 (2)对于形如 asin2bsin cos ccos2的式子，将其看成分母为 1 的分式，再将分母 1 变形 为 sin2cos2，转
3、化为形如asin 2bsin cos ccos2 sin2cos2 的式子求值 跟踪训练 1已知sin 3cos sin cos 1，求下列各式的值 (1)tan ；(2)sin2sin cos 1. 解(1)因为sin 3cos sin cos 1，所以tan 3 tan 11， 解得 tan 1. (2)sin2sin cos 1 sin 2sin cos 1 1 sin 2sin cos sin2cos2 sin2cos2 2sin 2sin cos cos2 sin2cos2 2tan 2tan 1 tan21 2. 二、sin cos 型求值问题 例 2已知 sin cos 1 2(
4、0)，求 sin cos 和 sin cos 的值 解因为 sin cos 1 2(00，cos 0，所以 sin cos sin cos 24sin cos 1 2 24 3 8 7 2 . 反思感悟已知 sin cos ，sin cos 求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方 法求解，涉及的三角恒等式有： (1)(sin cos )212sin cos ； (2)(sin cos )212sin cos ； (3)(sin cos )2(sin cos )22； (4)(sin cos )2(sin cos )24sin cos . 上述三角恒等式告诉我们，若已知 sin cos
5、，sin cos ，sin cos 中的任何一个，则另 两个式子的值均可求出 跟踪训练 2若 sin cos 2，则 tan 1 tan _. 答案2 解析由已知得(sin cos )22， sin cos 1 2， tan 1 tan sin cos cos sin 1 sin cos 2. 三、条件恒等式的证明 例 3已知 tan22tan21，求证：sin22sin21. 证明因为 tan22tan21，所以 tan212tan22. 所以sin 2 cos212 sin2 cos21， 整理得 1 cos2 2 cos2， 即 cos22cos2，所以 1sin22(1sin2)， 即
6、 sin22sin21. 反思感悟含有条件的三角恒等式证明的常用方法 (1)直推法：从条件直推到结论 (2)代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明 (3)换元法： 把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题， 利用代数即可完成证明 跟踪训练 3已知cos 4A cos2B sin4A sin2B1，求证： cos4B cos2A sin4B sin2A1. 证明设 sin2Am(0m1)，sin2Bn(0n1)， 则 cos2A1m，cos2B1n. 由cos 4A cos2B sin4A sin2B1，得 1m2 1n m 2 n 1， 即(mn)20，mn， cos 4B
7、 cos2A sin4B sin2A 1n2 1m n 2 m1nn1. 1知识清单： (1)弦切互化求值 (2)sin cos 型求值问题 (3)条件恒等式的证明 2方法归纳：整体代换法 3常见误区：齐次式的化简求值容易忽略添加分母“1” 1若 tan 2，则2sin cos sin 2cos 的值为( ) A0B.3 4 C1D.5 4 答案B 解析 2sin cos sin 2cos 2tan 1 tan 2 3 4. 2已知 sin cos 5 4，则 sin cos 等于( ) A. 7 4 B 9 16 C 9 32 D. 9 32 答案C 解析由题意得(sin cos )225
8、16， 即 sin2cos22sin cos 25 16， 又 sin2cos21， 12sin cos 25 16， sin cos 9 32. 3已知 cos x sin x1 1 2，则 1sin x cos x 等于() A.1 2 B1 2 C2D2 答案B 解析因为 cos x sin x1 1 2， 所以1sin x cos x 1sin x1sin x cos x1sin x 1sin2x cos x1sin x cos x 1sin x 1 2. 4若 2sin cos 0，则 sin 1sin sin 1sin _. 答案1 2 解析2sin cos 0， tan 1 2，
9、 原式sin 1sin sin 1sin 1sin 1sin sin 2sin 1sin2 2sin 2 cos2 2tan21 2. 课时对点练课时对点练 1已知 sin 3 5，且| 2，则 tan 等于( ) A4 3 B.4 3 C3 4 D.3 4 答案C 解析sin 3 5， cos21sin21 3 5 216 25， 又| 2，即 20， cos 4 5， tan sin cos 3 5 4 5 3 4. 2已知 tan 1 2，则 cos sin cos sin 等于( ) A2B2C3D3 答案C 解析 cos sin cos sin 1tan 1tan 11 2 11 2
10、 3. 3已知sin cos sin cos 2，则 sin cos 的值是( ) A.3 4 B 3 10 C. 3 10 D 3 10 答案C 解析由 sin cos sin cos 2，得 tan 1 tan 12， 解得 tan 3. 则 sin cos sin cos sin2cos2 tan tan21 3 10. 4已知 sin sin21，则 cos2cos4等于() A1B2C. 2D. 3 答案A 解析因为 sin sin21， 所以 sin 1sin2cos2， 所以 cos2cos4 sin sin21. 5若角的终边落在第三象限，则 cos 1sin2 2sin 1c
11、os2的值为( ) A3B3C1D1 答案B 解析由角的终边落在第三象限， 得 sin 0，cos 0，cos 或或填空) 答案 解析右边c2d2 (asin bcos )2(acos bsin )2 a2(sin2cos2)b2(cos2sin2) a2b2 左边 8已知3 2 0，所以 sin ，cos 同号， 因为3 2 5 2 ，所以 20， 所以 cos sin cos sin 24sin cos 7 2 . 9已知 sin x2cos x0. (1)求 2sin2xsin xcos xcos2x 的值； (2)求2sin 3xcos x sin x2cos3x的值 解(1)由 si
12、n x2cos x0，可得 tan x2， 2sin2xsin xcos xcos2x 2sin 2xsin xcos xcos2x sin2xcos2x 2tan 2xtan x1 tan2x1 22 221 221 7 5. (2)联立 sin x2cos x0， sin2xcos2x1， 可得 sin2x4 5，cos 2x1 5， 又由(1)知 tan x2， 2sin 3xcos x sin x2cos3x 2sin2xtan x1 tan x2cos2x 24 521 221 5 11 12. 10已知 sin cos 1 5，其中是ABC 的一个内角 (1)求 sin cos 的
13、值； (2)判断ABC 是锐角三角形还是钝角三角形，并说明理由 解(1)由 sin cos 1 5，可得(sin cos ) 21 25， 即 12sin cos 1 25，sin cos 12 25. (2)由(1)可知 sin cos 12 250. 又是ABC 的一个内角，00， cos 0， 20，又 A 为ABC 的内角， sin A0，cos A0， (sin Acos A)212sin Acos A5 3， sin Acos A 15 3 . 14若3 4 ，sin cos 2 5，则 tan _. 答案1 2 解析sin cos sin cos sin2cos2 tan tan
14、21 2 5， 整理得(2tan 1)(tan 2)0， 解得 tan 1 2或 tan 2， 因为3 4 ，所以 tan (1,0)，故 tan 1 2. 15已知 sin ，cos 是关于 x 的方程 3x2ax10 的两根，则实数 a 等于() A3B. 3C 3D 3 答案D 解析sin ，cos 是关于 x 的方程 3x2ax10 的两根， sin cos a 3，sin cos 1 3， (sin cos )212sin cos a 2 9 . 又 sin cos 1 3，a 23， 即 a 3. 16已知方程 8x26kx2k10 的两个实根是 sin 和 cos . (1)求
15、k 的值； (2)求 sin cos 的值 解(1)由方程 8x26kx2k10 的两个实根是 sin 和 cos ，得 sin cos 3k 4 ， sin cos 2k1 8 . 由 sin 2cos21 及(sin cos )29k2 16 ， 得 12sin cos 9k 2 16 ， 所以 122k1 8 9k 2 16 ，即 9k28k200， 解得 k2 或 k10 9 . 当 k2 时，0，故舍去；当 k10 9 时，满足条件 所以 k10 9 . (2)由(1)得 sin cos 5 6，sin cos 11 72. 设 tsin cos ， 则 t2sin2cos22sin cos 1211 72 47 36， 所以 sin cos 47 6 .
