1、题组层级快练题组层级快练(六十六十) 一、单项选择题 1 (2020东北三省四市一模)已知抛物线 C： y22px(p0)的焦点为 F， 过 F 且倾斜角为 120 的直线与抛物线 C 交于 A， B 两点， 若 AF， BF 的中点在 y 轴上的射影分别为 M， N， 且|MN| 4 3，则抛物线 C 的准线方程为() Ax1Bx2 Cx3 2 Dx3 答案D 解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线 C 的焦点为 p 2，0，知 AF，BF 的中点的纵坐标 分别为y1 2 ， y2 2 ，则|MN| y2 2 y1 2|1 2|y 2y1|4 3，所以|y2y1|8 3.由题意
2、知直线 AB 的方 程为 y 3 xp 2 ，与抛物线方程 y22px 联立消去 x，得 y 3 y2 2p p 2 ，即3y2 2py 3p20，所以 y1y22p 3，y 1y2p2，于是由|y2y1|8 3，得(y2y1)24y1y2 192，所以 2p 3 2 4p2192，解得 p6，p 23，所以抛物线 C 的准线方程为 x3.故 选 D. 2已知抛物线 C：x22py(p0)的焦点为 F，抛物线 C 的准线与 y 轴交于点 A，点 M(1，y0) 在抛物线 C 上，|MF|5y0 4 ，则 tanFAM() A.2 5 B.5 2 C.5 4 D.4 5 答案D 解析 过点 M
3、向抛物线的准线作垂线，垂足为 N，则|MN|y0p 2 5y0 4 ，故 y02p.又 M(1，y0)在 抛物线上，故 y0 1 2p，于是 2p 1 2p，解得 p 1 2， |MN|5 4，tanFAMtanAMN |AN| |MN| 4 5.故选 D. 3 (2021山东省高三新高考预测卷)已知抛物线 C： y22px(p0)的焦点为 F， 点 A p 4，a(a0) 在 C 上，|AF|3.若直线 AF 与 C 交于另一点 B，则|AB|的值是() A12B10 C9D4.5 答案C 解析结合抛物线的性质可得p 4 p 23，解得 p4，所以抛物线方程为 y 28x，所以点 A 的坐标
4、为(1，2 2)，所以直线 AB 的方程为 y2 2(x2)，代入抛物线方程，计算 B 的坐 标为(4，4 2)，所以|AB| （x1x2）2（y1y2）29.故选 C. 4若抛物线 y4x2上一点到直线 y4x5 的距离最短，则该点的坐标是() A. 1 2，1B(0，0) C(1，2)D(1，4) 答案A 解析设与直线 y4x5 平行的直线为 y4xm， 由平面几何的性质可知， 抛物线 y4x2 上到直线 y4x5 的距离最短的点即为直线 y4xm 与抛物线相切的点而对 y4x2求 导得 y8x，又直线 y4xm 的斜率为 4，所以 8x4，得 x1 2，此时 y4 1 2 2 1， 即切
5、点为 1 2，1，故选 A. 5(2021安徽芜湖模拟)已知抛物线 y22px(p0)的焦点弦 AB 的两端点坐标分别为 A(x1， y1)，B(x2，y2)，则y1y2 x1x2的值一定等于( ) A4B4 Cp2Dp2 答案A 解析若焦点弦 ABx 轴，则 x1x2p 2，则 x 1x2p 2 4 ，y1y2p2，则y1y2 x1x24.若焦 点弦 AB 不垂直于 x 轴， 可设直线 AB： yk xp 2 ， 联立 y22px 得 k2x2(k2p2p)xp 2k2 4 0，则 x1x2p 2 4 .y122px1，y222px2，y12y224p2x1x2p4.又y1y20，y20，根
6、据根与系数的关系，得 x1x25，x1x2 4.易知 F(1，0)，所以FM (x11，y1)，FN (x 21，y2)，所以FM FN (x 11)(x21) y1y2x1x2(x1x2)14 x1x245188.故选 D. 8(2021石家庄市质检)已知抛物线 y24x 的焦点为 F，过点 F 和抛物线上一点 M(2，2 2) 的直线 l 交抛物线于另一点 N，则|NF|FM|等于() A12B13 C1 2D1 3 答案A 解析方法一：抛物线 y24x 的焦点 F 的坐标为(1，0)，M(2，2 2)，直线 l 的方程为 y 2 2(x1)由 y24x， y2 2（x1） ，得 2x 2
7、5x20，解得 x2 或 x1 2，点 N 的横坐标 为1 2.抛物线 y 24x 的准线方程为 x1，|NF|3 2，|MF|3，|NF|MF|12.故选 A. 方法二：抛物线 y24x 的焦点 F 的坐标为(1，0)，M(2，2 2)，直线 l 的方程为 y2 2(x 1)由 y24x， y2 2（x1） ，得 y 2 2y40，解得 y2 2或 y 2，点 N 的纵坐标 为 2.过点M 作 MMx轴， 垂足为 M， 过点 N作 NNx 轴， 垂足为 N， 则MM FNNF，|NF|MF|NN|MM| 2|2 212.故选 A. 方法三：M(2，2 2)是抛物线上的点，且抛物线 y24x
8、的准线方程为 x1，|MF|3. 又 1 |MF| 1 |NF| 2 p1，|NF| 3 2，|NF|MF|12.故选 A. 9(2021衡水中学调研)已知抛物线 y24x，过点 P(4，0)的直线与抛物线相交于 A(x1，y1)， B(x2，y2)两个不同的点，则 y12y22的最小值为() A12B24 C16D32 答案D 解析当直线的斜率不存在时，方程为 x4， 由 x4， y24x，得 y 14，y24，y12y2232. 当直线的斜率存在时，设其方程为 yk(x4)， 由 y24x， yk（x4） ，得 ky 24y16k0，y1y24 k，y 1y216， y12y22(y1y2
9、)22y1y216 k23232. 综上可知，y12y2232. y12y22的最小值为 32.故选 D. 10(2021石家庄市模拟)过抛物线 y24x 的焦点的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，设点 M(3，0)若MAB 的面积为 4 2，则|AB|() A2B4 C2 3D8 答案D 解析抛物线 y24x 的焦点 F 为(1，0)，可设直线 l 的方程为 xty1， 代入抛物线方程，可得 y24ty40， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得 y1y24t，y1y24， 则|AB| 1t2|y1y2| 1t2 （y1y2）24y1y2 1t2 16t216， MAB 的面积为
10、1 2|MF|y 1y2|1 22|y 1y2|4 2， 即 16t2164 2，解得 t1，则|AB| 11 16168.故选 D. 二、多项选择题 11(2021山东高考实战演练仿真卷)已知抛物线 x24y 的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛 物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，点 A，B 在抛物线准线上的射影分别为 A1，B1，以下四个结 论中正确的是() Ax1x24 B|AB|y1y21 CA1FB1 2 DAB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为 2 答案ACD 解析抛物线 x24y 的焦点为 F(0，1)，易知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 为 ykx 1. 由
11、 ykx1， x24y， 得 x24kx40，则 x1x24k，x1x24，A 正确； |AB|AF|BF|y11y21y1y22，B 不正确； FA1 (x1，2)，FB1 (x2，2)，FA1 FB1 x1x240，FA1 FB1 ，A1FB1 2 ， C 正确； AB 的中点到抛物线的准线的距离 d1 2(|AA 1|BB1|)1 2(y 1y22)1 2(kx 11kx212) 1 2(4k 24)2. 当 k0 时取得最小值 2，D 正确故选 ACD. 12 (2021山东高考统一模拟)设 M， N 是抛物线 y2x 上的两个不同的点， O 是坐标原点 若 直线 OM 与 ON 的斜
12、率之积为1 2，则( ) A|OM|ON|4 2 B以 MN 为直径的圆的面积大于 4 C直线 MN 过定点(2，0) D点 O 到直线 MN 的距离不大于 2 答案CD 解析不妨设 M 为第一象限内的点， 当直线 MNx 轴时，kOMkON，由 kOMkON1 2，得 k OM 2 2 ，kON 2 2 ，所以直 线 OM，ON 的方程分别为：y 2 2 x 和 y 2 2 x. 与抛物线方程联立，得 M(2， 2)，N(2， 2)， 所以直线 MN 的方程为 x2，此时|OM|ON|2 6， 以 MN 为直径的圆的面积 S2，故 A、B 不正确 当直线 MN 与 x 轴不垂直时，设直线 M
13、N 的方程为 ykxm， 与抛物线方程联立消去 x，得 ky2ym0，则14km0. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 y1y2m k ，因为 kOMkON1 2，所以 y1 x1 y2 x2 1 2， 则 2y2y1x2x1y22y12，则 y1y22，所以m k 2，即 m2k， 所以直线 MN 的方程为 ykx2k，即 yk(x2) 综上可知，直线 MN 为恒过定点 Q(2，0)的动直线，故 C 正确； 易知当 OQMN 时，原点 O 到直线 MN 的距离最大，最大距离为 2， 即原点 O 到直线 MN 的距离不大于 2.故 D 正确故选 CD. 三、填空题与解答题 13(20
14、21山东高考统一模拟)已知抛物线 y22px(p0)与直线 l：4x3y2p0 在第一、 四象限分别交于 A，B 两点，F 是抛物线的焦点，若|AF |FB|，则_ 答案4 解析直线 l：当 y0 时，xp 2，直线 l 过抛物线的焦点，A，F，B 三点共线， 联立直线与抛物线方程 y22px， 4x3y2p0，得 8x 217px2p20， 解得：xA2p，xBp 8，|AF|x Ap 2 5 2p，|BF|x Bp 2 5 8p， |AF | |FB |4. 14 (2020郑州质检)设抛物线 y216x 的焦点为 F， 经过点 P(1， 0)的直线 l 与抛物线交于 A， B 两点，且
15、2BP PA，则|AF|2|BF|_ 答案15 解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)P(1，0)， BP (1x 2，y2)，PA (x 11，y1) 2BP PA，2(1x 2，y2)(x11，y1)， x12x23，2y2y1. 将 A(x1，y1)，B(x2，y2)代入抛物线方程 y216x，得 y1216x1，y2216x2. 又2y2y1，4x2x1.又x12x23，解得 x21 2，x 12.|AF|2|BF|x142(x2 4)242 1 2415. 15(2021四川遂宁市高三三诊)已知点 M(0，2)，过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线 AB 交 抛物线于 A，B
16、两点，若AM FM 0，则点 B 的纵坐标为_ 答案1 解析因为点 M(0， 2)，抛物线 y24x 的焦点为 F(1， 0)， 所以 kMF20 012， 由AM FM 0 可得 AMFM，所以直线 AM 的斜率 kAM1 2， 所以直线 AM 的方程为 y21 2x，即 y 1 2x2， 由 y1 2x2， y24x 化简得 x28x160，解得 x4，可得点 A(4，4)， 所以直线 AF 的斜率 kAF 4 41 4 3，所以直线 AF 的方程为：y 4 3(x1)， 联立 y24x， y4 3（x1） ， 消去 x 可得：y23y40，解得 y1 或 y4， 所以点 B 的纵坐标为1
17、. 16(2021广西柳州模拟)已知抛物线 y24x 的焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点 (1)若AF 3FB，求直线 AB 的斜率； (2)设点 M 在线段 AB 上运动，原点 O 关于点 M 的对称点为点 C，求四边形 OACB 面积的 最小值 答案(1) 3或 3(2)4 解析(1)依题意可得，抛物线的焦点为 F(1，0)，设直线 AB：xmy1，将直线 AB 与抛 物线联立 xmy1， y24x y24my40.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y24m，y1y2 4. AF 3FBy 13y2m21 3，斜率为 1 m 3或 3. (2)S四边形OA
18、CB2SAOB21 2|OF| |y 1y2|y1y2| （y1y2）24y1y2 16m2164， 当 m0 时，四边形 OACB 的面积最小，最小值为 4. 17(2021八省联考)已知抛物线 y22px 上三点 A(2，2)，B，C，直线 AB，AC 是圆(x2)2 y21 的两条切线，则直线 BC 的方程为() Ax2y10B3x6y40 C2x6y30Dx3y20 答案B 解析方法一(设而要求)：A(2，2)在抛物线 y22px 上，44p，p1，y22x， 过 A(2，2)作圆 C 的切线，设切线斜率为 k. 则切线方程为：y2k(x2)，即 kxy2k20. |2k02k2| k
19、21 1，k 3. 当 k 3时，切线方程为：y2 3(x2)， 联立 y2 3（x2） ， y22x， 解得 x2， y2 或 x84 3 3 ， y2 3 3 2， 则 B 84 3 3 ，2 36 3， 当 k 3时，切线方程为：y2 3(x2)， 联立 y2 3（x2） ， y22x， 解得 x2， y2 或 x84 3 3 ， y2 3 3 2， 则 C 84 3 3 ，2 36 3， kBC1 2，y 2 36 3 1 2 x84 3 3，即 3x6y40，故选 B. 方法二(设而不求)：A(2，2)在抛物线 y22px 上，44p.p1.y22x.设 B b2 2 ，b ， C
20、c2 2 ，c ，则 BC：2x(bc)ybc0，AC：2x(2c)y2c0，可得： |42c| 4（2c）2 1，化简，得：3c212c80.同理，3b212b80，于是 b，c 是方程 3t212t80 的 两个根，bc4，bc8 3，BC：2x4y 8 30，即 3x6y40.故选 B. 18(2019课标全国)已知曲线 C：yx 2 2 ，D 为直线 y1 2上的动点，过 D 作 C 的两条切 线，切点分别为 A，B. (1)证明：直线 AB 过定点； (2)若以 E 0，5 2 为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程 答案(1)证明略(2)x2 y5
21、2 2 4 或 x2 y5 2 2 2 解析(1)证明：设 D t，1 2 ，A(x1，y1)，则 x122y1. 由于 yx，所以切线 DA 的斜率为 x1，故 y11 2 x1t x1. 整理得 2tx12y110. 设 B(x2，y2)，同理可得 2tx22y210. 故直线 AB 的方程为 2tx2y10. 所以直线 AB 过定点 0，1 2 . (2)由(1)得直线 AB 的方程为 ytx1 2. 由 ytx1 2， yx 2 2 可得 x22tx10.于是 x1x22t，y1y2t(x1x2)12t21. 设 M 为线段 AB 的中点，则 M t，t21 2 . 由于EM AB ，而EM (t，t22)，AB 与向量(1，t)平行，所以 t(t22)t0.解得 t0 或 t 1. 当 t0 时，|EM |2，所求圆的方程为 x2 y5 2 2 4； 当 t1 时，|EM | 2，所求圆的方程为 x2 y5 2 2 2.
