1、4.4.2对数函数的图象和性质(一) 第四章4.4对数函数 1.初步掌握对数函数的图象和性质. 2.会类比指数函数研究对数函数的性质. 3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用. 学 习 目 标 同学们，还记得我们是如何研究指数函数的吗？实际上，研究对数函 数的思路和研究指数函数的思路是一致的，我们可以用类比的方法来 研究对数函数.请同学们看下面的问题1. 导 语 随堂演练课时对点练 一、对数函数的图象和性质 二、利用单调性比较对数值的大小 三、利用单调性解对数不等式 内容索引 一、对数函数的图象和性质 问题1请同学们利用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格， 再在同一坐标系下画出对数函数
2、ylog2x和 的函数图象. 提示(1)21012345 21012345 (2)描点、连线 1 2 logyx x0.250.512481632 ylog2x 1 2 logyx 函数ylog2x 定义域_ 值域_ 单调性_ 最值_ 奇偶性_ 特殊点_ 问题2通过观察函数ylog2x和 的图象，分析性质，并完成下表：1 2 logyx 1 2 logyx x(0，)x(0，) RR 增函数减函数 无最值无最值 非奇非偶函数非奇非偶函数 (1,0)(1,0) y的变换情况 当0 x1时，_ 当0 x1时， _ 对称性ylog2x和 的图象关于x轴对称1 2 logyx y0 y0 y0，且a1
3、) 底数a10a1 图象 定义域_ 知识梳理 对数函数的图象和性质 (0，) 值域R 单调性在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数 最值_ 奇偶性_ 共点性图象过定点 ，即x1时，y0 函数值 特点 x(0,1)时，y ； x1，)时，y_ x(0,1)时，y ； x1，)时，y_ 对称性函数ylogax与 的图象关于对称1 log a yx 无最大、最小值 非奇非偶函数 (1,0) (，0) 0，) (0，) (，0 x轴 注意点注意点： (1)函数图象只出现在y轴右侧；(2)对任意底数a，当x1时，y0，故 过定点(1,0)；(3)当0a1时， 底数越大，图象越靠近x轴；(5)任意底数互
4、为倒数的两个对数函数的图 象关于x轴对称. 例1(1)如图，若C1，C2分别为函数ylogax和ylogbx的图象，则 A.0ab1 B.0bab1 D.ba1 解析作直线y1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知 0ba0，且a1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b _，c_. 解析函数的图象恒过定点(3,2)， 将(3,2)代入yloga(xb)c， 得2loga(3b)c. 又当a0，且a1时，loga10恒成立， c2,3b1，b2，c2. 2 2 (3)已知f(x)loga|x|(a0，且a1)满足f(5)1，试画出函数f(x)的图象. 解因为f(5)1，所以loga5
5、1，即a5， 所以函数f(x)log5|x|的图象如图所示. 延伸探究 1.在本例中，若条件不变，试画出函数g(x)loga|x1|的图象. 解因为f(x)log5|x|，所以g(x)log5|x1|， 如图，g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的. 2.在本例中，若条件不变，试画出函数h(x)|logax|的图象. 解因为a5，所以h(x)|log5x|. h(x)的图象如图所示. 反思感悟对数型函数图象的变换方法 (1)作yf(|x|)的图象时，保留yf(x)(x0)图象不变，x0)的图象关于y轴对称. (2)作y|f(x)|的图象时，保留yf(x)的x轴及上方图象不变
6、，把x轴下方图 象以x轴为对称轴翻折上去即可. (3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律. (4)yf(x)与yf(x)关于y轴对称，yf(x)与yf(x)关于x轴对称，y f(x)与yf(x)关于原点对称. 跟踪训练1(1)函数f(x)loga|x|1(a1)的图象大致为 解析函数f(x)loga|x|1(a1)是偶函数， f(x)的图象关于y轴对称， 当x0时，f(x)logax1单调递增； 当x0时，f(x)loga(x)1单调递减， 又图象过(1,1)，(1,1)两点，结合选项可知选C. (2)画出函数y|log2(x1)|的图象，并写出函数的值域及单调区间. 解函数y
7、|log2(x1)|的图象如图所示. 由图象知，其值域为0，)，单调递减区间是(1,0，单调递增区间 是(0，). 二、利用单调性比较对数值的大小 问题2比较下列各组中两个值的大小： (1)log31.9，log32； 解因为ylog3x在(0，)上单调递增，1.92， 所以log31.9log210，log0.32log0.32. (3)loga，loga3.14(a0，且a1)； 解当a1时，函数ylogax在(0，)上单调递增， 则有logaloga3.14； 当0a1时，函数ylogax在(0，)上单调递减， 则有loga1时，logaloga3.14； 当0a1时，logaloga3
8、.14. (4)log50.4，log60.4. 解在同一直角坐标系中，作出ylog5x，ylog6x的图象， 再作出直线x0.4(图略)，观察图象可得log50.40，且a1)； 解当a1时，ylogax在(0，)上是增函数， 又5.15.9，所以loga5.1loga5.9； 当0a1时，ylogax在(0，)上是减函数， 又5.1loga5.9. 综上，当a1时，loga5.1loga5.9； 当0aloga5.9. 三、利用单调性解对数不等式 例3解下列关于x的不等式： (1) 11 77 loglog4xx； 所以原不等式的解集为x|0 xloga(x1)； 综上所述，当a1时，原不
9、等式的解集为x|x4； 反思感悟对数不等式的三种考查类型及解法 (1)形如logaxlogab的不等式，借助ylogax的单调性求解，如果a的取值 不确定，需分a1与0ab的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b logaab)，再借助ylogax的单调性求解. (3)形如logf(x)alogg(x)a(f(x)，g(x)0且不等于1，a0)的不等式，可利用换 底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解. 跟踪训练3(1)求满足不等式log3x1的x的取值集合； 解log3x1log33， 又函数ylog3x在(0，)上为增函数， x的取值集合为x|0 x3. (2)已知log
10、0.7(2x)1. x的取值范围是(1，). 1.知识清单： (1)对数函数的图象及性质. (2)利用对数函数的图象及性质比较大小. (3)利用单调性解对数不等式. 2.方法归纳：分类讨论、数形结合法. 3.常见误区：作对数函数图象时易忽视底数a1与0a1两种情况. 课堂小结 随堂演练 1.函数yloga(x1)(0a1)的图象大致是 1234 解析0abc B.bac C.cab D.bca 解析a20.21blog43.20c1， abc. 1234 3.不等式 的解集为 11 22 log23 1时，满足条件； 课时对点练 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15
11、1.函数ylogax，ylogbx，ylogcx，ylogdx的 图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是 A.1dcab B.cd1ab C.cd1ba D.dc1ab 解析令函数ylogax，ylogbx，ylogcx，ylogdx取同样的函数值1， 得到的自变量的值恰好分别是a，b，c，d. 直线y1从左到右依次与上述四个函数的图象交于A(c,1)，B(d,1)，C(a,1)， D(b,1)，从而得出cda1，b1，d1，c1，cd1ab. 16 2.若lg(2x4)1，则x的取值范围是 A.(，7 B.(2,7 C.7，) D.(2，) 12345678910 11 12 13 14
12、 15 解析由lg(2x4)1，得02x410，即2x7. 16 12345678910 11 12 13 14 15 3.设alog37，b21.1，c0.83.1，则 A.bac B.cab C.cba D.acb 解析alog37，1a2. c0.83.1，0c1.即cab. 16 12345678910 11 12 13 14 15 4.函数f(x)logax(0a1)在a2，a上的最大值是 A.0 B.1 C.2 D.a 解析0a1时，f(x)lg(x1)在(1，)上单调递增，所以B正确. 16 解析g(x)logbx logax， f(x)和g(x)的单调性相同， 结合选项可知A，
13、B正确. 12345678910 11 12 13 14 15 6.(多选)已知a0，b0，且ab1，a1，则函数f(x)ax与函数g(x) logbx在同一坐标系中的图象可能是 1 log b x 16 12345678910 11 12 13 14 15 7.函数yloga(x4)2(a0且a1)恒过定点_. 解析令x41得x5，此时yloga122， 所以函数yloga(x4)2恒过定点(5,2). (5,2) 16 12345678910 11 12 13 14 15 8.如果函数f(x)(3a)x与g(x)logax(a0，且a1)的增减性相同，则实 数a的取值范围是_. (1,2)
14、 综上，实数a的取值范围是(1,2). 16 12345678910 11 12 13 14 15 9.比较下列各组中两个值的大小： (1)ln 0.3，ln 2； 解因为函数yln x在(0，)上是增函数， 又0.32，所以ln 0.30，且a1)； 解当a1时，函数ylogax在(0，)上是增函数， 又3.15.2，所以loga3.1loga5.2； 当0a1时，函数ylogax在(0，)上是减函数， 又3.1loga5.2. 综上所述，当a1时，loga3.1loga5.2； 当0aloga5.2. 16 12345678910 11 12 13 14 15 (3)log30.2，log
15、40.2； (4)log3，log3. 解因为函数ylog3x在(0，)上是增函数，又3， 所以log3log331. 同理，1loglog3，所以log3log3. 16 12345678910 11 12 13 14 15 解先作出函数ylg x的图象，再将图象位于x轴下方的部分以x轴为对 称轴翻折到x轴上方，于是得f(x)|lg x|图象(如图)， 由图象可知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增. f(c)f(a)f(b). 16 12345678910 11 12 13 14 15 综合运用 11.已知函数f(x)ln x，g(x)lg x，h(x)log3x，直线y
16、a(a0)与这三个 函数的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是 A.x2x3x1 B.x1x3x2C.x1x2x3 D.x3x2x1 解析分别作出这三个函数的大致图象，如图所示. 由图可知，x2x3x1. 16 12345678910 11 12 13 14 15 12.若函数f(x)loga(xb)的图象如图所示，其中a， b为常数，则函数g(x)axb的图象大致是 解析由f(x)的图象可知0a1,0b1， g(x)的图象应为D. 16 13.设偶函数f(x)loga|xb|在(，0)上单调递增，则f(a1)与f(b2) 的大小关系是 A.f(a1)f(b2)
17、解析因为函数f(x)是偶函数，所以b0， 又函数在(，0)上单调递增，所以函数在(0，)上单调递减，则 0a1，所以1a12. 因为f(a1)loga|a1|，f(b2)loga2，且1a1f(b2). 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 1 8 log0fx 16 解析f(x)是R上的偶函数， 它的图象关于y轴对称. f(x)在0，)上单调递增， f(x)在(，0上单调递减， 111 888 11 log0log, 33 fxxx -或 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析要使函数f(x)的值域为R， 12345678910 11 12 13 14 15 16 解由x2logmx0，得x2logmx，在同一坐标系中作y x2和ylogmx的草图，如图所示. 1 4 logmm 1 4 1 , 2 m 12345678910 11 12 13 14 15 16 本课结束 更多精彩内容请登录：
