1、4.4.3不同函数增长的差异 第四章4.4对数函数 1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型. 2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义. 3.能根据具体问题选择合适的函数模型. 学 习 目 标 同学们，等你们大学毕业了，显然要面对一个现实的问题，那就是如 何使你的收入最大化，如果你现在手里有一笔资金可以用于投资，现 在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报是这样的：方案一： 每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报 10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请 问，你会选择哪种投资方案？为了解决这个问题，让我们一起开始今 天的
2、探究吧！ 导 语 随堂演练课时对点练 一、几个函数模型增长差异的比较 二、函数增长速度的比较 三、函数模型的选择 内容索引 一、几个函数模型增长差异的比较 问题1结合之前所学，请同学们自行阅读课本136页138页，同位之间 可以相互讨论，5分钟后检查讨论结果. 提示通过对y2x与y2x的比较我们发现， 函数y2x的增长速度保持不变， 函数y2x的增长速度在变化，而且增长速度越来越快， 虽然函数y2x在一定范围内比函数y2x增长快些， 但存在一个x0，当xx0时，总有2x2x， 即使一次函数ykx(k0)，k的值远远大于指数函数yax(a1)中a的值，y ax(a1)的增长速度最终都会大大超过y
3、kx(k0)的增长速度. 函数ylg x的增长速度在变化，而且增长速度越来越慢， 即使对数函数ylogax(a1)中底数a的值远远大于一次函数ykx(k0)中k 的值，一次函数ykx(k0)的增长速度最终都会超过对数函数ylogax (a1)的增长速度. 问题2把一次函数y2x，对数函数ylg x和指数函数y2x的图象画到 同一坐标系下，并比较它们的增长差异. 提示一次函数y2x匀速增长，指数函数y2x增长越来越快，对数函数 ylg x增长最慢. 知识梳理 三种常见函数模型的增长差异 函数 性质 yax(a1)ylogax(a1)ykx(k0) 在(0，)上的增减性_ 图象的变化 随x的增大逐
4、渐 变“陡” 随x的增大逐渐趋 于稳定 增长速度 不变 形象描述指数爆炸对数增长直线上升 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 yax(a1)的增长速度最终都会大大超过 的增长 速度；总存在一个x0，当xx0时，恒有_ 增长结果存在一个x0，当xx0时，有_ ykx(k0) logaxkxlogax 注意点注意点：(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型；(2)当 要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数 函数模型；(3)一次函数增长速度不变，平稳变化；(4)函数值的大小不等 同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值 的变化趋势上. 例
5、1(1)下列函数中，增长速度最快的是 A.y2 021x B.yx2 021 C.ylog2 021x D.y2 021x 解析比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增 长速度最快. (2)三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表： 则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是 A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3 C.y3，y2，y1 D.y3，y1，y2 x1357911 y151356251 7153 6356 655 y25292452 18919 685177 149 y356.106.616.957.207.40 解析由指数函数、对数函
6、数、幂函数的增长速率比较，指数函数增 长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，y1是幂函数，y2是指数 函数，y3是对数函数. 反思感悟常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型：线性函数模型ykxb(k0)的增长特点是直线上升， 其增长速度不变. (2)指数函数模型：指数函数模型yax(a1)的增长特点是随着自变量的 增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为 “指数爆炸”. (3)对数函数模型：对数函数模型ylogax(a1)的增长特点是随着自变量 的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓. (4)幂函数模型：幂函数yxn(n0)的增长速度介于指数增长和对数
7、增长 之间. 跟踪训练1下列函数中，增长速度越来越慢的是 A.y6x B.ylog6x C.yx2 D.y6x 解析D中一次函数的增长速度不变； A，C中函数的增长速度越来越快； 只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意. 二、函数增长速度的比较 例2函数f(x)2x和g(x)x3的图象如图所示.设两函 数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)， 所以1x12,9x210， 所以x16x2， 从图象上可以看出，当x1xx2时，f(x)g(x)， 所以f(6)x2时，f(x)g(x)，所以f(2 021)g(2 021). 又因为
8、g(2 021)g(6)， 所以f(2 021)g(2 021)g(6)f(6). 反思感悟指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法 (1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断. (2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和二次函数时，通常是观 察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是 指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数. 跟踪训练2以下四种说法中，正确的是 A.幂函数的增长速度比一次函数的增长速度快 B.对任意的x0，xnlogax C.对任意的x0，axlogax D.不一定存在x0，当xx0时，总有axxnlogax 解析对于A，幂函数与一次函数
9、的增长速度受幂指数及一次项系数的 影响，幂指数及一次项系数不确定，增长速度不能比较； 对于B，C，当0a1，n0时，一定存在x0，使得当xx0时，总有axxnlogax， 但若去掉限制条件“a1，n0”，则结论不一定成立. 三、函数模型的选择 问题3现在你能对你资金的三种投资方案做出选择了吗？方案一：每 天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 提示如果做短期投资，方案二收益较高；如果做长期投资，显然方案 三最终回报最高. 例3汽车制造商在2021年年初公告： 公司计划2021年的生产目标为43万辆.已
10、知该公司近三年的汽车生产量如表所示： 如果我们分别将2018,2019,2020,2021定义为第一、二、三、四年.现在有 两个函数模型：二次函数模型f(x)ax2bxc(a0)，指数型函数模型 g(x)abxc(a0，b0，b1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y 与年份x的关系？ 年份(年)2018 2019 2020 产量(万辆)81830 解建立年产量y与年份x的函数， 可知函数图象必过点(1,8)，(2,18)，(3,30). 构造二次函致模型f(x)ax2bxc(a0)，将点的坐标代入， 则f(x)x27x，故f(4)44，与计划误差为1万辆. 构造指数型函数模型g(x)abxc
11、(a0，b0，b1)， 由可得，二次函数模型f(x)x27x能更好地反映该公司年产量y与年 份x的关系. 反思感悟建立函数模型应遵循的三个原则 (1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、主要变量， 尽量建立较低阶、较简便的模型. (2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、 推理，且能得出正确结论. (3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应 具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题. 跟踪训练3据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律， 设2021年的湖水量为m，从2021年起，经过x年后湖水量y与x的函数关
12、系 为_. 解析设每年湖水量为上一年的q%，则(q%)500.9，所以 所以x年后的湖水量为 50 =0.9 x ym 1 50 %=0.9 ,q 50 =0.9. x ym 1.知识清单：三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、 对数型函数增长模型. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：不理解三种函数增长的差异. 课堂小结 随堂演练 1.下列函数中，在(0，)上增长速度最快的是 A.yx2 B.ylog2x C.y2x D.y2x 1234 1234 2.在一次数学试验中，采集到如下一组数据： 解析在坐标系中描出各点，知模拟函数为yabx. x2.01.001.002.003.
13、00 y0.240.5112.023.988.02 则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数) 1234 3.甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶 速度是v2(v11)B.yaxb(a1) C.yax2b(a0)D.ylogaxb(a1) 解析由表中数据可知，s随t的增大而增大且其增长速度越来越快，A， D中的函数增长速度越来越慢； B中的函数增长速度保持不变； C中的函数y随x的增大而增大，且增长速度越来越快. 16 t12345 s1.55.913.424.137 12345678910 11 12 13 14 15 4.小明骑车上学，开始
14、时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后， 为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是 解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近， 故排除A； 因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D； 后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B. 16 12345678910 11 12 13 14 15 5.y12x，y2x2，y3log2x，当2xy2y3 B.y2y1y3C.y1y3y2 D.y2y3y1 解析由题意可知，三个函数在区间(2,4)上都是单 调递增的， 所以4y116,4y216,1y3y1y3. 16 12345678910 11 12 13 14
15、15 6.(多选)下面对函数f(x) 与g(x) 在区间(0，)上的衰减情况 的说法中错误的有 A.f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快 B.f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢 C.f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢 D.f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快 16 1 2 log x 解析在平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图 象如图所示， 由图象可判断出衰减情况为f(x)衰减速度越来 越慢，g(x)衰减速度越来越慢. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12
16、 13 14 15 7.某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示. 以下四种说法： 前三年产量增长的速度越来越快；前三年产量 增长的速度越来越慢；第三年后这种产品停止生 产；第三年后产量保持不变. 其中说法正确的序号是_. 解析由图可知，前三年产量增长的速度越来越慢，故错误，正确； 第三年后这种产品的产量保持不变，故错误，正确. 16 12345678910 11 12 13 14 15 8.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角 度看，更为有前途的生意是_. y101.05x；y20 x1.5；y30lg(x1)；y50. 解析由于指数型函数的底数
17、大于1，其增长速度随着时间的推移是越来 越快， y101.05x是更为有前途的生意. 16 12345678910 11 12 13 14 15 9.函数f(x)lg x，g(x)0.3x1的图象如图所示. (1)试根据函数的增长差异指出C1，C2分别对应 的函数； 解C1对应的函数为g(x)0.3x1；C2对应的函数为f(x)lg x. 16 12345678910 11 12 13 14 15 (2)以两图象的交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小 进行比较. 解当xf(x)； 当x1xg(x)； 当xx2时，g(x)f(x)； 当xx1或xx2时，f(x)g(x). 16 123456
18、78910 11 12 13 14 15 解方案一：5年后树木面积为101515(万平方米). 方案二：5年后树木面积是10(19%)515.386(万平方米)， 因为15.38615，所以方案二较好. 16 10.每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植 树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积， 现有两种方案如下： 方案一：每年植树1万平方米； 方案二：每年树木面积比上一年增加9%. 哪个方案较好？ 12345678910 11 12 13 14 15 综合运用 11.下列函数图象中，估计有可能用函数yablg x(b0)来模拟的是 解析由于函
19、数ylg x在定义域内单调递增，且是上凸的， 又b0，所以当x0时，yablg x(b0)的图象是单调递增且上凸的. 16 12345678910 11 12 13 14 15 12.如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)， 注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面 上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是 解析开始的一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后水槽中水面上 升速度先快后慢，与B图象相吻合. 16 13.渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短的 时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼很快地失去新鲜度 (以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜
20、度.三甲胺是一种挥发性碱 性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的.三甲胺量积聚就表明鱼的 新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败).已知某种鱼失去的新鲜度h与其出 海后时间t(分)满足的函数关系式为h(t)mat.若出海后10分钟，这种鱼失 去的新鲜度为10%，出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么 若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度(已知 lg 20.3，结果取整数) A.33分钟 B.40分钟C.43分钟 D.50分钟 12345678910 11 12 13 14 15 16 解得 m0.05， 故h(t)0.05 令h(t)0.05 12345678910
21、 11 12 13 14 15 16 1 10 2 ,a 1 10 2, t 11 1010 2,2=201 tt ， 得 1 10 lg201+lg2 = 1 lg2 lg2 10 14.如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城 间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提 出了关于这两个旅行者的如下信息： 骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h； 骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动； 骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者； 骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样. 其中，正确信息的序号是_. 12345
22、678910 11 12 13 14 15 16 解析看时间轴易知正确； 骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而 骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，故 正确； 两函数图象的交点的横坐标对应于4.5，故正确，错误. 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 15.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某 种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关 系：yat(t0，a0且a1)的图象.有以下叙述： 每月减少的有害物质量都相等； 其中所有正确叙述的序号
23、是_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 122232 333 111 =log=log=log, 248 ttt， t1t2t3，故正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载 火箭技术.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以 用公式vv0ln 计算火箭的最大速度v m/s，其中v0 m/s是喷流相对速 度，m kg是火箭(除推进剂外)的质量，M kg是推进剂与火箭质量的总 和， 称为“总质比”.已知A型火箭的喷流相对速度为2 000 m/s. (1)当总质比为41
24、0时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度； 参考数据：ln 4106，e2.718. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解当总质比为410时，v2 000ln 410. 由参考数据得v2 000612 000 m/s， 当总质比为410时，A型火箭的最大速度约为12 000 m/s. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原 来的1.5倍，总质比变为原来的 ，若要使火箭的最大速度至少增加 1 000 m/s，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值. 解由题意，经过材料更新和技术改进后， 要使火箭的最大速度至少增加1 000 m/s， 12345678910 11 12 13 14 15 16 由参考数据，知e2.718. 125e339.8. 材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为340. 12345678910 11 12 13 14 15 16 本课结束 更多精彩内容请登录：
