1、第第 1 节节数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法 知识梳理 1.数列的概念 按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数都称为这个数列的项. 2.数列的分类 分类标准类型满足条件 项数 有穷数列项数有限 无穷数列项数无限 项与项 间的大 小关系 递增数列an1an 其中 nN* 递减数列an1an 常数列an1an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些 项小于它的前一项的数列 3.数列的通项 如果数列的第 n 项 an与 n 之间的关系可以用 anf(n)来表示，其中 f(n)是关于 n 的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式. 4.数列的
2、递推公式 如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用 一个公式来表示， 则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式). 5.数列的前 n 项和 一般地， 给定数列an， 称Sna1a2an为数列an的前n项和.如果数列an 的前 n 项和为 Sn，则 an S1，n1， SnSn1，n2. 1.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关， 而且还与这些“数”的排列顺序有关. 2.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的 项对应的位置序号. 诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)
3、相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.() (2)1，1，1，1，不能构成一个数列.() (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.() (4)如果数列an的前 n 项和为 Sn，则对任意 nN*，都有 an1Sn1Sn.() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)数列：1，2，3 和数列：3，2，1 是不同的数列. (2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列. (3)数列可以是常数列或摆动数列. 2.数列an的前几项为1 2，3， 11 2 ，8， 21 2 ，则此数列的通项可能是() A.an5n4 2 B.an3n2 2 C.an6n5 2 D.an10n9 2 答案A 解
4、析数列为1 2， 6 2， 11 2 ， 16 2 ， 21 2 ，其分母为 2， 分子可表示为 15(n1)5n4， 因此通项公式可能为 an5n4 2 . 3.在数列an中，a11，an1（1） n an1 (n2)，则 a5等于() A.3 2 B.5 3 C.8 5 D.2 3 答案D 解析a21（1） 2 a1 2，a31（1） 3 a2 1 2， a41（1） 4 a3 3，a51（1） 5 a4 2 3. 4.(多选题)(2021长沙月考)已知数列的前 4 项为 2，0，2，0，则依此归纳该数列 的通项可能是() A.an(1)n 11 B.an 2，n 为奇数， 0，n 为偶数
5、 C.an2sinn 2 D.ancos(n1)1 答案ABD 解析对 n1，2，3，4 进行验证，an2sin n 2 不合题意，其他都可能. 5.(2020佛山调研)设数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sna1（4 n1） 3 ，若 a432， 则 a1_. 答案 1 2 解析由题意，得 a4S4S332. 即255a1 3 63a1 3 32，解得 a11 2. 6.(2021临沂月考)已知 ann2n，且对于任意的 nN*，数列an是递增数列， 则实数的取值范围是_. 答案(3，) 解析因为an是递增数列，所以对任意的 nN*，都有 an1an，即(n1)2 (n1)n2n，整理，
6、得 2n10，即(2n1).(*) 因为 n1，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3. 考点一由数列的递推关系求通项 角度 1累加法形如 an1anf(n)，求 an 【例 1】 在数列an中， a1100， an1an3n(nN*)， 则通项公式 an_. 答案 1 23 n197 2 ，nN* 解析由 an1an3n，nN*， 得 a2a13，a3a232，a4a333， anan13n 1(n2). 将这(n1)个等式累加得 ana13323n 11003（13n 1） 13 1 23 n 197 2 (n2). 显然 a1100 也适合上式， 故通项公式 an1 23 n1
7、97 2 ，nN*. 角度 2累乘法形如an 1 an f(n)，求 an 【例 2】若 a11，nan1(n1)an(n2)，则数列an的通项公式 an_. 答案 2 n1 解析由 nan1(n1)an(n2)，得 an an1 n n1(n2). 所以 an an an1 an1 an2 an2 an3 a3 a2 a2 a1a 1 n n1 n1 n n2 n1 3 4 2 31 2 n1(n2)， 又 a1也满足上式，所以 an 2 n1. 角度 3构造法形如 an1AanB(A0 且 A1，B0)，求 an 【例 3】(2021衡水检测)设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a11
8、，Sn12Sn1， nN*，则数列an的通项公式为_. 答案an2n 1，nN* 解析因为 Sn12Sn1， 所以 Sn12Sn1. 因此 Sn112(Sn1)，因为 a1S11，S112，所以Sn1是首项为 2， 公比为 2 的等比数列. 所以 Sn12n，Sn2n1. 当 n2 时，anSnSn12n 1，a11 也满足此式， 所以 an2n 1，nN*. 感悟升华1.由数列的递推关系求通项公式的常用方法 (1)已知 a1，且 anan1f(n)，可用“累加法”求 an. (2)已知 a1(a10)，且 an an1f(n)，可用“累乘法”求 a n. 2.已知 a1且 an1panq(其
9、中 p，q 均为常数，pq(p1)0).把原递推公式转化 为 an1tp(ant)，其中 t q 1p，再利用换元法转化为等比数列求解. 【训练 1】 (1)在数列an中，若 a13，an1an 1 n（n1），则通项公式 a n _. (2)若数列an满足 a11，an1 2an an2，则数列a n的通项公式 an_. 答案(1)41 n (2) 2 n1 解析(1)原递推公式可化为 an1an1 n 1 n1， 则 a2a111 2，a 3a21 2 1 3， a4a31 3 1 4，a n1an2 1 n2 1 n1，a nan1 1 n1 1 n，累计相加得， ana111 n， 又
10、 n1 时也适合，故 an41 n. (2)因为 an1 2an an2，a 11， 所以 an0，所以 1 an1 1 an 1 2，即 1 an1 1 an 1 2. 又 a11，则 1 a11， 所以 1 an是以 1 为首项，1 2为公差的等差数列. 所以 1 an 1 a1(n1) 1 2 n 2 1 2，所以 a n 2 n1. 考点二由 an与 Sn的关系求通项 【例 4】 (1)设数列an满足 a13a2(2n1)an2n，则 an_. (2)记 Sn为数列an的前 n 项和.若 Sn2an1，则 S6_. 答案(1) 2 2n1(nN *) (2)63 解析(1)因为 a13
11、a2(2n1)an2n， 故当 n2 时，a13a2(2n3)an12(n1). 两式相减得(2n1)an2， 所以 an 2 2n1(n2). 又由题设可得 a12，满足上式， 从而an的通项公式为 an 2 2n1(nN *). (2)由 Sn2an1，得 a12a11， 所以 a11，S112. 当 n2 时，Sn2(SnSn1)1， 即 Sn12(Sn11)， 所以数列Sn1是首项为2，公比为 2 的等比数列， 所以 Sn122n 1，则 Sn122n1， 当 n6 时，S663. 感悟升华1.由 Sn求 an的步骤 (1)先利用 a1S1求出 a1. (2)用 n1 替换 Sn中的
12、n 得到一个新的关系， 利用 anSnSn1(n2)便可求出当 n2 时 an的表达式. (3)注意检验 n1 时的表达式是否可以与 n2 的表达式合并. 2.Sn与 an关系问题的解题思路 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化， (1)由 anSnSn1(n2)转化为只含 Sn，Sn1的关系式求解；(2)转化为只含 an， an1(n2)的关系式. 【训练 2】(1)已知数列an的前 n 项和为 Sn， 且满足 Snan2， 则 S5_. (2)(2020福州质检)设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 Snn1 2 an，且 a11，则 数列an的通项公式为_. 答案(1)3
13、1 16 (2)ann 解析(1)由 Snan2，得 2SnSn12(n2). 2(Sn2)Sn12 又 S1a12，S11，则 S1210. Sn2是首项为1，公比为1 2的等比数列， 从而 S521 1 2 4 ，S52 1 16 31 16. (2)由 Snn1 2 an，得 2Sn(n1)an. 所以 2Sn1nan1(n2)， 所以 2Sn2Sn1(n1)annan1(n2)， 所以 2an(n1)annan1(n2)， 即(n1)annan1(n2)， 所以 an an1 n n1(n2)，则 an n an1 n1(n2)， 数列 an n 是以a1 1 1 为首项的常数列. 因
14、此 ann. 考点三数列的性质 【例 5】 (1)(2021重庆诊断)设数列an满足：a12，an11an 1an(nN *).则数列 an前 2 021 项的乘积 a1a2a3a4a2 021_. (2)(多选题)(2021济南调研)已知数列an， bn满足 an12anbn， bn1an2bn ln n1 n3 (nN*)，a1b10，给出下列四个命题，其中的真命题是() A.数列anbn单调递增 B.数列anbn单调递增 C.数列an从某项以后单调递增 D.数列bn从某项以后单调递增 答案(1)2(2)BCD 解析(1)由 a12 得 a23，a31 2，a 41 3，a 52， 显然该
15、数列中的数从 a5开始循环，周期是 4. 因此 a1a2a3a41，且 a2 021a12. 故 a1a2a3a4a2 020a2 021(a1a2a3a4)505a2 0212. (2)因为 an12anbn，bn1an2bnln n1 n3 ，所以 an1bn1anbn ln n1 n3 .当 n1 时，a2b2a1b1ln 2，所以 a2b20，所以数列anbn单调递增，则 B 正确.因为 an12anbn anln n(a1b1)3n1，所以 an1anln n(a1b1)3n10，则 C 正确.因为 bn1bnanbnln n1 n3 ，所以 bn1bnln(n1)2ln n(a1b
16、1)3n 1.根据指 数函数和对数函数的性质，可知数列bn从某一项以后单调递增，则 D 正确.故 选 BCD. 感悟升华1.在数学命题中，以数列为载体，常考查周期性、单调性. 2.(1)研究数列的周期性，常由条件求出数列的前几项，确定周期性，进而利用周 期性求值.(2)数列的单调性只需判定 an与 an1的大小，常用作差或作商法进行判 断. 【训练 3】 (1)已知数列an满足 an1 1 1an，若 a 11 2，则 a 2 021() A.1B.1 2 C.1D.2 (2)(多选题)在数列an中，an(n1) 7 8 n ，则数列an中的最大项可以是() A.第 6 项B.第 7 项 C.
17、第 8 项D.第 9 项 答案(1)D(2)AB 解析(1)由 a11 2，a n1 1 1an得 a 22，a31，a41 2，a 52，可知数 列an是以 3 为周期的数列，因此 a2 021a36732a22. (2)假设 an最大，则有 anan1， anan1， 即 （n1） 7 8 n （n2） 7 8 n1 ， （n1） 7 8 n n 7 8 n1 ， 所以 n17 8（n2） ， 7 8（n1）n， 即 6n7，所以最大项为第 6 项和第 7 项. A 级基础巩固 一、选择题 1.已知数列 5，11，17，23，29，则 55是它的() A.第 19 项B.第 20 项 C.
18、第 21 项D.第 22 项 答案C 解析数列 5，11，17，23，29， ， 中的各项可变形为 5， 56， 526， 536， 546， 所以通项公式为 an 56（n1） 6n1， 令 6n15 5，得 n21. 2.已知数列an满足：任意 m，nN*，都有 anamanm，且 a11 2，那么 a 5 () A. 1 32 B. 1 16 C.1 4 D.1 2 答案A 解析由题意，得 a2a1a11 4，a 3a1a21 8，则 a 5a3a2 1 32. 3.在数列an中，a12，an1anln 11 n ，则 an等于() A.2ln nB.2(n1)ln n C.2nln n
19、D.1nln n 答案A 解析因为 an1anln n1 n ln(n1)ln n， 所以 a2a1ln 2ln 1，a3a2ln 3ln 2， a4a3ln 4ln 3， anan1ln nln(n1)(n2). 把以上各式分别相加得 ana1ln nln 1， 则 an2ln n(n2)，且 a12 也适合， 因此 an2ln n(nN*). 4.已知递增数列an，an0，a10.对于任意的正整数 n，不等式 t2a2n3t3an 0 恒成立，则正数 t 的最大值为() A.1B.2C.3D.6 答案C 解析因为数列an是递增数列， 又 t2a2n3t3an(tan3)(tan)0， ta
20、n0，所以 tan3 恒成立， t(an3)mina133，所以 tmax3. 5.(2021潍坊质检)意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例， 引入 “兔子 数列” ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即 F(1)F(2)1，F(n)F(n 1)F(n2)(n3，nN*)，此数列在现代物理“准晶体结构” 、化学等领域都 有着广泛的应用.若此数列被 2 整除后的余数构成一个新数列an， 则数列an的 前 2 022 项的和为() A.674B.673C.1 348D.2 020 答案C 解析由数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，各项除以 2 的余数， 可得a
21、n为 1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0， 所以an是周期为 3 的数列， 一个周期中三项和为 1102， 又 2 0226743， 所以数列an的前 2 022 项的和 S2 02267421 348. 6.(多选题)已知数列an的通项为 an 2 3 n1 2 3 n1 1 ，则下列表述正确的是 () A.最大项为 0B.最大项不存在 C.最小项为1 4 D.最小项为20 81 答案AD 解析由题意得 a1 2 3 11 2 3 11 1 1(11)0， 当 n1 时，0 2 3 n1 1， 2 3 n1 10，an 2 3 n1 2 3 n1 1 0；当 n3 时，an1an1；当 n6 时，ana 1a2a3a4，a5a6a7an1(n N*). 数列an中的最大项为 a52，最小项为 a40. (2)an1 1 a2（n1）1 1 2 n2a 2 ， 已知对任意的 nN*，都有 ana6成立， 结合函数 f(x)1 1 2 x2a 2 的单调性， 可知 52a 2 6，即10aa1. 综上，a 的取值范围是9，3)(3，).
