1、微课三最值、范围问题 题型一最值问题 【例 1】(2021长沙一模)已知椭圆：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F 1， F2.短轴的两个顶点与 F1，F2构成面积为 2 的正方形， (1)求的方程； (2)如图所示，过右焦点 F2的直线交椭圆于 A，B 两点，连接 AO 并延长，交 于点 C，求ABC 面积的最大值 解(1)因为椭圆 C 的短轴的两个顶点与 F1，F2构成面积为 2 的正方形， 所以 bc，S正a22，则 a 2，bc1， 故椭圆的方程为x 2 2 y21. (2)当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 yk(x1)， 联立 yk（x1） ，
2、 x2 2 y21， 消去 y 整理得(12k2)x24k2x2k220， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 4k2 12k2，x 1x22k 22 12k2， 所以|AB| 1k2 （x1x2）24x1x2 1k2 4k2 12k2 2 42k 22 12k2 2 2（1k2） 12k2 ， 点 O 到直线 kxyk0 的距离 d |k| 1k2， 因为 O 是线段 AC 的中点，所以点 C 到直线 AB 的距离为 2d 2|k| 1k2， 所以ABC 面积 S1 2|AB|2d 1 2 2 2（1k2） 12k2 2|k| 1k22 2 k2（1k2） （12k2）2
3、2 2 1 4 1 4（2k21）2b0)的离心率 e 3 2 ，直线 x 3y10 被 以椭圆 C 的短轴为直径的圆截得的弦长为 3. (1)求椭圆 C 的方程； (2)过点 M(4，0)的直线 l 交椭圆于 A，B 两个不同的点，且|MA|MB|，求的 取值范围 解(1)原点到直线 x 3y10 的距离为1 2， 由题得 1 2 2 3 2 2 b2(b0)，解得 b1. 又 e2c 2 a21 b2 a2 3 4，得 a2. 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y21. (2)当直线 l 的斜率为 0 时，直线 l：y0 为 x 轴，|MA|MB|12. 当直线 l 的斜率不为 0 时，设
4、直线 l：xmy4，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 xmy4， x2 4 y21，消去 x 得(m 24)y28my120. 由64m248(m24)0，得 m212， 所以 y1y2 12 m24. |MA|MB| m21|y1| m21|y2| (m21)|y1y2|12（m 21） m24 12 1 3 m24 . 由 m212，得 0 3 m24 3 16，所以 39 4 12. 综上可得：39 4 b0)的焦距为 2， 左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F1的直线 l(不与 x 轴重合)交椭圆于 A，B 两点 (1)若点 A 恰好为椭圆的上顶点，且|AB|5 2|F
5、 1B|，求椭圆 E 的标准方程； (2)若点 A 关于点 F2的对称点为点 C，且点 C 恰好在椭圆上，求点 B 的横坐标的 取值范围 解(1)由题意得，F1(1，0)，A(0，b)，设 B(x0，y0)， 由|AB|5 2|F 1B|可得AF1 3 2F 1B ，于是得(1，b)3 2(x 01，y0)， 所以 13 2x 03 2， b3 2y 0， 得 x05 3， y02 3b. 因为点 B 在椭圆上，所以 25 9a2 4b2 9b21， 得 a25，所以 b2514， 故椭圆 E 的标准方程为x 2 5 y 2 4 1. (2)由题意及椭圆的对称性，得 AC 为椭圆的通径 不妨设
6、点 A(1，y1)(y10)，点 B(xB，yB)， 将点 A 的坐标代入x 2 a2 y2 b21，得 1 a2 y21 b21，得 y 1b 2 a ， 于是直线 l 的斜率为 b2 a 0 1（1） b 2 2a， 直线 l 的方程为 yb 2 2a(x1) 联立方程，得 yb 2 2a（x1） ， x2 a2 y2 b21， 消去 y，整理得 (a23)x22(a21)x3a210， 由根与系数的关系，得 1xB3a 21 a23 ， 于是，xB3a 21 a23 . 设 a2t(t1)，则 xB3t1 t3 3 8 t3， 令 f(t)3 8 t3， 则 f(t)在(1，)上单调递减
7、，所以当 t1 时，xB3 8 t3的取值范围为(3， 1)， 即点 B 的横坐标的取值范围是(3，1) “设而不求，整体代换”解圆锥曲线问题 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程主 要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运 算程序，求得运算结果等 【典例】(2020湖北部分重点中学联考)已知抛物线 C：y22px(p0)，点 F 为抛 物线 C 的焦点，点 A(1，m)(m0)在抛物线 C 上，且|FA|2，过点 F 作斜率为 k 1 2k2的直线 l 与抛物线 C 交于 P，Q 两点 (1)求抛物线 C 的方程； (2)求APQ
8、面积的取值范围 解(1)由抛物线的定义可得 |FA|xAp 21 p 22，所以 p2， 所以抛物线的方程为 y24x. (2)设直线 l 的方程为 yk(x1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立 yk（x1） ， y24x 得 k2x2(2k24)xk20， 0 恒成立， 由根与系数的关系得 x1x22k 24 k2 ，x1x21， 因为 AFx 轴，则 SAPQ1 2|AF|x 1x2| |x1x2| （x1x2）24x1x2 4 k21 k4 4 1 k2 1 k4， 因为1 2k2，令 t 1 k2， 所以 SAPQ4 t2t 1 4t4， 所以 5SAPQ8 5， 所以AP
9、Q 的面积的取值范围为 5，8 5 素养提升本例的解题过程体现了数学运算素养，其中设出 P，Q 点的坐标而不 求解又体现了数学运算素养中的一个运算技巧设而不求， 从而简化了运算过 程 1(2020新高考海南卷)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)过点 M(2，3)，点 A 为其 左顶点，且 AM 的斜率为1 2. (1)求 C 的方程； (2)点 N 为椭圆上任意一点，求AMN 的面积的最大值 解(1)由题意可知直线 AM 的方程为 y31 2(x2)，即 x2y4. 当 y0 时，解得 x4， 所以 a4. 由椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)过点 M(2，3)，
10、可得 4 16 9 b21，解得 b 212. 所以 C 的方程为x 2 16 y2 121. (2)设与直线 AM 平行的直线方程为 x2ym(m4) 如图所示，当直线与椭圆相切时，与 AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为 N， 此时AMN 的面积取得最大值 联立直线方程 x2ym 与椭圆方程x 2 16 y2 121， 可得 3(m2y)24y248， 化简可得 16y212my3m2480， 所以144m2416(3m248)0， 即 m264，解得 m8， 与 AM 距离比较远的直线方程为 x2y8， 点 N 与直线 AM 的距离即两平行线之间的距离， 即 d 84 14 12 5 5
11、 ， 由两点之间距离公式可得|AM| （24）2323 5. 所以AMN 的面积的最大值为1 23 5 12 5 5 18. 2(2020惠州三调)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)过点 P 1，3 2 ，且左焦点与抛物线 y24x 的焦点重合 (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线 l：ykxm(k0)与椭圆交于不同的两点 M，N，线段 MN 的中点记为 A，且线段 MN 的垂直平分线过定点 G 1 8，0，求 k 的取值范围 解(1)抛物线 y24x 的焦点坐标为(1，0)， 椭圆的左、右焦点坐标分别为 F1(1，0)，F2(1，0)， 又椭圆过点 P 1，3 2 ， 由椭圆的定
12、义知，2a|PF1|PF2|4， a2，又 c1，b 3， 椭圆的标准方程为x 2 4 y 2 3 1. (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x，y)， 则x 2 1 4 y 2 1 3 1，x 2 2 4 y 2 2 3 1， 两式相减得x 2 1x22 4 y 2 1y22 3 ，即y1y2 x1x2 3 4 x1x2 y1y2， 点 A 的坐标满足方程 y 3 4kx， 又直线 AGMN 且直线 AG 过点 G 1 8，0， 点 A 的坐标也满足方程 y1 k x1 8 ， 联立解得 x1 2，y 3 8k，即 A 1 2， 3 8k . 点 A 在椭圆x 2 4 y 2 3 1 的内部， 1 16 3 64k2 1 20，k 5 10或 k 5 10， k 的取值范围为 ， 5 10 5 10，.
