1、核心热 点 真题印证核心素养 三角函 数的图 像与性 质 2020全国，7；2020全国，16；2020天津，8； 2019全国，11；2019北京，9；2019全国，12； 2019天津，7；2018全国，10；2018全国，16； 2018全国，15 直观想象、逻 辑推理 三角恒 等变换 2020全国，9；2020全国，2；2020全国，9； 2019全国，10；2019浙江，18；2018浙江，18； 2018江苏，16；2018全国，15；2018全国，4 逻辑推理、数 学运算 解三角 形 2020全国，16；2020全国，7；2020北京，17； 2020天津，16；2020新高考山
2、东，17；2020浙江， 18；2019全国，17；2019全国，18；2019北京， 15；2019江苏，15；2018全国，17 逻辑推理、数 学运算 三角函数的图像与性质 (必修第三册 P109 第 14 题) 求下列函数的周期，最值和最值点 (1)ysin xcos x； (2)y 3cos2x1 2sin 2x. 试题评析两个题目主要涉及三角恒等变换和三角函数的性质，题目求解的关 键在于运用二倍角公式及两角和公式化为 yAsin(x)k 的形式，然后利用 三角函数的性质求解. 【教材拓展】已知函数 f(x)4tan xsin 2xcos x 3 3. (1)求 f(x)的定义域与最小
3、正周期； (2)讨论 f(x)在区间 4， 4 上的单调性. 解(1)f(x)的定义域为x|x 2k，kZ， f(x)4tan xcos xcos x 3 3 4sin xcos x 3 3 4sin x 1 2cos x 3 2 sin x 3 2sin xcos x2 3sin2x 3 sin 2x 3cos 2x 2sin 2x 3 . 所以 f(x)的最小正周期 T2 2 . (2)由 22k2x 3 22k(kZ)， 得 12kx 5 12k(kZ). 设 A 4， 4 ，Bx| 12kx 5 12k，kZ，易知 AB 12， 4 . 所以当 x 4， 4 时，f(x)在区间 12，
4、 4 上单调递增，在区间 4， 12 上 单调递减. 探究提高1.将 f(x)变形为 f(x)2sin 2x 3 是求解的关键：(1)利用商数关系统 一函数名称；(2)活用和、差、倍角公式化成一复角的三角函数. 2.把“x”视为一个整体，借助复合函数性质求 yAsin(x)B 的单调 性及奇偶性、最值、对称性等问题. 【链接高考】(2019浙江卷)设函数 f(x)sin x，xR. (1)已知0，2)，函数 f(x)是偶函数，求的值； (2)求函数 y f x 12 2 f x 4 2 的值域. 解(1)因为 f(x)sin(x)是偶函数， 所以，对任意实数 x 都有 sin(x)sin(x)
5、， 即 sin xcos cos xsin sin xcos cos xsin ， 故 2sin xcos 0，所以 cos 0. 又0，2)，因此 2或 3 2 . (2)y f x 12 2 f x 4 2 sin2 x 12 sin2 x 4 1 2 1cos 2x 6 1 2 1cos 2x 2 11 2 3 2 cos 2x3 2sin 2x 1 3 2 cos 2x 3 . 由于 xR，知 cos 2x 3 1，1， 因此，所求函数的值域为 1 3 2 ，1 3 2 . 三角函数与平面向量 【例题】(2020湘赣十四校联考)已知向量 m(sin x，1)，n( 3，cos x)，且
6、 函数 f(x)mn. (1)若 x 0， 2 ，且 f(x)2 3，求 sin x 的值； (2)在锐角三角形 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a 7，ABC 的面积为3 3 2 ，且 f A 6 7 3 bsin C，求ABC 的周长. 自主解答 解(1)f(x)mn(sin x，1)( 3，cos x) 3sin xcos x2sin x 6 . f(x)2 3，sin x 6 1 3. 又x 0， 2 ，x 6 6， 3 ， cos x 6 2 2 3 . sin xsin x 6 6 1 3 3 2 2 2 3 1 2 32 2 6 . (2)f A 6
7、7 3 bsin C， 2sin A 7 3 bsin C，即 6sin A 7bsin C. 由正弦定理可知 6a 7bc. 又a 7，bc6. 由已知ABC 的面积等于 1 2bcsin A 3 3 2 ，sin A 3 2 . 又A 0， 2 ，A 3. 由余弦定理，得 b2c22bccos Aa27，故 b2c213， (bc)225，bc5， ABC 的周长为 abc5 7. 探究提高1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法” ， 即先利用三角公式对三角函数式进行“化简” ；然后把以向量共线、向量垂直、 向量的数量积运算等形式出现的条件转化为三角函数式；再活用正、余
8、弦定理对 边、角进行互化. 2.这种问题求解的难点一般不是向量的运算， 而是三角函数性质、 恒等变换及正、 余弦定理的应用，只不过它们披了向量的“外衣”. 【尝试训练】(2021重庆质检)已知 a(5 3cos x，cos x)，b(sin x，2cos x)，函 数 f(x)ab|b|2. (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求函数 f(x)的单调减区间； (3)当 6x 2时，求函数 f(x)的值域. 解f(x)ab|b|25 3cos xsin x2cos2xsin2x4cos2x5 3sin xcos xsin2x 6cos2x 5 3 2 sin 2x1cos 2x 2 3(
9、1cos 2x) 5 3 2 sin 2x5 2cos 2x 7 25sin 2x 6 7 2. (1)f(x)的最小正周期 T2 2 . (2)由 2k 22x 62k 3 2 (kZ)得 k 6xk 2 3 (kZ). f(x)的单调减区间为 k 6，k 2 3 (kZ). (3) 6x 2， 22x 6 7 6 ， 1 2sin 2x 6 1， 15sin 2x 6 7 2 17 2 . 当 6x 2时，函数 f(x)的值域为 1，17 2 . 解三角形 【例题】(12 分)(2020全国卷)ABC 中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C. (1)求 A； (2)若 BC
10、3，求ABC 周长的最大值. 规范解答 解(1)由正弦定理和已知条件得用正弦定理化角为边 BC2AC2AB2ACAB.2 由余弦定理得 BC2AC2AB22ACABcos A. 由得 cos A1 2. 用余弦定理化边为角4 因为 0A，所以 A2 3 .6 (2)由正弦定理及(1)得 AC sin B AB sin C BC sin A2 3， 8 从而 AC2 3sin B， AB2 3sin(AB)3cos B 3sin B. 故 BCACAB3 3sin B3cos B 32 3sin B 3 .两角和正弦公式的逆用10 又 0B 3，所以当 B 6时，ABC 周长取得最大值 32 3
11、. 三角函数性质的 应用12 写全得步骤分：对于解题过程中得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分 点步骤一定要写全，如第(1)问中只要写出 0A就有分，没写就扣 1 分，第(2) 问中 0Bb， cos B11 6 30 6 . (2)由第(1)问可知，A 4， sin(AB)sin Bcos Bcos(BA) sin B 4 sin Bcos Bcos B 4 2 2 sin B 2 2 cos Bsin Bcos B 2 2 cos B 2 2 sin B 2(sin Bcos B)sin Bcos B， 令 tsin Bcos B，则 t212sin Bcos B， sin(AB)sin Bcos Bcos(BA) 2t1 2(t 21)， 令 y1 2t 2 2t1 2 1 2(t 2) 23 2，t(0， 2， 当 t 2，即 B 4时，sin(AB)sin Bcos Bcos(BA)取得最大值 5 2.
