1、天一大联考 20202021 学年海南省高三年级第三次模拟考试 数学参考答案及评分细则 一、单项选择题 1B 2D 3A 4D 5B 6A 7C 8A 二、多项选择题 9AC 10ABD 11AD 12BD 三、填空题 1387% 141；2 15 3 2 2 + 165 四、解答题 17解：选择条件：11bc+= 由条件可得 4 cos A b =，11cb=， （2 分） 由余弦定理得 222 cos 2 cb A b a c + =， （4 分） 即 22 4(11)49 2 (11) bb bbb + = ， （6 分） 化简得 2 780bb= ，解得8b =（1b = 舍去） ，
2、（8 分） （只有解得8b =不扣分，但解出1b = 没有舍去扣 1 分） 从而113cb= （10 分） 选择条件： 1 cos 7 B = 因为ABC+=， （1 分） 所以sinsin()sincoscossinCABABAB=+=+， （3 分） 再根据正弦定理有coscoscaBbA=+， （5 分） 所以 1 745 7 c =+=， （6 分） 由余弦定理得 222 2cosabcbcA=+ ，即 2 492540b=+ ， （8 分） 所以8b = （10 分） 选择条件：sin3sinCB= 根据正弦定理可得3cb=， （2 分） 根据三角形的性质cba，即2ba，即 7 2
3、 b ，显然不成立 （8 分） 所以ABC不存在 （10 分） 18解： （）设 n a的公差为d 由已知得 53 26daa=，所以3d = （2 分） 231 3112aaad+=+=，得 1 1a =， （3 分） 因此 1 (1)32 n aandn=+= （5 分） （）设 n b的公比为q 由条件知 22 4ba=， 36 16ba=， （6 分） 所以4q=， 1 1b =，所以 1 4n n b = （8 分） 所以 7 127 41 5461 4 1 bbb += ， （10 分） 令325461n=，得1821n =， （11 分） 所以 n b的前 7 项之和与数列 n
4、a的第 1821 项相等 （12 分） （没有设公差d或公比q，整体扣 1 分，不重复扣） 19解： （）因为X服从正态分布 2 (63,13 )N， 所以 1 (76)(63 13) 0.6827 0.15865 2 P XP X =+=， （3 分， 每步 1 分） 因此进入面试的人数为0.15865100501 9 （5 分，算式和结果各 1 分） （）由题可知，Y的可能取值为 0，2，4，6，8，10， （6 分） 则 2 341 (0)11 45100 P Y = ； 2 343 (2)1 45100 P Y = ； 1 2 34482 (4)1C1 45510025 P Y = ；
5、 1 2 344246 (6)C1= 45510025 P Y = ； 2 34164 (8)1= 4510025 P Y = ； 2 344812 (10)= 4510025 P Y = （9 分，每计算对 2 个得 1 分） 故Y的分布列为： （10 分） （没有表格扣 1 分，只有表格没有列式计算扣 2 分） 所以 1326412 ( )0246810 10010025252525 E Y =+ + + + + （11 分） 790 7.9 100 = （12 分） 20解： （）因为PA 平面ABC，CD 平面ABC，所以PACD， （1 分） 因为ACBC=，D是AB的中点，所以CD
6、AB， （2 分） 又因为PAABA=，所以CD 平面PAB， （3 分，缺条件扣 1 分） 因为PB 平面PAB，所以CDPB （4 分） 四面体PACD是鳖臑， （5 分） 四个面的直角分别为PAD，PAC，ADC，PDC （6 分） （） 若四面体PABC是鳖臑， 则ABC为等腰直角三角形，ACBC，且 2ACBC= 如图所示，以A为坐标原点，以,AC PC 的方向分别为 x，z 轴的正方向，建立空 间直角坐标系 （7 分） Y 0 2 4 6 8 10 P 1 100 3 100 2 25 6 25 4 25 12 25 由条件可得(0,0,2)P，(0,0,0)A，( 2,2,0)B
7、，( 2,0,0)C， 22 (,0) 22 D ， 所以(2,0,2)CP = ，(0,2,0)CB = ， （8 分） 设平面PBC的法向量为( , , )x y z=n， 所以 220, 20, CPxz CBy = += = n n 取1z = ，可得( 2,0,1)=n， （9 分） 由（）可知平面PAB的法向量为 22 (,0) 22 CD = ， （10 分） 13 cos, 3|3 1 CD CD CD = n n n ， （11 分） 观察图可知二面角APBC为锐角，故其余弦值为 3 3 （12 分） 21解： （）联立方程得 2 2 , 2, yx ypx = = 可得(,
8、 ) 2 p Pp， （2 分） 因为点P到C的准线的距离为 2，所以2 22 pp +=，所以2p =， （4 分） 所以抛物线C的方程为 2 4yx= （5 分） （）由（）知(1,2)P，设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy 则 11 2 111 224 12 1 4 AP yy k yxy = + ，因为0 AP k，所以 1 2y ，得 2 1616 22210ytt tt = + +=， （10 分） 当且仅当4t =，即 1 6y = 时等号成立， （11 分） 所以点B的纵坐标的最小值为 10 （12 分） 22解： （） 1ln ( ) ax f x x +
9、=的定义域为(0,)+ ， （1 分） 函数 2 1ln ( ) aax fx x = ， （2 分） 由条件可得(1)0 f =，即1ln10aa =，所以1a = （3 分） 所以 1ln ( ) x f x x + =， 2 ln ( ) x fx x = ， 当01x ，( )f x单调递增，当1x 时，( )0fx ，( )f x单 调递增， （4 分） 所以1x =是( )f x的极大值点 （5 分） （）( )g x的零点即方程( )0g x =的根，亦即 2 2 4e ( ) m f x m =的根 （6 分） 令 2 2 4e ( ) m h m m =，所以 2 3 4e(2) ( ) m m h m m =， （7 分） 令( )0h m=得2m =， 当02m时，( )0h m时，( )0h m， （8 分） 所以 min ( )(2)1h mh= （9 分） 由（）可知当1x =时，( )f x取极大值也是最大值(1)1f=， （10 分） 所以当2m =时，方程( )(2)1f xh=只有一个根1x =； 当0m 且2m 时，( )( )f xh m且2m 时，( )g x没有零点 （12 分）
