1、INNOVATIVE DESIGN 第二章 第8节函数与方程 知识分类落实 考点分层突破 课后巩固作业 内 容 索 引 / 1 2 3 / / 知识分类落实 夯实基础回扣知识1 索引 知识梳理 / 1.函数的零点函数的零点 (1)函数零点的概念函数零点的概念 一般地，如果函数一般地，如果函数yf(x)在实数在实数处的函数值等于零，即处的函数值等于零，即f()0，则称，则称_为函为函 数数yf(x)的零点的零点. (2)函数零点与方程根的关系函数零点与方程根的关系 方程方程f(x)0有实数根有实数根函数函数yf(x)的图像与的图像与x轴有交点轴有交点函数函数yf(x)有零点有零点. (3)函数零
2、点存在定理函数零点存在定理 如果函数如果函数yf(x)在区间在区间a，b上的图像是连续不断的，并且上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)_ 0(即在区即在区 间两个端点处的函数值异号间两个端点处的函数值异号)，则函数，则函数yf(x)在区间在区间(a，b)中至少有一个零点，即中至少有一个零点，即 x0(a，b)，f(x0)0. 0)的图像与零点的关系的图像与零点的关系 b24ac000)的图像的图像 与与x轴的交点轴的交点无交点无交点 零点个数零点个数210 (x1，0)，(x2，0)(x1，0) 索引 1.若连续不断的函数若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则在定义域上是单调函
3、数，则f(x)至多有一个零点至多有一个零点.函数的函数的 零点不是一个零点不是一个“点点”，而是方程，而是方程f(x)0的实根的实根. 2.由函数由函数yf(x)(图像是连续不断的图像是连续不断的)在闭区间在闭区间a，b上有零点不一定能推出上有零点不一定能推出 f(a)f(b)0，如图所示，所以，如图所示，所以f(a)f(b)0是是yf(x)在闭区间在闭区间a，b上有零点的充上有零点的充 分不必要条件分不必要条件. 3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点. 诊断自测 / 索引 1.判断下列结论正误判断下列结论正误(在括号内打在括号内打“”或或“”) (
4、1)函数函数f(x)2x的零点为的零点为0. () (2)图像连续的函数图像连续的函数yf(x)(xD)在区间在区间(a，b)D内有零点，则内有零点，则f(a)f(b)0. ( ) (3)二次函数二次函数yax2bxc(a0)在在b24ac0时没有零点时没有零点. () 解析解析(2)f(a)f(b)0是连续函数是连续函数yf(x)在在(a，b)内有零点的充分不必要条件，内有零点的充分不必要条件， 故故(2)错误错误. 索引 2.已知函数已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：的图像是连续不断的，且有如下对应值表： 在下列区间中，函数在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为必有
5、零点的区间为 () A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5) 解析解析由所给的函数值的表格可以看出，由所给的函数值的表格可以看出，x2与与x3这两个数字对应的函数这两个数字对应的函数 值的符号不同，即值的符号不同，即f(2)f(3)0， 所以函数在所以函数在(2，3)内有零点内有零点. x12345 f(x)42147 B 索引 索引 4.(多选题多选题)(2021威海调研威海调研)下下列说法中正确的是列说法中正确的是 ( ) A.函数函数f(x)x1的零点为的零点为(1，0) B.函数函数f(x)x1的零点为的零点为1 C.函数函数f(x)的零点，即函数的零点，即函数f
6、(x)的图像与的图像与x轴的交点轴的交点 D.函数函数f(x)的零点，即函数的零点，即函数f(x)的图像与的图像与x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标 解析解析根据函数零点的定义，可知根据函数零点的定义，可知f(x)x1的零点为的零点为1.函数函数yf(x)的零点，的零点， 即函数即函数yf(x)的图像与的图像与x轴的交点的横坐标，因此轴的交点的横坐标，因此B，D正确，正确，A，C错误错误. BD 索引 5.(2019全国全国卷卷)函函数数f(x)2sin xsin 2x在在0，2的零点个数为的零点个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析解析由由2sin xsin 2x0，得，得si
7、n x0或或cos x1. 又又x0，2，由，由sin x0，得，得x0，2. 由由cos x1，得，得x0，2. f(x)0有三个实根有三个实根0，2， 即即f(x)在在0，2上有三个零点上有三个零点. B 索引 6.(2021唐山检测唐山检测)方方程程2x3xk的解在的解在1，2)内，则内，则k的取值范围是的取值范围是_. 解析解析令函数令函数f(x)2x3xk，则，则f(x)在在R上是增函数上是增函数. 当方程当方程2x3xk的解在的解在(1，2)内时，内时，f(1)f(2)0， 即即(5k)(10k)0， 解得解得5k10. 又当又当f(1)0时，时，k5. 综上，实数综上，实数k的取
8、值范围是的取值范围是5，10). 5，10) 考点分层突破 题型剖析考点聚焦2 索引 1.(多选题多选题)(2021菏泽质检菏泽质检)函函数数f(x)exx2在下列哪个区间内必有零点在下列哪个区间内必有零点( ) A.(2，1) B.(1，0) C.(0，1) D.(1，2) 因为因为f(2)f(1)0，f(1)f(2)0， 所以所以f(x)在在(2，1)和和(1，2)内存在零点内存在零点. 考点一函数零点所在区间的判定 / 自主演练自主演练 AD 解析解析 f(2) 1 e2 0， f(1)1 e 10， f(0)10， f(1)e30， 索引 f(1)f(2)0，又，又f(x)在在(0，)
9、上单调递增，上单调递增， 函数函数f(x)在在(0，)上只有一个零点，且零点在上只有一个零点，且零点在(1，2)内内. B 索引 3.若若abc，则函数，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分的两个零点分 别位于区间别位于区间 () A.(a，b)和和(b，c)内内B.(，a)和和(a，b)内内 C.(b，c)和和(c，)内内D.(，a)和和(c，)内内 解析解析ab0， f(b)(bc)(ba)0， 由函数零点存在性定理可知，在区间由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，内分别存在零点， 又函数又函数f(x)是二次函数，最多有
10、两个零点，是二次函数，最多有两个零点， 因此函数因此函数f(x)的两个零点分别位于区间的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内内. A 索引 4.已知函数已知函数f(x)logaxxb(a0且且a1).当当2a3b4时，函数时，函数f(x)的零点的零点x0(n， n1)，nN*，则，则n_. 解析解析对于函数对于函数ylogax， 当当x2时，可得时，可得y1，在同一坐标系中画出函数，在同一坐标系中画出函数ylogax， yxb的图像，判断两个函数图像的交点的横坐标在的图像，判断两个函数图像的交点的横坐标在(2，3)内，内， 函数函数f(x)的零点的零点x0(n，n1)时，时，n2. 2
11、 索引 1.确定函数确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：的零点所在区间的常用方法： (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数利用函数零点存在性定理：首先看函数yf(x)在区间在区间a，b上的图像是否连上的图像是否连 续，再看是否有续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数若有，则函数yf(x)在区间在区间(a，b)内必有零点内必有零点. (2)数形结合法：通过画函数图像，观察图像与数形结合法：通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来轴在给定区间上是否有交点来 判断判断. 2.函数零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，函数零点存在性定理只能判断函
12、数在某个区间上的变号零点，不满足条件时， 一定要结合函数性质进行分析判断一定要结合函数性质进行分析判断. 感悟升华 索引 解得解得x2或或xe. 因此函数因此函数f(x)共有共有2个零点个零点. 法二法二函数函数f(x)的图像如图所示，由图像知函数的图像如图所示，由图像知函数f(x)共共 有有2个零点个零点. 考点二确定函数零点的个数 / 师生共研师生共研 B 索引 解析解析由由f(x1)f(x)，得，得f(x2)f(x)，知周期，知周期T2， 令令f(x)|x|0， 得得f(x)|x|. 作出函数作出函数yf(x)与与g(x)|x|的图像如图所示的图像如图所示. 由函数的图像知，由函数的图像
13、知，yf(x)|x|有两个零点有两个零点. A 索引 函数零点个数的判断方法：函数零点个数的判断方法： (1)直接求零点，令直接求零点，令f(x)0，有几个解就有几个零点；，有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理，要求函数在区间零点存在性定理，要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0， 再结合函数的图像与性质确定函数零点个数；再结合函数的图像与性质确定函数零点个数； (3)利用图像交点个数，作出两函数图像，观察其交点个数即得零点个数利用图像交点个数，作出两函数图像，观察其交点个数即得零点个数. 感悟升华 索引 【训练训练1】 (1)(2021重庆
14、调研重庆调研)设设函数函数f(x)2|x|x23，则函数，则函数yf(x)的零点个的零点个 数是数是 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 解析解析易知易知f(x)是偶函数，是偶函数， 当当x0时，时，f(x)2xx23， 所以所以x0时，时，f(x)在在0，)上是增函数，上是增函数， 且且f(1)0，所以，所以x1是函数是函数yf(x)在在0，)上的唯一零点上的唯一零点. 根据奇偶性，知根据奇偶性，知x1是是yf(x)在在(，0)内的零点，内的零点， 因此因此yf(x)有两个零点有两个零点. C 索引 解析解析f(x)2sin xcos xx2sin 2xx2，函数，函数f(x)的零点个数
15、可转化为函数的零点个数可转化为函数y1 sin 2x与与y2x2图像的交点个数，在同一坐标系中画出图像的交点个数，在同一坐标系中画出y1sin 2x与与y2x2的图像如的图像如 图所示：图所示： 由图可知两函数图像有由图可知两函数图像有2个交点，则个交点，则f(x)的零点个数为的零点个数为2. 2 索引 角度角度1根据函数零点个数求参数根据函数零点个数求参数 【例例2】 (1)设设实数实数a，b是关于是关于x的方程的方程|lg x|c的两个不同实数根，且的两个不同实数根，且ab10，则，则 abc的取值范围是的取值范围是_. 解析解析由题意知，如图，在由题意知，如图，在(0，10)上，函数上，
16、函数y|lg x|的图像和直线的图像和直线yc有两个有两个 不同交点，所以不同交点，所以ab1，0clg 101，所以，所以abc的取值范围是的取值范围是(0，1). 考点三函数零点的应用 / 多维探究多维探究 (0，1) 索引 解析解析画出函数画出函数yf(x)的图像，如图的图像，如图. D 索引 当直线当直线 l 经过点经过点 B 时，有时，有 11 4 1a，a5 4； ； 索引 索引 D 即即 ax1 x在 在 1 2， ，3 上有解，设上有解，设 tx1 x， ，x 1 2， ，3 ， 索引 解析解析由由f(x1)f(x1)f(1x)，可知，可知f(x)为偶函数，为偶函数， 且一条对
17、称轴为直线且一条对称轴为直线x1； 再由再由f(x1)f(x1)，可得，可得f(2x)f(x)，求得周期为，求得周期为2. 根据根据x1，2时，时，f(x)log2x，作出函数，作出函数f(x)的草图，的草图， 如图所示：如图所示： C 索引 方程方程f(x)ax0在在(0，)上恰好有两个不等的实数根，上恰好有两个不等的实数根， 函数函数yax与与yf(x)的图像在的图像在y轴右侧有两个交点轴右侧有两个交点. 设设yax与与ylog2x的图像相切时，切点坐标为的图像相切时，切点坐标为(x0，log2x0)， 由图像可知，当直线由图像可知，当直线yax过点过点(2，1)时，方程时，方程f(x)a
18、x0在在(0，)上恰好上恰好 有两个不等的实数根，有两个不等的实数根， 索引 1.已知函数的零点求参数，主要方法有：已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程直接求方程的根，构建方程(不不 等式等式)求参数；求参数；(2)数形结合；数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值分离参数，转化为求函数的最值. 2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函 数的图像的交点问题，需准确画出两个函数的图像，利用图像写出满足条数的图像的交点问题，需准确画出两个函数的图像，利用图像写出满足条 件的参数范
19、围件的参数范围. 感悟升华 索引 因此若因此若f(x)无零点，必然有无零点，必然有a0. 当当yax与与yex相切时，设切点相切时，设切点P(x0，ex0)， 则则aex0且且ex0ax0， aax0， x01，则切线斜率，则切线斜率kex0|x01e. 因此，要使曲线因此，要使曲线yex与与yax不相交，则不相交，则0ae. A 索引 【训练训练2】 (2)(2020山东实验中学模拟山东实验中学模拟)若若函数函数f(x)(m2)x2mx2m1的两的两 个零点分别在区间个零点分别在区间(1，0)和区间和区间(1，2)内，则内，则m的取值范围是的取值范围是_. 解得解得1 4mt1)， 则则t1
20、1，t21. 当当t11时，时，t1f(x)有一解；有一解； 当当t21时，时，t2f(x)有两解有两解. 综上，当综上，当a1时，函数时，函数g(x)f(f(x)a有三个不同的零点有三个不同的零点. 1，) 索引 1.求解本题抓住分段函数的图像性质，由求解本题抓住分段函数的图像性质，由ya与与yf(t)的图像，确定的图像，确定t1，t2的取值的取值 范围，进而由范围，进而由tf(x)的图像确定零点的个数的图像确定零点的个数. 2.含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来动起来”，抓临界位置，动，抓临界位置，动 静结合静结合.抓住两点：抓住两
21、点：(1)转化换元；转化换元；(2)充分利用函数的图像充分利用函数的图像. 思维升华 索引 解析解析当当x0时，时，f(x)4x36x21的导数为的导数为f(x)12x212x， 当当0 x1时，时，f(x)0，f(x)单调递增，可得单调递增，可得f(x) 在在x1处取得最小值，最小值为处取得最小值，最小值为1，且，且f(0)1，作出函数，作出函数f(x)的图像，的图像，g(x) 3f(x)210f(x)3，可令，可令g(x)0，tf(x)，可得，可得3t210t30， 当当t3时，可得时，可得f(x)3有一个实根，即有一个实根，即g(x)有一个零点，有一个零点， 综上，综上，g(x)共有四个
22、零点共有四个零点. A 课后巩固作业 提升能力分层训练3 A级 基础巩固 / 011213141507080910110203040506索引16 解析解析当当x1时，令时，令f(x)2x10，解得，解得x0； 又因为又因为x1，所以此时方程无解，所以此时方程无解. 综上，函数综上，函数f(x)的零点只有的零点只有0. D 01121314150708091011020304050616索引 由由f(a)f(b)f(c)0， 得得f(a)0，f(b)0，f(c)0，f(b)0，f(c)0. x0a或或bx0c不成立不成立. B 01121314150708091011020304050616索
23、引 3.(2020西安调研西安调研)设设函数函数f(x)exx2，g(x)ln xx23.若实数若实数a，b满足满足 f(a)0，g(b)0，则，则 () A.g(a)0f(b) B.f(b)0g(a) C.0g(a)f(b) D.f(b)g(a)0 解析解析易知函数易知函数f(x)单调递增，单调递增， 且且f(0)10， 由由f(a)0知知0a1；函数；函数g(x)在定义域内单调递增，在定义域内单调递增， g(1)20， 由由g(b)0知知2b1， 所以所以g(a)g(1)f(1)0，故，故g(a)0f(b). A 01121314150708091011020304050616索引 所以所
24、以g(2)g(3)0)，y2ln x(x0)的图像，如图所示的图像，如图所示. 由图可知函数由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为在定义域内的零点个数为2. C 01121314150708091011020304050616索引 因此当因此当x0时，时，f(x)exa0只有一个实根，只有一个实根， aex(x0)，则，则1a0 时，时，f(x)3x1 有一个零点有一个零点 x1 3. 01121314150708091011020304050616索引 所以所以(a)(41a)0，即，即a(a3)0，所以，所以0a0且 且a1)的两个零点是的两个零点是m，n，则，则 () A.mn1 B
25、.mn1 C.0mn1 D.以上都不对以上都不对 C 所以所以0mn1，故选，故选C. 01121314150708091011020304050616索引 01121314150708091011020304050616索引 3 所以函数所以函数f(x)在在0，的零点个数为的零点个数为3. 01121314150708091011020304050616索引 11.若若x1是方程是方程xex1的解，的解，x2是方程是方程xln x1的解，则的解，则x1x2_.1 01121314150708091011020304050616索引 解解函数函数f(x)的图像如图所示的图像如图所示. 0112
26、1314150708091011020304050616索引 故故f(x)在在(0，1上是减函数，在上是减函数，在(1，)上是增函数，上是增函数， 由由0ab且且f(a)f(b)，得，得0a1b， 01121314150708091011020304050616索引 解解由函数由函数f(x)的图像可知，当的图像可知，当0m1时，方程时，方程f(x)m有两个不相等的正根，有两个不相等的正根， 即实数即实数m的取值范围为的取值范围为(0，1). B级 能力提升 / 索引01121314150708091011020304050616 13.(多选题多选题)(2021淄博模拟淄博模拟)已已知函数知函
27、数yf(x)是是R上的奇函数，对于任意上的奇函数，对于任意xR， 都有都有f(x4)f(x)f(2)成立成立.当当x0，2)时，时，f(x)2x1.给出下列结论，其中给出下列结论，其中 正确的是正确的是 ( ) A.f(2)0 B.点点(4，0)是函数是函数yf(x)图像的一个对称中心图像的一个对称中心 C.函数函数yf(x)在区间在区间6，2上单调递增上单调递增 D.函数函数yf(x)在区间在区间6，6上有上有3个零点个零点 解析解析对于对于A：因为：因为f(x)为奇函数且对任意为奇函数且对任意xR，都有，都有f(x4)f(x)f(2)，令，令 x2，则，则f(2)f(2)f(2)0，故，故
28、A正确；正确； AB 01121314150708091011020304050616索引 对于对于B：由：由A知，知，f(2)0， 则则f(x4)f(x)， 则则4为为f(x)的一个周期的一个周期. 因为因为f(x)的图像关于原点的图像关于原点(0，0)成中心对称，成中心对称， 则则(4，0)是函数是函数f(x)图像的一个对称中心，故图像的一个对称中心，故B正确；正确； 对于对于C：因为：因为f(6)0，f(5)f(54)f(1)f(1)1，65， 而而f(6)f(5)， 所以所以f(x)在区间在区间6，2上不是单调递增的，故上不是单调递增的，故C错误；错误； 对于对于D：因为：因为f(0)
29、0，f(2)0， 所以所以f(2)0.又又4为为f(x)的一个周期，的一个周期， 所以所以f(4)0，f(6)0，f(4)0，f(6)0， 所以函数所以函数yf(x)在区间在区间6，6上有上有7个零点，故个零点，故D错误错误.故选故选AB. 01121314150708091011020304050616索引 BCD 由图可知，由图可知，x1x22，2x11； 01121314150708091011020304050616索引 当当 y1 时，时，|log2x|1，有，有 x1 2， ，2， 由由f(x3)f(x4)，有，有|log2x3|log2x4|， 即即log2x3log2x40，
30、所以所以x3x41， 则则x1x2x3x4x1x2x1(2x1)(x11)21(0，1).故选故选BCD. 01121314150708091011020304050616索引 解析解析当当x0时，必存在时，必存在x0e a0，使得 ，使得f(x0)0， 因此对任意实数因此对任意实数a，f(x)在在(，0)内必有一个零点；内必有一个零点； 当当x0时，时，f(x)是周期为是周期为1的周期函数，的周期函数， 且且0 x1时，时，f(x)1x.因此可画出函数因此可画出函数 的大致图像，的大致图像， 如图所示，可知函数如图所示，可知函数f(x)的零点个数为的零点个数为1. 1 01121314150
31、708091011020304050616索引 解析解析若若2，当，当x2时，令时，令x40，得，得2x4； 当当x2时，令时，令x24x30，解得，解得1x2.综上可知，综上可知，1x4， 所以不等式所以不等式f(x)0的解集为的解集为(1，4). (1，4) 01121314150708091011020304050616索引 (1，3(4，) 解析解析令令f(x)0，当，当x时，时，x4， 当当x时，时，x24x30， 解得解得x1或或x3. 因为函数因为函数f(x)恰有恰有2个零点，个零点， 结合如图函数的图像知，结合如图函数的图像知， 14. INNOVATIVE DESIGN THANKS本节内容结束
