1、INNOVATIVE DESIGN 第十章 第9节随机变量的数字特征 知识分类落实 考点分层突破 课后巩固作业 内 容 索 引 / 1 2 3 / / 知识分类落实 夯实基础回扣知识1 索引 知识梳理 / 1.离散型随机变量的数学期望与方差、标准差离散型随机变量的数学期望与方差、标准差 一般地，如果离散型随机变量一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示的分布列如下表所示 Xx1x2xkxn Pp1p2pkpn (1)均值均值 称称E(X)_为离散为离散 型随机变量型随机变量X的的_或或_ (简称为期望简称为期望).离散型随机变量离散型随机变量X的均值的均值E(X) 也可用也可用EX表示，
2、它刻画了表示，它刻画了X的的_，在离散型随机变量，在离散型随机变量X的分布列的直的分布列的直 观图中，观图中，E(X)处于处于_. x1p1x2p2xnpn 均值均值数学期望数学期望 平均取值平均取值 平衡位置平衡位置 索引 离散程度离散程度 标准差标准差 索引 2.均值与方差的性质均值与方差的性质 aE(X)b a2D(X) 索引 3.两点分布、二项分布及超几何分布的数学期望与方差两点分布、二项分布及超几何分布的数学期望与方差 (1)两点分布：两点分布：E(X)1p0(1p)_； D(X)p(1p). (2)二项分布，若二项分布，若XB(n，p)，则，则E(X)_， D(X)_. p np
3、np(1p) 索引 诊断自测 / 索引 1判断下列结论正误判断下列结论正误(在括号内打在括号内打“”或或“”) (1)期望值就是算术平均数，与概率无关期望值就是算术平均数，与概率无关 () (2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量 () (3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方 差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小 () (4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回均值与方差都是从整体
4、上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回 事事 () 索引 2(多选题多选题)设设离散型随机变量离散型随机变量X的分布列为的分布列为 X 01234 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量若离散型随机变量Y满足满足Y2X1，则下列结果正确的有，则下列结果正确的有 ( ) Aq0.1BE(X)2，D(X)1.4 CE(X)2，D(X)1.8DE(Y)5，D(Y)7.2 解析解析因为因为q0.40.10.20.21， 所以所以q0.1， 故故A正确；正确； ACD 索引 又又E(X)00.110.420.130.240.22， D(X)(02)20.1(12)20.4(22)2
5、0.1(32)20.2(42)20.2 1.8， 故故C正确；正确； 因为因为Y2X1， 所以所以E(Y)2E(X)15， D(Y)4D(X)7.2， 故故D正确正确 故选故选ACD. 索引 3若随机变量若随机变量X满足满足P(Xc)1，其中，其中c为常数，则为常数，则D(X)的值为的值为_ 解析解析P(Xc)1， E(X)c1c， D(X)(cc)210. 0 索引 4(2021武汉模拟武汉模拟)某射某射手射击所得环数手射击所得环数的分布列如下表：的分布列如下表： 78910 P x 0.1 0.3y 已知已知的数学期望的数学期望E()8.9，则，则y的值为的值为 () A0.8 B0.6
6、C0.4 D0.2 解析解析由题中表格可知由题中表格可知x0.10.3y1，7x80.190.310y8.9， 解得解得y0.4. 故选故选C. C 索引 5(2018全国全国卷卷)某群某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的，各成员的 支付方式相互独立设支付方式相互独立设X为该群体的为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，位成员中使用移动支付的人数，D(X) 2.4，P(X4)P(X6)，则，则p () A0.7 B0.6 C0.4 D0.3 B 解析解析由题意知，该群体的由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，位成员
7、使用移动支付的概率分布符合二项分布， 所以所以D(X)10p(1p)2.4， 所以所以p0.6或或p0.4. 即即(1p)20.5， 所以所以p0.6. 索引 B 解析解析X的可能取值为的可能取值为1，2，3，4，四种情形的数学期望，四种情形的数学期望E(X)1p12p2 3p34p4都为都为2.5， A选项的方差选项的方差D(X)0.65；B选项的方差选项的方差D(X)1.85；C选项的方差选项的方差D(X)1.05； D选项的方差选项的方差D(X)1.45. 可知选项可知选项B的情形对应样本的标准差最大故选的情形对应样本的标准差最大故选B. 考点分层突破 题型剖析考点聚焦2 索引 【例例1
8、】(2020郑州二检郑州二检)某市某市为了解本市为了解本市1万名小学生的普通话水平，对全市范万名小学生的普通话水平，对全市范 围内的小学生进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进围内的小学生进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进 行统计，发现总体行统计，发现总体(这这1万名小学生普通话测试成绩万名小学生普通话测试成绩)服从正态分布服从正态分布N(69，49) (1)从这从这1万名小学生中任意抽取万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩 在在(62，90内的概率内的概率 考点一离散型随机变量的均值与方差 /
9、师生共研师生共研 解解因为这些小学生的普通话测试成绩因为这些小学生的普通话测试成绩t服从正态分布服从正态分布N(69，49)， 所以所以69，7. 索引 【例例1】 (2)现在从总现在从总体中随机抽取体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如 下：下： 50，52，56，62，63，68，65，64，72，80，67，90. 从这从这12个数据中随机选取个数据中随机选取4个，记个，记X表示大于总体平均分的个数，求表示大于总体平均分的个数，求X的方差的方差 参考数据：若参考数据：若YN(，2)，则，则P(Y)0.6827，P(2Y 2)0.954
10、5，P(3Y3)0.9973. 索引 (1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随 机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算 (2)注意注意E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)的应用的应用 感悟升华 索引 【训练【训练1】 (2021新高考新高考8省联考省联考)一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中， 部件部件1，2，3需要调整的概率分别为需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件
11、的状态相互独立，各部件的状态相互独立. (1)求设备在一天的运转中，部件求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有中至少有1个需要调整的概率；个需要调整的概率； 解解设设“部件部件1，2，3中需要调整的事件中需要调整的事件”分别为分别为A1，A2，A3，则，则P(A1)0.1， P(A2)0.2，P(A3)0.3. 由于部件由于部件1，2的状态相互独立，的状态相互独立， 索引 【训练【训练1】(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求，求X的分布列及的分布列及 均值均值. 解解由题意知，设备在一天的运转中需要调整的部件个数可能为由题意知，设备在一
12、天的运转中需要调整的部件个数可能为0，1，2，3. 则则P(X0)1P(A1)1P(A2)1P(A3)(10.1)(10.2)(10.3)0.504. P(X1)P(A1)1P(A2)1P(A3)1P(A1)P(A2)1P(A3)1P(A1)1 P(A2)P(A3)0.10.80.70.90.20.70.90.80.30.0560.1260.216 0.398， 索引 P(X2)P(A1)P(A2)1P(A3)P(A1)1P(A2)P(A3)1P(A1)P(A2)P(A3) 0.10.20.70.10.80.30.90.20.30.0140.0240.0540.092. P(X3)P(A1)P
13、(A2)P(A3)0.10.20.30.006. 则则X的分布列如下：的分布列如下： X0123 P0.5040.3980.0920.006 故故E(X)00.50410.39820.09230.0060.3980.1840.0180.6. 索引 【例例2】 (2020东北三省三校联考东北三省三校联考)随着经随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一济的发展，轿车已成为人们上班代步的一 种重要工具现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所种重要工具现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所 示示 (1)求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在求此人这三年以来每周开
14、车从家到公司的时间之和在6.5，7.5)(时时)内的频率；内的频率； 解解依题意，此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在依题意，此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在6.5，7.5)(时时)内内 的频率为的频率为10.030.10.20.190.090.040.35. 考点二二项分布的均值与方差 / 师生共研师生共研 索引 【例例2】 (2)求求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数(每组取每组取 该组的中间值作代表该组的中间值作代表)； 索引 【例例2】 (3)以频率以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到
15、公司的时估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时 间之和在间之和在4.5，6.5)(时时)内的周数为内的周数为X，求，求X的分布列以及数学期望的分布列以及数学期望 索引 故故X的分布列为的分布列为 索引 感悟升华 索引 【训练训练2】一批产品一批产品的二等品率为的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回，从这批产品中每次随机取一件，有放回 地抽取地抽取100次，次，X表示抽到的二等品件数，则表示抽到的二等品件数，则D(X)_ 解析解析有放回地抽取，是一个二项分布模型，其中有放回地抽取，是一个二项分布模型，其中p0.02，n100， 则则D(X)np(1p)1000.
16、020.981.96. 1.96 索引 【例例3】 (2021重庆联考重庆联考)某中学某中学是走读中学，为了让学生更有效率的利用下午放是走读中学，为了让学生更有效率的利用下午放 学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自 习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班在本学期第二次月考后，习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班在本学期第二次月考后， 高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到 如下如下
17、22列联表：列联表： 考点三均值与方差在决策问题中的应用 / 师生共研师生共研 非优良非优良 优良优良 总计总计 未设立自习室未设立自习室251540 设立自习室设立自习室103040 总计总计354580 索引 【例例3】 (1)能能否在犯错的概率不超过否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生的前提下认为设立自习室对提高学生 成绩有效？成绩有效？ 索引 【例例3】 (2)设从该班第设从该班第一次月考的所有数学成绩中任取两个，取到成绩优良数一次月考的所有数学成绩中任取两个，取到成绩优良数 为为X；从该班第二次月考的所有数学成绩中任取两个，取到成绩优良数为；从该班第二次月考
18、的所有数学成绩中任取两个，取到成绩优良数为Y， 求求X与与Y的均值并比较大小，请解释所得结论的实际含义的均值并比较大小，请解释所得结论的实际含义 下面的临界值表供参考：下面的临界值表供参考： 解解 X 的所有可能取值为的所有可能取值为 0，1，2， 索引 索引 索引 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于 均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取 舍的重要理论依据一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决
19、定舍的重要理论依据一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定 感悟升华 索引 索引 索引 D(X1)(300200)27 9 (150200)22 9 35000， 课后巩固作业 提升能力分层训练3 A级 基础巩固 / 索引0112131407080910110203040506 一、选择题一、选择题 1已知已知离散型随机变量离散型随机变量X的分布列为的分布列为 A 索引0112131407080910110203040506 2随机随机变量变量X的分布列如下表，且的分布列如下表，且E(X)2，则，则D(2X3) () A.2 B3 C4 D5 C 索引01121314070809101102
20、03040506 3一个箱子中装有形状完全相同的一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和个白球和n(nN*)个黑球现从中有放回的摸个黑球现从中有放回的摸 取取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X，若，若D(X)1，则，则E(X) () A1 B2 C3 D4 B 索引0112131407080910110203040506 4口袋中有口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0，1，2，3，4，从中，从中 任取任取3个球，以个球，以X表示取出球的最小号码，则表示取出球的最小号码，则E(X) () A0
21、.45 B0.5 C0.55 D0.6 B 索引0112131407080910110203040506 5设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回地抽取，每设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回地抽取，每 次抽取一次，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，次抽取一次，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X表示三次中红球被摸中的次表示三次中红球被摸中的次 数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对独立，则方差数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对独立，则方差D(X) ()C 索引0112131407080910110203040506 ABC 索引0112131
22、407080910110203040506 二、填空题二、填空题 7已知随已知随机变量机变量的分布列为的分布列为 12 3 P 0.5 x y 索引0112131407080910110203040506 8某公司有某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如；如 果失败，一年后将丧失全部资金的果失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去，下表是过去200例类似项目开发的实例类似项目开发的实 施结果：施结果： 投资成功投资成功 投资失败投资失败 192例例8例例 则估计该公司一年后可获收益的均值是则估计该公司一年后可获
23、收益的均值是_元元4760 解析解析由题意知，一年后获利由题意知，一年后获利6000元的概率为元的概率为0.96，获利，获利25000元的概率为元的概率为 0.04， 故一年后收益的均值是故一年后收益的均值是60000.96(25000)0.044760(元元) 索引0112131407080910110203040506 9(2020浙江卷浙江卷)盒中盒中有有4个球，其中个球，其中1个红球，个红球，1个绿球，个绿球，2个黄球从盒中随个黄球从盒中随 机取球，每次取机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止设此过程中取到黄球的个个，不放回，直到取出红球为止设此过程中取到黄球的个 数为数为，则，
24、则P(0)_，E()_1 索引0112131407080910110203040506 三、解答题三、解答题 10(2021长沙模拟长沙模拟)高三年高三年级某班级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方名学生期中考试数学成绩的频率分布直方 图如图所示，成绩分组区间为图如图所示，成绩分组区间为80，90)，90，100)，100，110)，110，120)， 120，130)，130，140)，140，150，其中，其中a，b，c成等差数列且成等差数列且c2a.物理物理 成绩统计如表成绩统计如表(说明：数学满分说明：数学满分150分，物理满分分，物理满分100分分) 分组分组 50，60)
25、60，70) 70，80) 80，90) 90，100 频数频数6920105 索引0112131407080910110203040506 (1)根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分； 索引0112131407080910110203040506 (2)根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数； 解解由题表知，物理成绩的中位数约为由题表知，物理成绩的中位数约为75分分 索引0112131407080910110203040506 (3)若数学成绩不低于若数学成绩不低于140分的为分的为“优优”，物
26、理成绩不低于，物理成绩不低于90分的为分的为“优优”，已，已 知本班中至少有一个知本班中至少有一个“优优”的同学总数为的同学总数为6人，从此人，从此6人中随机抽取人中随机抽取3人，记人，记X为为 抽到两个抽到两个“优优”的学生人数，求的学生人数，求X的分布列和期望值的分布列和期望值 解解数学成绩为数学成绩为“优优”的同学有的同学有4人，物理成绩为人，物理成绩为“优优”的同学有的同学有5人，人， 因为至少有一个因为至少有一个“优优”的同学总数为的同学总数为6人，人， 故两科均为故两科均为“优优”的人数为的人数为3，故，故X的取值为的取值为0，1，2，3. 索引011213140708091011
27、0203040506 11(2020安徽江南十校质量检测安徽江南十校质量检测)某企某企业打算处理一批产品，这些产品每箱业打算处理一批产品，这些产品每箱 100件，以箱为单位销售已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种可能：件，以箱为单位销售已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种可能： 10%或者或者20%，两种可能对应的概率均为，两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品正品每件市场价格为假设该产品正品每件市场价格为 100元，废品不值钱，现处理价格为每箱元，废品不值钱，现处理价格为每箱8400元，遇到废品不予更换以一箱元，遇到废品不予更换以一箱 产品中正品的价格期望作为决策依据产品中正品的价格期
28、望作为决策依据 (1)在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买； 解解在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望为在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望为100(1 0.2)1000.5100(10.1)1000.58500， 85008400，在不开箱检验的情况下，可以购买在不开箱检验的情况下，可以购买 索引0112131407080910110203040506 (2)现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验件产品进行检验 若此箱出现的废品率为若此箱出现的废品率为20%，记抽到的废品数为，记抽
29、到的废品数为X，求，求X的分布列和数学期望；的分布列和数学期望； 若已发现在抽取检验的若已发现在抽取检验的2件产品中，恰有一件是废品，判断是否可以购买件产品中，恰有一件是废品，判断是否可以购买 X012 P 0.64 0.32 0.04 设事件设事件 A：发现在抽取检验的：发现在抽取检验的 2 件产品中，恰有一件是废品，件产品中，恰有一件是废品， 索引0112131407080910110203040506 则则 P(A)C1 2 0.20.80.5C1 2 0.10.90.50.25， B级 能力提升 / 索引0112131407080910110203040506 12(多选题多选题)(2
30、021济南模拟济南模拟)开学后开学后，某学校食堂为了减少师生就餐排队时间，某学校食堂为了减少师生就餐排队时间， 特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐两种已知小明同学每天中午都会在特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐两种已知小明同学每天中午都会在 食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份15元，元， 面食套餐的价格是每份面食套餐的价格是每份10元，如果小明当天选择了某种套餐，他第二天会有元，如果小明当天选择了某种套餐，他第二天会有 80%的可能性换另一种类型的套餐，假如第的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天小明选择了米
31、饭套餐，第天小明选择了米饭套餐，第n天天 选择米饭套餐的概率为选择米饭套餐的概率为pn，则以下论述正确的是，则以下论述正确的是 ( ) A小明同学第二天一定选择面食套餐小明同学第二天一定选择面食套餐 Bp30.68 Cpn0.2pn 1 0.8(1pn 1)(n2， ，nN) BCD 解析解析在在A中，第中，第1天小明选择了米饭套餐，天小明选择了米饭套餐， 则小明第二天有则小明第二天有80%的可能选择面食套餐，故的可能选择面食套餐，故A错误；错误； 在在B中，中，第第1天小明选择了米饭套餐，天小明选择了米饭套餐， p30.80.80.20.20.68，故，故B正确；正确； 索引01121314
32、07080910110203040506 在在C中，中，小明当天选择了某种套餐，他第二天会有小明当天选择了某种套餐，他第二天会有80%的可能性换另一种类的可能性换另一种类 型的套餐，假如第型的套餐，假如第1天小明选择了米饭套餐，第天小明选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为天选择米饭套餐的概率为pn， pn0.2pn 1 0.8(1pn 1)(n2， ，nN)，故，故C正确；正确； 索引0112131407080910110203040506 13在一次随机试验中，事件在一次随机试验中，事件A发生的概率为发生的概率为p，事件，事件A发生的次数为发生的次数为X，则数学，则数学 期望期望E(X
33、)_，方差，方差D(X)的最大值为的最大值为_ 解析解析记事件记事件A发生的次数发生的次数X可能的值为可能的值为0，1. p X01 P 1p p 索引0112131407080910110203040506 14(2021运城一模运城一模)在创建在创建“全国文明卫生城全国文明卫生城”过程中，运城市过程中，运城市“创城办创城办”为为 了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民一位市民 只能参加一次只能参加一次)，通过随机抽样，得到参加问卷调查的，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果人的得分统计
34、结果 如表所示：如表所示： 组别组别 30，40) 40，50) 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 90，100) 频数频数212202524134 (1)由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分ZN(，198)，近似近似 为这为这100人得分的平均值人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用，利用 该正态分布，求该正态分布，求P(38.2Z80.2)； 索引0112131407080910110203040506 解解 350.02450.12550.20650.25750.24850.13 950.0466.2. 索引0112131407080910110203040506 (2)在在(1)的条件下，的条件下，“创城办创城办”为此次参加问卷调查的市民制订如下奖励方案：为此次参加问卷调查的市民制订如下奖励方案： 得分不低于得分不低于的可以获赠的可以获赠2次随机话费，得分低于次随机话费，得分低于的可以获赠的可以获赠1次随机话费；次随机话费； 每次获赠的随机话费和对应的概率为：每次获赠的随机话费和对应的概率为： 索引0112131407080910110203040506 INNOVATIVE DESIGN THANKS本节内容结束
