1、INNOVATIVE DESIGN 教材教材高考高考审题答题审题答题 立体几何热点问题 内 容 索 引 三年真题考情 教材链接高考 教你如何审题 / 1 2 3 / / 满分答题示范 热点跟踪训练 / 4 5 / 三年真题考情 1 索引 核心热点核心热点真题印证真题印证核心素养核心素养 线、面位置关系线、面位置关系 与空间角与空间角 2020全国全国卷，卷，19； 2020全国全国卷，卷，18； 2020新高考新高考，20； 2019全国全国卷，卷，18； 2019全国全国卷，卷，17； 2018全国全国卷，卷，19 直观想象，直观想象， 数学运算，数学运算， 逻辑推理逻辑推理 索引 立体几何
2、中的折叠立体几何中的折叠 问题问题 2020天津卷，天津卷，17； 2019全国全国卷，卷，19； 2018全国全国卷，卷，18 直观想象，直观想象， 数学运算，数学运算， 逻辑推理逻辑推理 立体几何中的开放立体几何中的开放 问题问题 2020江苏卷，江苏卷，22； 2019北京卷，北京卷，16； 2019天津卷，天津卷，17； 2018全国全国卷，卷，20 直观想象，直观想象， 数学运算，数学运算， 逻辑推理逻辑推理 教材链接高考 2 索引 线面位置关系与空间角线面位置关系与空间角 试题评析试题评析1.本例包括了空间向量在立体几何中最主要的两个应用：本例包括了空间向量在立体几何中最主要的两个
3、应用：(1)证明证明 或判定空间中的线面位置关系，或判定空间中的线面位置关系，(2)求空间角求空间角. 索引 (2)若若SD平面平面PAC，求二面角，求二面角PACD的大小；的大小； 试题评析试题评析2.教材给出的解法虽然都用到了向量，但第教材给出的解法虽然都用到了向量，但第(1)(3)问仍然没有脱离问仍然没有脱离 线面平行、线面垂直的判定定理，第线面平行、线面垂直的判定定理，第(2)问是先找到二面角的平面角，然后问是先找到二面角的平面角，然后 利用向量求解利用向量求解. 索引 (3)在在(2)的条件下，侧棱的条件下，侧棱SC上是否存在一点上是否存在一点E，使得，使得BE平面平面PAC，若存在
4、，求，若存在，求 SEEC的值；若不存在，试说明理由的值；若不存在，试说明理由. 试题评析试题评析 3.除了教材给出的解法外，我们还可以利用相关平面的法向量解答除了教材给出的解法外，我们还可以利用相关平面的法向量解答 本题，其优点是可以使几何问题代数化本题，其优点是可以使几何问题代数化. 索引 【教材拓展教材拓展】(2021福州质检福州质检)如图所示如图所示，在四棱锥，在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD为为 直角梯形，直角梯形，BCAD，ABBC，ADC45，PA平面平面ABCD，ABAP 1，AD3. (1)求异面直线求异面直线PB与与CD所成角的大小；所成角的大小； 解解由题意可知
5、由题意可知AB，AD，AP两两垂直，两两垂直， 以以A为坐标原点，为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为所在直线分别为x轴，轴，y轴，轴，z轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，建立如图所示的空间直角坐标系， 则则P(0，0，1)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，3，0)， 索引 索引 【教材拓展教材拓展】 (2)求点求点D到平面到平面PBC的距离的距离. 索引 【链接高考链接高考】(2020天津卷天津卷)如图如图，在三棱柱，在三棱柱ABCA1B1C1中，中，CC1平面平面ABC， ACBC，ACBC2，CC13，点，点D，E分别在棱分别在棱AA1和棱和棱CC1上，且上，且A
6、D1， CE2，M为棱为棱A1B1的中点的中点. (1)求证：求证：C1MB1D； 索引 【链接高考链接高考】(2)求二求二面角面角BB1ED的正弦值；的正弦值； CA n |CA |n| 6 6 ， 索引 【链接高考链接高考】(3)求直求直线线AB与平面与平面DB1E所成角的正弦值所成角的正弦值. 教你如何审题 3 索引 立体几何中的折叠问题立体几何中的折叠问题 【例题例题】(2019全国全国卷卷)图图是由矩形是由矩形ADEB，RtABC和菱形和菱形BFGC组成的一组成的一 个平面图形，其中个平面图形，其中AB1，BEBF2，FBC60.将其沿将其沿AB，BC折起折起 使得使得BE与与BF重
7、合，连接重合，连接DG，如图，如图. 索引 (1)证明：图证明：图中的中的A，C，G，D四点共面，且平面四点共面，且平面ABC平面平面BCGE； 自主解答自主解答 (1)证明证明由已知得由已知得ADBE，CGBE，所以，所以ADCG， 所以所以AD，CG确定一个平面，从而确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面四点共面. 索引 (2)求图求图中的二面角中的二面角BCGA的大小的大小. 索引 索引 1.折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的 关系，尤其是隐含的垂直关系关系，尤其是隐含的垂直关系.一般
8、地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变 化，不在同一平面上的性质发生变化化，不在同一平面上的性质发生变化. 2.由于由于“线线垂直线线垂直”“”“线面垂直线面垂直”“”“面面垂直面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证之间可以相互转化，因此整个证 明过程围绕着线面垂直这个核心展开，这是解决空间垂直问题的技巧明过程围绕着线面垂直这个核心展开，这是解决空间垂直问题的技巧. 探究提高 索引 索引 索引 【尝试训练尝试训练】(2)求直线求直线BC1与平面与平面AC1D所成角的正弦值所成角的正弦值. |n| 7， 索引 满分答题示范 4 索引 索引 【例题例题】(
9、2)求二求二面角面角FAEP的余弦值；的余弦值； 索引 索引 索引 索引 索引 (1)试探究试探究 为何值时，为何值时，CE平面平面 BDF，并给予证明；，并给予证明； 索引 索引 【规范训练规范训练】 (2)在在(1)的条件下，求直线的条件下，求直线AB与平面与平面BDF所成角的正弦值所成角的正弦值. 索引 索引 取取 x1， 5 热点跟踪训练 索引010203040506 1.(2020全国全国卷卷)如图如图，在长方体，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点中，点E，F分别在棱分别在棱DD1， BB1上，且上，且2DEED1，BF2FB1. (1)证明：点证明：点C1在平面在平面AEF内；
10、内； 索引010203040506 1.(2020全国全国卷卷)如图如图，在长方体，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点中，点E，F分别在棱分别在棱DD1， BB1上，且上，且2DEED1，BF2FB1. (2)若若AB2，AD1，AA13，求二面角，求二面角AEFA1的正弦值的正弦值. 索引010203040506 010203040506索引 2.(2021成都诊断成都诊断)在如图在如图所示的多面体中，四边形所示的多面体中，四边形ABEG是矩形，梯形是矩形，梯形DGEF为为 直角梯形，平面直角梯形，平面DGEF平面平面ABEG，且，且DGGE，DFGE，AB2AG 2DG2DF2. (1
11、)求证：求证：FG平面平面BEF. 010203040506索引 2.(2021成都诊断成都诊断)在如图在如图所示的多面体中，四边形所示的多面体中，四边形ABEG是矩形，梯形是矩形，梯形DGEF为为 直角梯形，平面直角梯形，平面DGEF平面平面ABEG，且，且DGGE，DFGE，AB2AG 2DG2DF2. (2)求二面角求二面角ABFE的大小的大小. 010203040506索引 010203040506索引 3.(2020全国全国卷卷)如图如图，已知三棱柱，已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面的底面是正三角形，侧面 BB1C1C是矩形，是矩形，M，N分别为分别为BC，B1C1
12、的中点，的中点，P为为AM上一点，过上一点，过B1C1和和P 的平面交的平面交AB于于E，交，交AC于于F. (1)证明：证明：AA1MN，且平面，且平面A1AMN平面平面EB1C1F； 010203040506索引 3.(2020全国全国卷卷)如图如图，已知三棱柱，已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面的底面是正三角形，侧面 BB1C1C是矩形，是矩形，M，N分别为分别为BC，B1C1的中点，的中点，P为为AM上一点，过上一点，过B1C1和和P 的平面交的平面交AB于于E，交，交AC于于F. (1)证明：证明：AA1MN，且平面，且平面A1AMN平面平面EB1C1F； (1)证明
13、证明因为侧面因为侧面BB1C1C是矩形且是矩形且M，N分别为分别为BC，B1C1的中点，的中点， 所以所以MNCC1. 又由已知得又由已知得AA1CC1， 故故AA1MN. 因为因为A1B1C1是正三角形，是正三角形， 所以所以B1C1A1N. 又侧面又侧面BB1C1C是矩形，是矩形， 所以所以B1C1MN. 010203040506索引 3.(2020全国全国卷卷)如图如图，已知三棱柱，已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面的底面是正三角形，侧面 BB1C1C是矩形，是矩形，M，N分别为分别为BC，B1C1的中点，的中点，P为为AM上一点，过上一点，过B1C1和和P 的平面交的平
14、面交AB于于E，交，交AC于于F. (2)设设O为为A1B1C1的中心的中心.若若AO平面平面EB1C1F，且，且AOAB，求直线，求直线B1E与平与平 面面A1AMN所成角的正弦值所成角的正弦值. 010203040506索引 作作NQAM，垂足为，垂足为Q，则，则NQ平面平面ABC. 设设Q(a，0，0)，则，则 010203040506索引 4.(2021江南十校联考江南十校联考)已知矩形已知矩形ABCD中，中，AB2，AD3，在，在AD上取一点上取一点E满满 足足2AEED.现将现将CDE沿沿CE折起使点折起使点D移动至移动至P点处，使得点处，使得PAPB. (1)求证：平面求证：平面
15、PCE平面平面ABCE； (1)证明证明依题意得依题意得PEPC2， 分别取线段分别取线段AB，CE的中点的中点O，M， 连接连接POM的三边的三边(如图如图)， 则则PMEC，由，由PAPB， 得得POAB. 又又OM为梯形为梯形ABCE的中位线，的中位线， OMBC， 由由BCAB，得，得OMAB， 010203040506索引 又又POOMO， 从而从而AB平面平面POM， 则则ABPM. 在平面在平面ABCE中，中，AB与与CE相交相交. PM平面平面ABCE， 故平面故平面PCE平面平面ABCE. 010203040506索引 4.(2021江南十校联考江南十校联考)已知矩形已知矩形
16、ABCD中，中，AB2，AD3，在，在AD上取一点上取一点E满满 足足2AEED.现将现将CDE沿沿CE折起使点折起使点D移动至移动至P点处，使得点处，使得PAPB. (2)求二面角求二面角BPAE的余弦值的余弦值. (2)解解过点过点O作作PM的平行线为的平行线为z轴，分别以轴，分别以OA，OM为为x，y轴建立空间直角轴建立空间直角 坐标系，坐标系， 010203040506索引 010203040506索引 5.(2021长沙模拟长沙模拟)如图所示如图所示，在长方体，在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，AA1AD2，E为为 CD的中点的中点. (1)在棱在棱AA1上是否存在一点上是否存
17、在一点P，使得，使得DP平面平面B1AE？若存在，？若存在， 求求AP的长；若不存在，说明理由；的长；若不存在，说明理由； 010203040506索引 s s 010203040506索引 s s 5.(2021长沙模拟长沙模拟)如图所示如图所示，在长方体，在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，AA1AD2，E为为 CD的中点的中点. (2)若二面角若二面角AB1EA1的大小为的大小为30，求，求AB的长的长. 解解 (2)连接连接A1D，B1C，由长方体，由长方体ABCDA1B1C1D1及及AA1AD2得得AD1A1D. CD平面平面A1ADD1， CDAD1， A1DCDD， AD1平面平面DCB1A1， 010203040506索引 s s 010203040506索引 010203040506索引 以以Q为原点，为原点，QA所在直线为所在直线为x轴，轴，QB所在直线为所在直线为y轴，轴，QP所在直线为所在直线为z轴，建轴，建 立空间直角坐标系立空间直角坐标系. 设设PQa， 则则Q(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，a)，B(0，0)，C(1，0)， 010203040506索引 010203040506索引 010203040506索引 INNOVATIVE DESIGN THANKS本节内容结束
