1、高二数学理科- 1 - 20202021 学年度第一学期期中考试 高二数学试题（理科） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1过点 A(3，4)，B(2，m)的直线 l 的斜率为2，则 m 的值为 A6B1C2D4 2圆 x2y22x4y0 的圆心坐标和半径分别是 A(1，2)，5B(1，2)， 5C(1,2)，5D(1,2)， 5 3在空间直角坐标系 Oxyz 中，点 A 在 z 轴上，它到点(2 2，5，1)的距离是 13， 则点 A 的坐标是 A(0,0，1)B(0,1,1)C(0,0,1)D(0,0,13
2、) 4过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是 Ax2y50B2xy40 Cx3y70Dx2y30 5若直线 l1和 l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l 是平面与平面的交 线，则下列命题正确的是 Al 与 l1，l2都不相交Bl 与 l1，l2都相交 Cl 至多与 l1，l2中的一条相交Dl 至少与 l1，l2中的一条相交 6若点 P(2，1)为圆(x1)2y225 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程是 Axy30B2xy30 Cxy10D2xy50 7.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 16 2，则圆锥的体积是 A64 3 B128 3 C64D128 2 高二数学
3、理科- 2 - 8直线 l：ykx1 与曲线y2 x1 1 2不相交，则 k 的取值是 A.1 2或 3 B.1 2 C3D. 1 2，3 9在正三棱柱 ABCA1B1C1中，若 AB2，AA11，则点 A 到平 面 A1BC 的距离为 A. 3 4 B. 3 2 C.3 3 4 D. 3 10过点 P(2,4)作圆(x2)2(y1)225 的切线 l，直线 l1：ax3y2a0 与 l 平行，则 l1与 l 间的距离是 A.28 5 B.12 5 C.8 5 D.2 5 11若圆 C：x2y22x4y30 关于直线 2axby60 对称，则由点(a，b) 所作的圆的切线长的最小值是 A2B3
4、C4D6 12如图， 在ABC 中， ABBC 6， ABC90， 点 D 为 AC 的中点，将 ABD 沿 BD 折起到PBD 的位置， 使 PCPD，连接 PC, 得到三棱锥 PBCD, 若该 三棱锥的所有顶点都在同一球面上， 则该球的表面积是 AB3C5D7 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13若直线 l1：axy2a0 与 l2：xay30 互相平行，则实数 a_. 14直线 yx1 与圆 x2y22y30 交于 A，B 两点，则|AB|_. 15 若直线 3x4y50 与圆 x2y2r2(r0)相交于 A， B 两点， 且AOB120(O 为坐标原点)
5、，则 r_. 16将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 ABDC，有如下三个结论 ACBD； ACD 是等边三角形； AB 与平面 BCD 成 60的角 说法正确的命题序号是_ 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步 高二数学理科- 3 - 骤) 17(本小题满分 10 分)已知两条直线 l1：mx8yn0 和 l2：2xmy10，试 确定 m、n 的值，使 (1)l1与 l2相交于点(m，1)； (2)l1l2； (3)l1l2，且 l1在 y 轴上的截距为1. 18(本小题满分 12 分)如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB1
6、6，BC10，AA1 8，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点 E，F 的平面与此长方体 的面相交，交线围成一个正方形 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值 19(本小题 12 分)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 ACBC，BCCC1. 设 AB1的中点为 D，B1CBC1E.求证： (1)DE平面 AA1C1C； (2)BC1AB1. 20(本小题满分 12 分)已知直线 xy10 与圆 C：x2y24x2ym0 交于 高二数学理科- 4 - A，B 两点 (1)求线段 AB 的垂直平分线的方
7、程； (2)若|AB|2 2，求 m 的值； (3)在(2)的条件下，求过点 P(4,4)的圆 C 的切线方程 21(本小题满分 12 分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如 图所示 (1)请将字母 F，G，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系，并证明你的结论； (3)证明：直线 DF平面 BEG. 22(本小题满分 12 分)已知以点 C t，3 t (tR，t0)为圆心的圆过原点 O. (1)设直线 3xy40 与圆 C 交于点 M，N，若|OM|ON|，求圆 C 的方程； (2)在(1)的条件下，设 B(0,2
8、)，且 P，Q 分别是直线 l：xy20 和圆 C 上的 动点，求|PQ|PB|的最大值及此时点 P 的坐标 高二数学理科- 5 - 20202021 学年度第一学期期中考试 高二数学试题（理科）答案 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1.解析：选 A由题意知 kAB m4 232，m6. 2解析：选 D圆的方程化为标准方程为(x1)2(y2)25，其圆心是(1,2)， 半径为 5. 3解析：选 C由点 A 在 z 轴上，可设 A(0,0，z)，点 A 到点(2 2，5，1)的距 离是 13，(2 20)2(
9、50)2(z1)213，解得 z1，故 A 的坐标为(0,0,1)， 故选 C. 4解析：选 A结合图形可知，所求直线为过点(1,2)且与原点和点(1,2)连线垂直 的直线，其斜率为1 2，直线方程为 y2 1 2(x1)，即 x2y50. 5解析：选 D由直线 l1和 l2是异面直线可知 l1与 l2不平行，故 l1，l2中至少有 一条与 l 相交 6解析：选 A设圆心为 C(1,0)，则 ABCP，kCP1，kAB1，直线 AB 的方程是 y1x2，即 xy30. 7.解析：选 A(1)设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l， 圆锥的轴截面是等腰直角三角形，2r l2l2，即 l 2r， 由
10、题意得，侧面积 S 侧rl 2r216 2，r4.l4 2，高 h l2r24. 圆锥的体积 V1 3Sh 1 3424 64 3 ，故选 A. 8解析：选 A曲线y2 x1 1 2表示直线 x2y30(去掉点(1,2)，则直线 l：y kx1 与曲线y2 x1 1 2不相交，即直线 l 与 x2y30 平行或直线 l 过点(1,2)，所 以 k 的取值为1 2或 3. 9解析：选 B因为 ABCA1B1C1是正三棱柱，AB2，所以底面三角形 ABC 的 高二数学理科- 6 - 面积为 3， 所以 VA1ABC1 3 31 3 3 .如图， 在A1BC 中， A1BA1C 1222 5，所以
11、BC 边上的高为 5212，所以 SA1BC1 2222.设点 A 到 平面 A1BC 的距离为 h，所以1 3SA 1BChVA1ABC，解得 h 3 2 . 10解析：选 B直线 l1的斜率 ka 3，l 1l， 又 l 过 P(2,4)，l 的直线方程为 y4a 3(x2)，即 ax3y2a120. 又直线 l 与圆相切，|2a312a12| a29 5，a4，l1与 l 的距离为 d12 5 . 11解析：选 C将圆 C：x2y22x4y30 化为标准方程为(x1)2(y2)2 2，圆心 C(1,2)，半径 r 2.圆 C 关于直线 2axby60 对称，直线 2axby60 过圆心，
12、将 x1，y2 代入直线方程得2a2b60，即 a b3.点(a，b)与圆心的距离 d a12b22，由点(a，b)向圆 C 所作 切 线 长l d2r2a12b222 b42b222 2b12164，当且仅当 b1 时切线长最小，最小值为 4. 12 D由题意得该三棱锥的面 PCD 是边长为 3的正三角形， 且 BD平面 PCD, 设 三棱锥 PBDC 外接球的球心为 O, PCD 外接圆的圆心为 O1，则 OO1平面 PCD， 所以四边形 OO1DB 为直角梯形， 由 BD 3，O1D1，及 OBOD，得 OB 7 2 ， 所 以外接球半径为 R 7 2 ，所以该球的表面积 S4R247
13、47. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13 解析： 由两直线平行的条件A1B2A2B10且A1C2A2C10得 a210， 3a2a0， 得 a1. 答案：1 高二数学理科- 7 - 14解析：由 x2y22y30，得 x2(y1)24. 圆心 C(0， 1)， 半径 r2.圆心 C(0， 1)到直线 xy10 的距离 d|11| 2 2， |AB|2 r2d22 422 2. 答案：2 2 15解析：由直线与圆的位置及圆的性质，可求得圆心(0,0)到直线 3x4y50 的距离为r 2， |5| 3242 r 2，r2. 答案：2 16解析：如图所示，取 BD
14、 中点 E，连接 AE，CE，则 BD AE，BDCE，而 AECEE，BD平面 AEC，AC平面 AEC，故 ACBD，故正确 设正方形的边长为 a，则 AECE 2 2 a.由知AEC 是 直二面角 ABDC 的平面角，AEC90，ACa，ACD 是等边三角形， 故正确由题意及知，AE平面 BCD，故ABE 是 AB 与平面 BCD 所成的 角，而ABE45，所以不正确 答案： 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤) 17解：(1)因为 l1与 l2相交于点(m，1)， 所以点(m，1)在 l1、l2上，将点(m，1)代入 l2，得 2mm1
15、0，解得 m 1. 又因为 m1，把(1，1)代入 l1，所以 n7. 故 m1，n7. (2)要使 l1l2，则有 m2160， m12n0， 解得 m4， n2 或 m4， n2. (3)要使 l1l2，则有 m28m0，得 m0. 则 l1为 yn 8，由于 l 1在 y 轴上的截距为1， 所以n 81，即 n8. 故 m0，n8. 18解：(1)交线围成的正方形 EHGF 如图所示 高二数学理科- 8 - (2)作 EMAB，垂足为 M，则 AMA1E4，EB112，EMAA18. 因为 EHGF 为正方形，所以 EHEFBC10. 于是 MH EH2EM26，AH10，HB6. 故
16、S 四边形 A1EHA1 2(410)856， S 四边形 EB1BH1 2(126)872. 因为长方体被平面分成两个高为 10 的直棱柱， 所以其体积的比值为9 7 7 9也正确. 19证明：(1)B1C1CB 为正方形，E 为 B1C 的中点，又 D 为 AB1中点，DE 为B1AC 的中位线，DEAC，又 DE平面 A1C1CA，AC平面 A1C1CA，DE 平面 AA1C1C. (2)在直三棱柱中， 平面 ACB平面 B1C1CB， 又平面 ACB平面 B1C1CBBC， AC平面 ABC，且 ACBC， AC平面 B1C1CB， ACBC1， 又 B1C1CB 为正方形， B1CB
17、C1，ACB1CC， BC1平面 ACB1， 又 AB1平面 ACB1， BC1AB1. 20解：(1)由题意，线段 AB 的垂直平分线经过圆心(2,1)，斜率为1， 该直线方程为 y1(x2)，即 xy30. (2)圆 x2y24x2ym0 可化为(x2)2(y1)2m5. |AB|2 2， 圆心到直线的距离为 m52 3m. 圆心(2,1)到直线的距离为 d|211| 2 2， 3m 2， m1. (3)由题意，知圆 C：x2y24x2y10，即(x2)2(y1)24.则点 P(4,4) 高二数学理科- 9 - 在圆外，过点 P 的圆 C 的切线有两条 当所求切线的斜率存在时，设切线方程为
18、 y4k(x4)，即 kxy4k4 0. 由圆心到切线的距离等于半径，得|2k14k4| k21 2， 解得 k 5 12，所以所求切线的方程为 5x12y280. 当所求切线的斜率不存在时，切线方程为 x4. 综上，所求切线的方程为 x4 或 5x12y280. 21解：(1)点 F，G，H 的位置如图所示 (2)平面 BEG平面 ACH.证明如下： 因为 ABCDEFGH 为正方体，所以 BCFG，BCFG. 又 FGEH，FGEH，所以 BCEH，BCEH， 于是四边形 BCHE 为平行四边形， 所以 BECH. 又 CH平面 ACH，BE平面 ACH， 所以 BE平面 ACH. 同理
19、BG平面 ACH. 又 BEBGB， 所以平面 BEG平面 ACH. (3)证明：连接 FH，与 EG 交于点 O，连接 BD. 因为 ABCDEFGH 为正方体， 所以 DH平面 EFGH. 因为 EG平面 EFGH，所以 DHEG. 又 EGFH，DHFHH，所以 EG平面 BFHD. 又 DF平面 BFHD，所以 DFEG. 同理 DFBG. 又 EGBGG， 高二数学理科- 10 - 所以 DF平面 BEG. 22解：(1)|OM|ON|， 原点 O 在线段 MN 的垂直平分线上 设 MN 的中点为 H，则 CHMN，C，H，O 三点共线 直线 MN 的方程是 3xy40， 直线 OC
20、 的斜率 k 3 t t 3 t2 1 3，解得 t3 或 t3， 圆心为 C(3,1)或 C(3，1) 圆 C 的方程为(x3)2(y1)210 或(x3)2(y1)210. 由于当圆的方程为(x3)2(y1)210 时， 圆心到直线 3xy40 的距离 d r，此时不满足直线与圆相交，故舍去 圆 C 的方程为(x3)2(y1)210. (2)由题意可知|PQ|PB|BQ|，当 B，P，Q 三点共线时，等号成立 又 B，C，Q 三点共线且|BQ|BC|CQ|时|BQ|最大， 此时|BQ|BC| 102 10. B(0,2)，C(3,1)，直线 BC 的方程为 y1 3x2， 直线 BC 与直线 xy20 的交点的坐标为(6,4) 故|PQ|PB|的最大值为 2 10，此时点 P 的坐标为(6,4)
