1、第 1 页 共 18 页 2020-2021 学年浙江省丽水市五校共同体高二上学期学年浙江省丽水市五校共同体高二上学期 10 月阶月阶 段性考试数学试题段性考试数学试题 一、单选题一、单选题 1命题命题“若若1x ，则，则 2 2x ”的逆否命题是（的逆否命题是（） A“若若1x ，则，则 2 2x ”B“若若1x，则，则 2 2x ” C“若若 2 2x ，则，则1x”D“若若 2 2x ，则，则1x ” 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据逆否命题的定义即可得到答案. 【详解】 因为1x 的否定为1x， 2 2x 的否定为 2 2x ， 所以“若1x ，则 2 2x ”的逆否命题是“若
2、 2 2x ，则1x”. 故选：C 【点睛】 本题主要考查四种命题中的逆否命题，属于简单题. 2过点过点( 2,1)P 且倾斜角为且倾斜角为 90的直线方程为（的直线方程为（ ） A1y B2x C2y D1x 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据倾斜角为90的直线的方程形式，判断出正确选项. 【详解】 由于过2,1P 的直线倾斜角为90，即直线垂直于x轴，所以其直线方程为2x . 故选：B 【点睛】 本小题主要考查倾斜角为90的直线的方程，属于基础题. 3已知命题已知命题 :p “2x ”，命题，命题 :q “lg lg2x ”，则，则p是是q的（的（） A充分不必要条件充分不必要条件
3、B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 【答案】【答案】B 第 2 页 共 18 页 【解析】【解析】首先根据lg lg2x 得到02x，从而得到0,2,2 ，即可得到答案. 【详解】 0 lglg202 2 x xx x ， 因为0,2,2 ，所以p是q的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】 本题主要考查必要不充分条件的判断，同时考查了对数不等式的解法，属于简单题. 4设设x，y满足约束条件满足约束条件 30 20 1 xy xy x ，则，则2zxy 的最小值为（的最小值为（） A 11 2 B2 C 13 2 D5 【答案】【答案】
4、A 【解析】【解析】由线性约束条件，画出可行域，结合直线的平移即可求得2zxy 的最小 值. 【详解】 根据线性约束条件，画出不等式组表示的可行域如图所示： 2yxz由2yx平移得到， 由图可知当目标函数2zxy 经过点 51 , 22 A 处取得最小值， 代入可得为 11 2 51 2 22 z 故选：A. 【点睛】 第 3 页 共 18 页 本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数最值的求法，属于基础题. 5已知直线已知直线(21)20axay在两坐标轴上的截距相等，则实数在两坐标轴上的截距相等，则实数a （ （） A 1 3 B1C 1 3 或或1D1 【答案】【答案】D 【解析【解析
5、】将直线(2 1)20axay 表示为截距式方程，根据截距相等得到关于a的方 程，解出即可 【详解】 因为直线不过(0,0)，截距不是 0， 故直线可化为： (21) 1 22 axay ， 若直线(2 1)20axay 在两坐标轴上的截距相等， 则 22 21aa ，解得：1a ， 故选：D 【点睛】 本题考查直线的截距，考查直线的一般方程与截距式方程的转化，属于基础题. 6已知已知ABCABC 的周长为的周长为 2020，且顶点且顶点 B B （ （0 0，4 4） ，C C （0 0，4 4） ，则顶点则顶点 A A 的轨迹方程是的轨迹方程是 （） A 22 1 3620 xy （x x
6、0 0）B 22 1 2036 xy （x x0 0） C 22 1 620 xy （x x0 0）D 22 1 206 xy （x x0 0） 【答案】【答案】B 【解析【解析】根据三角形的周长和定点，得到点 A 到两个定点的距离之和等于定值，得到点 A 的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在 y 轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点 【详解】 解：ABC 的周长为 20，顶点 B （0，4） ，C （0，4） ， BC8，AB+AC20812， 128 点 A 到两个定点的距离之和等于定值， 点 A 的轨迹是椭圆， a6，c4 b220， 第 4 页 共 18 页 椭圆的方程是 22 10 2036
7、 xy x 故选 B 【点睛】 本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆， 本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点 7已知已知0a ，0b ，直线直线 1 l：(1)10axy ， 2 l：210 xby ，且且 12 ll， 则则 21 ab 的最小值为（的最小值为（） A2B4 C8D9 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由 12 ll，可求得21ab，再由 21214 24 ba ab ababab ， 利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】 因为 12 ll，所以11 1 20ab ，即21ab， 因为0a ，0b ，所以 212144 2224
8、28 bab a ab abababab ，当且仅当 4ba ab ，即 11 , 24 ab时等号成立， 所以 21 ab 的最小值为 8. 故选：C. 【点睛】 本题考查垂直直线的性质，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属 于中档题. 8已知圆已知圆 22 :22440C xyxmymmR ，则当圆，则当圆C的面积最小时，圆的面积最小时，圆 上的点到坐标原点的距离的最大值为（上的点到坐标原点的距离的最大值为（） A 5 B6C 51 D 51 【答案】【答案】D 【解析【解析】根据圆的一般方程，得到圆心和半径，求出面积最小时对应的半径，再求得圆 心到坐标原点的距离，进而可求
9、出结果. 第 5 页 共 18 页 【详解】 由 22 22440 xyxmym得 22 2 145xymmm， 因此圆心为1,Cm，半径为 2 2 45211rmmm ， 当且仅当2m 时，半径最小，则面积也最小；此时圆心为1, 2C ，半径为1r ， 因此圆心到坐标原点的距离为 22 125dr ， 即原点在圆C外， 根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为 51dr . 故选：D. 【点睛】 本题主要考查求圆上的点到定点距离的最值，属于基础题型. 9由直线由直线 1yx上的点向圆 上的点向圆 2 2 31xy作切线，则切线长的最小值为（作切线，则切线长的最小值为（） A1B 7
10、C2 2D3 【答案】【答案】B 【解析【解析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小 值 【详解】 切线长的最小值是当直线 1yx上的点与圆心距离最小时取得， 圆心(3,0)到直线的距离为 |301| 2 2 2 d ， 圆的半径为 1， 故切线长的最小值为 22 8 17dr ， 故选：B 【点睛】 本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题 10已知圆已知圆 2 224 1: Cxyaa的圆心到直线的圆心到直线20 xy的距离为的距离为2 2，则圆则圆 1 C 与圆与圆 22 2: 2440Cxyxy的位置关系是（的位置关系是（） A相交相交B内切内切
11、C外切外切D相离相离 【答案】【答案】B 【解析【解析】根据圆 1 C的方程求得圆心为 2,0 a，半径为 2 a，利用点到直线的距离公式得 第 6 页 共 18 页 到 2 2a ， 求得圆心距，根据圆与圆的位置关系进行判定. 【详解】 圆 2 224 1: Cxyaa的圆心为 2 0a，半径为 2 a. 圆心到直线20 xy的距离为 2 22 02 11 a d 2 2，解得 2 2a . 圆 2 2 1: 24Cxy的圆心为0,2A，半径为 1 r 2， 圆 22 2: 2440Cxyxy的标准方程为： 22 x1y21， 圆心坐标为1,2B，半径 2 1r ， 圆心距 22 12 0
12、1221drr ， 两圆相内切， 故选：B. 【点睛】 本题考查圆与圆的位置关系的判定，涉及点到直线的距离公式，圆的一般方程和标准方 程，属中档题. 11 已知已知 1 F， 2 F分别是椭圆分别是椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左的左、 右焦点右焦点，P是椭圆上一点是椭圆上一点 （异异 于左于左、右顶点右顶点） ，若存在以若存在以 2 2 c为半径的圆内切于为半径的圆内切于 12 PFF，则椭圆的离心率的取值范则椭圆的离心率的取值范 围是（围是（） A 1 0, 3 B 2 0, 3 C 12 , 33 D 2 ,1 3 【答案】【答案】A 【解析【解析】 根据三角形的面积关
13、系， 可得 121 222 222 p accc y ， 再根据| P yb可 得关于 , a c的不等式，从而可求得离心率的取值范围. 【详解】 12 PFF的面积关系可得： 121 222 222 p accc y ， 22 p ac cc ybc， 2acb， 第 7 页 共 18 页 2 2 2acb，则 22 023aacc ， 30acac，3ac， 1 0 3 e. 故选：A. 【点睛】 本题考查椭圆的定义运用、三角形内切圆、椭圆的离心率，考查函数与方程思想、转化 与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意不等关系的建立. 12 已知已知 1 F 2 F分别是椭圆分别
14、是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左的左 右焦点右焦点， 过过 1 F的直线的直线l交椭交椭 圆于圆于D E两点两点， 11 | 5|DFFE， 2 |2DF ， 且且 2 DFx轴轴.若点若点P是圆是圆 22 :1O xy 上的一个动点，则上的一个动点，则 12 PFPF的取值范围是（的取值范围是（） A 3 5， B 2 5， C 2 4， D 3 4， 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由题意可知 72 ,2 , 55 D cEc ，代入椭圆得 22 8,4ab，继而得 出 12 ( 2,0),(2,0)FF，设(cos ,sin )P，即可表示出 12 PFPF，
15、进而求出范围. 【详解】 由题意可知 72 ,2 , 55 D cEc ， 将,D E代入椭圆方程得 2 22 2 22 2 1 492 1 2525 c ab c ab ，解得 22 8,4ab， 所以椭圆方程为 22 1 84 xy ， 所以椭圆的焦点为 12 ( 2,0),(2,0)FF， 由P在圆 22 1xy上，设 (cos ,sin )P， 所以 22222 12 (cos2)sin(cos2)sin25 16cosPFPF， 所以 12 PFPF的取值范围为3,5. 第 8 页 共 18 页 故选：A. 【点睛】 本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中的长度关系，属于中档题. 二、填
16、空题二、填空题 13已知实数已知实数x，y满足不等式组满足不等式组 33 0 23 0 3 0 xy xy xmy ，若，若z xy 的最小值为的最小值为2，则实，则实 数数m_. 【答案】【答案】 9 5 【解析】【解析】首先画出可行域，根据目标函数z xy 的几何意义求最值，由z xy 过 点 B 取最小值 2 求出 m. 【详解】 30 xmy，表示过定点(-3.0)的直线，若要能形成可行域，直线的斜率大于 0，所 以 m0. 如图，画出可行域， zxy 表示斜率为 1 的直线， 当0y 时，xz，所以z表示直线的横截距， 所以z xy 平移至点 B 时，z取得最小值. 由 30 330
17、 xmy xy 解得 396 , 33 m xy mm ， 即 396 , 33 m B mm ， 所以 min 396 2 33 m z mm ，解得 9 5 m ， 第 9 页 共 18 页 故答案为： 9 5 【点睛】 本题主要考查线性规划，重点考查转化思想，数形结合思想，属于中档题型，本题的关 键是根据30 xmy表示过定点(-3,0)的直线,画出可行域. 14若曲线若曲线 2 1: 22Cyxx 与曲线与曲线 2:( 2)()0Cyykxk有四个不同的交有四个不同的交 点点,则实数则实数k的取值范围是的取值范围是_. 【答案】【答案】 47 (, 2 3 ） 【解析【解析】 由 2
18、1: 22Cyxx 知曲线C1表示以( 1,2)为圆心以1为半径的上半圆， 2:( 2)()0Cyykxk表示两条直线2y 与(1)yk x，问题转化为(1)yk x 与半圆有两个不同于半圆端点的交点，利用特殊位置过端点、相切的情况求出对应的 k, 即可求解. 【详解】 由 2 1: 22Cyxx 得 22 (1)(2)1(2)xyy， 曲线 C1表示以( 1,2)为圆心以 1 为半径的上半圆， 显然直线2y 与曲线 C1有两个交点，交点为半圆的两个端点， 直线(1)ykxkk x与半圆有 2 个除端点外的交点， 当直线 (1)yk x 经过点(0,2)时， 20 2 0 1 k ，当直线 (
19、1)yk x 与半圆相切时， 2 |22 | 1 1 k k ，解得 47 3 k 或 47 3 k （舍去） 所以 47 2 3 k 时，直线 (1)yk x 与半圆有 2 个除端点外的交点， 故答案为： 47 (, 2 3 ） 【点睛】 本题主要考查了圆的几何性质，直线的斜率，点到直线的距离，圆的切线，属于中档题. 15 一条光线从点一条光线从点 2, 3 射出射出， 经经 x 轴反射轴反射， 其反射光线所在直线与圆其反射光线所在直线与圆 2 2 31xy 相切，则反射光线所在的直线方程为相切，则反射光线所在的直线方程为_. 第 10 页 共 18 页 【答案】【答案】2x 或43170
20、xy 【解析】【解析】点 2, 3 关于x轴的对称点为2,3,即反射光线过点2,3,分别讨论反射光线 的斜率k存在与不存在的情况,进而求解即可 【详解】 点 2, 3 关于x轴的对称点为2,3, （1）设反射光线的斜率为k,则反射光线的方程为32yk x,即 320kxyk , 因为反射光线与圆 2 2 31xy相切, 所以圆心到反射光线的距离dr,即 2 2 332 1 1 kk k , 解得 4 3 k , 所以反射光线的方程为:43170 xy； （2）当k不存在时,反射光线为2x ,此时,也与圆 2 2 31xy相切, 故答案为:2x 或43170 xy 【点睛】 本题考查直线在光学中
21、的应用,考查圆的切线方程 16已知椭圆已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的短轴长为的短轴长为 2，上顶点为，上顶点为A，左顶点为，左顶点为B，左、，左、 右焦点分别是右焦点分别是 1 F， 2 F，且，且 1 F AB的面积为的面积为 23 2 ，点，点P为椭圆上的任意一点，则为椭圆上的任意一点，则 12 11 PFPF 的取值范围是的取值范围是_. 【答案】【答案】1,4 【解析【解析】根据 1 F AB的面积和短轴长得出 a，b，c 的值，从而得出 1 PF的范围，得到 12 11 PFPF 关于 1 PF的函数，从而求出答案 【详解】 第 11 页 共 18 页 由已知得22
22、b ，故1b ， 1 F AB的面积为 23 2 ， 123 22 ac b ， 23ac ，又 222 1acacacb， 2a ， 3c ， 12 1212 11PFPF PFPFPF PF 2 11 11 24 4 4 a PFPF PFPF ， 又 1 2323PF， 2 11 144PFPF ， 12 11 14 PFPF . 即 12 11 PFPF 的取值范围为1,4. 故答案为1,4 【点睛】 本题考查了椭圆的简单性质， 函数最值的计算， 熟练掌握椭圆的基本性质是解题的关键， 属于中档题 三、双空题三、双空题 17椭圆椭圆 22 1 49 xy 的半焦距是的半焦距是_，离心率是
23、，离心率是_. 【答案】【答案】 5 5 3 【解析】【解析】首先根据题意得到3a ，2b ， 5c ，即可得到答案. 【详解】 由题知：椭圆 22 1 49 xy ，3a ，2b ，5c . 所以半焦距是 5，离心率为 5 3 . 故答案为： 5， 5 3 【点睛】 第 12 页 共 18 页 本题主要考查椭圆的几何性质，属于简单题. 18已知已知( 3,0)A，(2,1)B，直线，直线l过点过点 (0, 1)P ，若直线，若直线l与线段与线段AB总有公共点，总有公共点， 则直线则直线l的斜率取值范围是的斜率取值范围是_，倾斜角，倾斜角的取值范围是的取值范围是_. 【答案】【答案】 3 ,1
24、 3 , 6 4 【解析】【解析】根据图形分析可知， PAlPB kkk，根据坐标即可计算出，再由斜率范围即 可求出倾斜角的范围. 【详解】 如图，若直线l与线段AB总有公共点，则 PAlPB kkk， ( 3,0)A， (2,1)B，(0, 1)P， 013 330 PA k , 11 1 20 PB k , 3 1 3 l k ，即 3 tan1 3 ， 0,， 64 . 故答案为： 3 ,1 3 ；, 6 4 . 【点睛】 本题考查直线斜率范围和倾斜角范围的求解，属于基础题. 19直线直线yxb被圆被圆 22 114xy截得的弦长的最大值是截得的弦长的最大值是_；若该圆；若该圆 上到此直
25、线上到此直线yxb的距离等于的距离等于 1 的点有且仅有的点有且仅有 4 个，则个，则b的取值范围是的取值范围是_. 【答案】【答案】42,2 【解析【解析】确定圆的圆心和半径，由圆的性质可得直线过圆心时截得的弦长最大；转化条 第 13 页 共 18 页 件为圆心到直线的距离0,1d ，结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】 因为圆 22 114xy的圆心为1,1，半径为2， 所以当直线yxb过圆心时，截得的弦长最大，最大值为4； 若要使该圆上到此直线yxb的距离等于 1 的点有且仅有 4 个， 则圆心到直线的距离 1 1 0,1 1 12 bb d ，所以2,2b . 故答案为：4；2,
26、2. 【点睛】 本题考查了由圆的标准方程确定圆的圆心和半径，考查了直线与圆位置关系的应用，属 于基础题. 四、解答题四、解答题 20已知直线已知直线 1: 10laxya 与与 2 2(:1)30lxay. . （1 1）当）当0a 时，求直线时，求直线 1 l与与 2 l的交点坐标；的交点坐标； （2 2）若）若 12 ll，求，求 a a 的值的值. . 【答案【答案】 （1）( 2, 1)； （2）1. 【解析【解析】 （1）当0a 时，直线 1: 10ly 与 2:2 30lxy联立即可 （2）两直线 平行表示斜率相同且截距不同，联立方程求解即可 【详解】 （1）当0a 时，直线 1:
27、 10ly 与 2:2 30lxy，联立 10 230 y xy ，解得 2 1 x y ，故直线 1 l与 2 l的交点坐标为( 2, 1). （2）因为 12 ll，所以 (1)20 3(1)(1)0 a a aa ，即 2 (2)(1)0 40 aa a 解得1a . 【点睛】 此题考察直线斜率，两直线平行表示斜率相等且截距不同（如果斜率和截距都相同则是 同一条直线） ，属于基础简单题目 第 14 页 共 18 页 21已知圆已知圆 22 :(3)(4)4Cxy. （1）若直线）若直线l过点过点(2,3)A且被圆且被圆C截得的弦长为截得的弦长为2 3，求直线，求直线l的方程；的方程； （
28、2）若直线若直线l过点过点 (1,0)B 与圆与圆C相交于相交于P，Q两点两点，求求CPQ的面积的最大值的面积的最大值，并求并求 此时直线此时直线l的方程的方程. 【答案【答案】（1）2x 或 3y ；（2） 最大值 2， 直线l的方程为10 xy 或770 xy. 【解析【解析】 （1）圆的半径、圆心到弦的距离、弦长一半构成直角三角形，用点到直线的距 离求得圆心到弦的距离得到答案，注意斜率分情况； （2） 圆心C到直线l的距离为 2 | 24| 1 k d k ， 然后利用CPQ的面积 22 (2)4Sd 求得最值得到d及 k，求得答案. 【详解】 （1）圆C的圆心坐标为(3,4)C，半径2
29、R ， 直线l被圆E截得的弦长为2 3，由勾股定理得到圆心C到直线l的距离 1d 当直线l的斜率不存在时，:2l x ，显然满足1d ； 当直线l的斜率存在时，设: 3(2)l yk x ，即320kxyk ， 由圆心C到直线l的距离1d 得： 2 |1| 1 1 k k ，解得0k ，故:3l y ； 综上所述，直线l的方程为2x 或 3y （2）直线与圆相交，l的斜率一定存在且不为 0，设直线l方程： (1)yk x ， 即kxyk0，则圆心C到直线l的距离为 2 | 24| 1 k d k ， 又CPQ的面积 222222 1 2 44(4)(2)4 2 Sddddddd 当 2d 时，
30、S取最大值 2，由 2 |24| 2 1 k d k ，得1k 或7k ， 直线l的方程为10 xy 或770 xy. 【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系，三角形的面积的最值及直线的方程. 22已知椭圆已知椭圆C： 22 22 1 xy ab (0)ab的离心率的离心率 1 2 e ， 12 FF，是椭圆是椭圆C的左右焦的左右焦 点，过点，过 2 F且垂直于长轴的弦长为且垂直于长轴的弦长为3. 第 15 页 共 18 页 （1）求椭圆）求椭圆C的方程；的方程； （2）过点过点 1 0 ，的直线 的直线l与椭圆与椭圆C交于不同的两点交于不同的两点 ，A B， ，若以若以AB为直径的椭圆经过为直
31、径的椭圆经过 右焦点右焦点 2 F，求直线，求直线l的方程的方程. 【答案【答案】 （1） 22 1 43 xy ； （2）37 +30 xy或3 + 7 +30 xy. 【解析【解析】 （1）首先根据题意得到 2 222 1 2 2 3 c a b a abc ，再解方程组即可. （2）设:1l xmy， 11 (,)A x y， 22 (,)B xy，联立椭圆与直线方程得到 22 (34)690mymy，从而得到 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m ，根据 以AB为直径的椭圆经过右焦点 2 F得到 22 0F A F B ，再根据根系关系即可得到答案. 【
32、详解】 （1）设椭圆的焦距为2c(0)c . 由已知， 2 222 1 2 2 3 c a b a abc ，解得： 2 2 4 3 a b ， 所以椭圆的标准方程为： 22 1 43 xy . （2）设:1l xmy， 11 (,)A x y， 22 (,)B xy； 联立 22 1 3412 xmy xy 可得 22 (34)690mymy； 则 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m ； 第 16 页 共 18 页 因为以AB为直径的圆经过右焦点 2 F， 所以 221212 (1)(1)F A F Bxxy y 1212 (2)(2)+mymyy y 2
33、1212 (1)2 ()40my ym yy. 即 22 2 (1)(240 96 ) 3434mm mm m 解得 7 3 m 所以直线l方程为：37 +30 xy或3 + 7 +30 xy. 【点睛】 本题第一问考查椭圆的标准方程，第二问考查直线与椭圆的位置关系，同时考查学生的 计算能力，属于中档题. 23已知椭圆已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab ， 1( 1,0) F ， 2(1,0) F分别为椭圆分别为椭圆C的左的左 右焦点，右焦点，M为为C上任意一点，上任意一点， 1 2 MF F S 的最大值为的最大值为1. （1）求椭圆）求椭圆C的方程；的方程； （2）不过点
34、）不过点 2 F的直线的直线:(0)lykxm m=+交椭圆交椭圆C于于A，B两点两点. （i）若）若 2 1 2 k ，且，且 2 2 AOB SD=，求，求m的值；的值； （ii）若）若x轴上任意一点到直线轴上任意一点到直线 2 AF与与 2 BF的距离相等，求证：直线的距离相等，求证：直线l过定点，并求出过定点，并求出 该定点的坐标该定点的坐标. 【答案【答案】 （1） 2 2 1 2 x y； （2） （i）1m ； （ii）证明见解析，定点坐标为(2,0). 【解析【解析】 （1） 易得1c ， 再根据点M为椭圆的短轴端点时， 12 MFF面积最大得到 b=1 即可. 第 17 页
35、共 18 页 （2）联立 2 2 1 2 ykxm x y （i）利用弦长公式得到AB以及点O到直线AB的距离，然后 由 2 2 AOB SD=求解； （ii）由x轴上任意一点到直线 2 AF与 2 BF的距离相等，得到 12 0kk，然后利用韦达定理得到 m，k 得到直线l的方程即可. 【详解】 （1）因为 1( 1,0) F ， 2(1,0) F分别为椭圆C的左右焦点， 所以1c ， 当点M为椭圆的短轴端点时， 12 MFF面积最大，此时 1 21 2 Sc b=鬃=，则 b=1， 2a ， 故椭圆的方程为 2 2 1 2 x y； （2）由题意，联立 2 2 1 2 ykxm x y 得
36、， 222 (12)4220kxkmxm 222222 =164(12)(22)8(21)0k mkmkmD-+-=-+，得 22 12km () 设 11 (,)A x y， 22 (,)B xy，则 12 2 4 12 km xx k ， 2 12 2 22 12 m x x k ， （i）0m且 2 1 = 2 k，代入()得， 2 02m ， 222 1212 1()43(2)ABkxxx xm=+-=-， 设点O到直线AB的距离为d，则 2 2 3 1 mm d k ， 2 2112 3(2) 2223 AOB m SAB dm D =-=， 2 1(0,2)m =，则1m ； （ii） 11 1 11 11 ykxm k xx + = - ， 22 2 22 11 ykxm k xx + = - 由题意得， 12 0kk， 12 12 0 11 kxmkxm xx ，即 1212 2()()20kx xmkxxm， 第 18 页 共 18 页 2 22 224 2()()20 1212 mkm kmkm kk - +-= + ，解得2mk ， 直线l的方程为 (2)yk x ， 故直线l恒过定点，该定点坐标为(2,0) 【点睛】 本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系和直线过定点问题， 还考查了 运算求解的能力，属于难题.
