1、第 1页，总 6页 玉溪一中玉溪一中 2020-2021 学年上学期高二年级期中考学年上学期高二年级期中考 理科数学答案理科数学答案 一、一、选择题：选择题： 1-5 DDCCD6-10 BAABA11-12 DC 二二、填空题：填空题： 13. -414. 315. -5 , 1816. 三三、解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17 （本题 10 分）已知向量 3 sin,(cos , 1) 4 axbx ,，设函数 ( )2()f xabb . （1）当 /a b 时，求
2、2 cossin2xx 的值； （2）求使得 5 ( ) 2 f x 的x的取值构成得集合. 解： （1） /a b r r Q ， 3 cossin0 4 xx， 3 tan 4 x 2 2 222 cos2sin cos1 2tan8 cossin2 sincos1tan5 xxx xx xxx 5 分 （2） 2 2 3 sincos,cos1 4 a bxxbx 2 22 31 2222sin cos2cos22sin cos2cos 22 f xa bba bbxxxxxx 33 sin2cos22sin 2 242 xxx 由得 2 5 )(xf 3 2sin 2 42 x 2 5
3、 即sin 2 4 x 2 2 故 3 222 444 kxk ，Zk 得 4 kxk ，Zk 所以 4 xx kxkkZ |，10 分 第 2页，总 6页 18 （本题 12 分）某学校计划从甲，乙两位同学中选一人去参加省数学会举办的数学竞赛，以下 是甲，乙两位同学在 10 次测试中的数学竞赛成绩的茎叶图 （1）从甲的成绩中任取一个数据(90)x x ，从乙的成绩中任取一个数据(87)y y ，求满足条 件| 5xy的概率； （2）分别计算甲乙两位同学成绩的平均值和方差，根据结果决定选谁去合适 【答案【答案】 （1） 1 2 （2）甲同学参加比赛见解析 （1）抽取两个数据的基本事件有(90,
4、85)，(90,86)，(90,87)，(91,85)，(91,86)，(91,87)， 共 6 种结果， 满足| 5xy的有(90,85)，(91,85)，(91,86)，共 3 个 所以概率为 31 62 6 分 （2）x甲88，x乙88， S甲 22222 1 (8688)(8788)(8988)(9188)3 10 ， S乙 22222 1 (8588)(8588)(8588)(9388)4 10 10 分 从平均数看，甲乙两名同学的成绩相同；从方差看，甲同学的成绩的方差较小，因此甲同学的成 绩更稳定，从成绩的稳定性考虑，应选甲同学参加比赛12 分 19 （本题 12 分）已知等比数列
5、 n a中， 3146 10,80aaaa （1）求数列 n a的通项公式； （2）记 2 log nnn baa，求数列 n b的前n项和 n T. 【答案】 （1）2n n a （2） 1 21 2n n Tn (1)设数列 n a的公比为q， 由题意知： 324 22aaa， 第 3页，总 6页 32 220qqq，即 2 210qq. 2q =，即 1 2 22 nn n a .6 分 (2)2n n bn ， 23 1 22 23 22n n Tn. 2341 21 22 23 21 22 nn n Tnn . 得 12341 222222 nn n Tn 1 21 2nn 1 21
6、 2n n Tn .12 分 20 （本题 12 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， sin sinsin acB bcAC . （1）求角A的大小； （2）若2a ，求bc的取值范围 解： （1）由 sin sinsin acB bcAC ，利用正弦定理可得：a cb bcac ，化为： 222 bcabc 由余弦定理可得： 222 1 cos 22 bca A bc ，0,A， 3 A 5 分 （2）在ABC中有正弦定理得 sinsin sin 3 abc BC ，又2a ， 所以 4 3 sin 3 bB， 4 34 32 sinsin 333 cCB ， 故 4 34
7、 32 sinsin 333 bcBB 4 333 sincos4sin 3226 BBB ， 因为 2 0 3 B 且() 3 Bbc ， 故 5 666 B 且 62 B ， 所以 1 sin1 26 B ， (2,4)bc ， 故bc的取值范围是(2,4)12 分 第 4页，总 6页 21 （本题 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PD 底面ABCD，2AB/CDAB ， 3CD ，M为PC上一点,且2PMMC （1）求证：BM /平面PAD； （2）若23ADPD， 3 BAD，求三棱锥PADM的体积 【答案【答案】 （1）见解析（2） 3. （1）法一：过M作/ /MNCD交PD
8、于点N，连接AN. 2PMMC 2 3 MNCD. 又 2 3 ABCD，且/ /ABCD， / /ABMN，四边形ABMN为平行四边形， / /BMAN. 又BM 平面PAD，AN 平面PAD， / /BM平面PAD. 法二：过点M作MNCD于点N，N为垂足，连接BN. 由题意，2PMMC，则2DNNC， 又3DC ，2DN / /ABDN， 四边形ABND为平行四边形 / /BNAD. PD 平面ABCD，DC 平面ABCD PDDC. 又MNDC / /PDMN. 又BN 平面MBN，MN 平面,MBN BNMNN； AD 平面PAD，PD 平面PAD，ADPDD； 第 5页，总 6页
9、平面/ /MBN平面PAD. BM 平面MBN / /BM平面PAD.6 分 （2）过B作AD的垂线，垂足为E. PD 平面ABCD，BE 平面ABCD PDBE. 又AD 平面PAD，PD 平面PAD，ADPDD； BE 平面PAD 由（1）知，/ /BM平面PAD， 所以M到平面PAD的距离等于B到平面PAD的距离，即BE. 在ABC中，2ABAD， 3 BAD 3BE . 1 3 P ADMMPADPAD VVS 1 333 3 BE .12 分 22 （本题 12 分）已知圆C： 22 (3)4xy，一动直线l过( 1, 0)A 与圆C相交于PQ，两 点，M是PQ中点，l与直线m：36
10、0 xy相交于N. （1）求证：当l与m垂直时，l必过圆心C； （2）当2 3PQ 时，求直线l的方程； （3）探索AM AN 是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由. 【答案】(1)见解析(2)1x 或4340 xy（3）见解析 （1）l 与 m 垂直，且 1 3 m k ，3 l k，又3 AC k， 所以当 l 与 m 垂直时，l 必过圆心C.2 分 （2）当直线l与 x 轴垂直时, 易知1x 符合题意 当直线l与 x 轴不垂直时, 设直线l的方程为1yk x，即0kxyk， 第 6页，总 6页 因为2 3PQ ，所以 431CM ，则由 2 3 1 1 k C
11、M k ，得 4 3 k 直线l：4340 xy. 从而所求的直线l的方程为1x 或4340 xy 6 分 （3）因为 CMMN,AM ANACCMANAC ANCM ANAC AN 当l与 x 轴垂直时，易得 5 1, 3 N ，则 5 0, 3 AN ,又1,3AC , 5AM ANAC AN ， 当l的斜率存在时，设直线l的方程为 1yk x， 则由 1 360 yk x xy ，得N（ 36 , 1 3 k k 5 13 k k ）,则 55 , 1 31 3 k AN kk AM ANAC AN = 515 5 1 31 3 k kk 综上，AM AN 与直线 l 的斜率无关，且 5AM AN . 12 分
