1、试卷第 1 页，总 8 页 2020202020212021 学年上学期期中学情调研学年上学期期中学情调研 高二数学试卷高二数学试卷 2020.112020.11 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1命题p：“nN ，则 2 2nn ”的否定是（ ） AnN ， 2 2nn BnN ， 2 2nn CnN ， 2 2nn DnN ， 2 2nn 2双曲线1 54 22 yx 的渐近线方程是（ ） A 5 2 yx B 2
2、5 5 yx C 4 5 yx D 5 4 yx 3不等式 2 50axxc 的解集为32| xx，则 a，c的值为（ ） A6a，1c B6a ，1c C1a，6c D1a，6c 4 张丘建算经是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元 466-485 年间其 中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增 加的数量相同 已知第一日织布 4 尺， 20 日共织布 232 尺， 则该女子织布每日增加 （ ） 尺 A 4 7 B 16 29 C 8 15 D 5 4 5已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 y 轴上，且短轴的长为 2，离心率等于 2 5 5 ，则该
3、 椭圆的标准方程为（ ） A 22 1 204 xy B 22 1 204 yx C 2 2 1 5 y x D 2 2 1 5 x y 6不等式 2 320 xx成立的一个必要不充分条件是（ ） A( 1, ) B 1，) C(， 2 1 ，) D( 1，)( ， 2) 试卷第 2 页，总 4 页 7.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂 直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C： 22 10 1 xy a aa 的离心率为 1 2 ，则椭圆C的蒙日圆方程为（ ） A 22 9xy B 22 7xy C 22 5xy D
4、22 4xy 8.已知数列 n a的首项 1 21a ，且满足 2 1 (25)(23)41615 nn nanann ，则 n a的最小的一项是（ ） A 4 a B 5 a C 9 a D 10 a 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分。分。 9.下列函数中，能取到最小值2的是（ ） A 1 0yxx x B 1 x x yexR e C
5、)0(sin sin 4 sinx x xy D 2 2 2 1 x y x ()Rx 10.下列命题为真命题的是（ ） A若0ab，则 22 acbc B若0ab，则 22 aabb C若0ab且0c，则 22 cc ab D若ab且 11 ab ，则0ab 11.首项为正数，公差不为 0的等差数列 n a，其前n项和为 n S，则下列 4 个命题中正 确的有（ ） A若 10 0S，则0, 0 65 aa； B若 412 SS，则使0 n S 的最大的 n 为 15； C若 15 0S， 16 0S，则 n S中 7 S最大； D若 89 SS，则 78 SS. 12.在平面直角坐标系xO
6、y中，椭圆 22 22 10 xy ab ab 上存在点P，使得 21 2PFPF ，其中 1 F、 2 F分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ） A 1 2 B 3 1 C 1 4 D 5 1 试卷第 3 页，总 8 页 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13.若“0, 2 axxRx”为真命题，则实数a的取值范围是 . 14.若正实数 yx, 满足02xyyx，则yx2的最小值是 . 15.设双曲线 C： 22 22 1 xy ab （a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为5 P是 C 上一点，
7、且 F1PF2P若PF1F2的面积为 8，则 a= . 16.已知 n S是数列 n a的前n项和，满足 2 13 22 n Snn，则 n a _;数列 1 31 2n nn n a a 的前n项和 n T _ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）已知 0 2 1 x x xA，0, 012 22 mmxxxB. （1）若2m，求 AB； （2）若Ax是Bx的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 18.（12 分）在等差数列 n a中， 5 7a ，再从条
8、件 26 12aa、条件设数列 n a 的前n项和为 n S，12 3 S这两个条件中选择一个作为已知， 求： （1）求 n a的通项公式； （2）求数列 2 1 n n a 的前n项和 n T 注：如果选择条件注：如果选择条件和条件和条件分别解答，按第一个解答计分分别解答，按第一个解答计分. 19.（12 分）已知椭圆的的两个焦点坐标分别是2,0，2,0，并且经过点 53 , 22 . （1）求椭圆的标准方程； 试卷第 4 页，总 4 页 （2）若直线1yx与椭圆交于A、B两点，求AB中点的坐标和AB长度. 20.（12 分）已知函数 2 4 )( x xxf （1）当2x时，求函数)(xf
9、的最小值； （2）若存在, 2x，使得 tt xf39)(成立，求实数t取值范围. 21 （12 分）已知等差数列 n a满足公差0d ，且 14 27a a ， 4 24S ，数列 n b的 前n项和 n S满足21 nn Sb. （1）求数列 n a的通项公式； （2）证明数列 n b为等比数列； （3）若 * nN ， 1) 12( 2211 tnbababa nn 恒成立，求实数t的最大值. 22. （12分） 已知椭圆标准方程为 22 22 10 xy ab ab ， 离心率为 3 2 且过点2,0A ， 直线l与椭圆交于P、Q两点且不过原点. （1）求椭圆方程； （2）若APAQ，
10、求证：直线l经过定点，并求出定点坐标； （3）若直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，求OPQ面积的取值范 试卷第 5 页，总 8 页 答案参考 1. C 2.A 3.C 4.D 5.C 6.C 7.B 8.B 9. BD 10.BC 11.ABD 12.AB 13. 4 1 a 14.9 15. 2 16. 1n ， )2(2 1 2 1 n n 17. 解： （1）mxmxBxxA11,21.2 分 当 2m 时，31xxB此时 AB=21 xx.4 分 （2）因为 Ax 是 Bx 的充分不必要条件，所以BA .6 分 所以 21 11 m m .8 分 经检验 m 的取值范围为 1m
11、 . .10 分 18.解：选 （1）设数列 n a公差为d 26 12aa， 4 6a ，即 54 761daa.4 分 2 n an .6 分 选 （1）设数列 n a公差为d 因为1233 13 daS 4 1 da74 15 daa 3, 1 1 ad .4 分 2 n an .6 分 （2）由题得数列 n a是以 3 为首项，1 为公差的等差数列， 数列 2 1 n 是以 2 1 为首项， 2 1 为公比的等比数列， .8 分 所以 n n n nn nn T 2 1 1 2 5 2 1 2 1 1 ) 2 1 1 ( 2 1 2 )23( 2 .12 分 试卷第 6 页，总 4 页
12、 19.解： （1）由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 22 22 10 xy ab ab 由椭圆定义知2c ， 2222 5353 2222 10 2222 a 所以10a ，所以 222 104bac，所求椭圆标准方程为 22 1 106 xy .-4 分 （3）设直线与椭圆的交点为 11 ,A x y， 22 ,B x y联立方程 22 1 106 1 xy yx 得 2 810250 xx得 12 5 4 xx ， 12 25 8 x x .- -7 分 设AB的中点坐标为 00 ,x y，则 12 0 5 28 xx x ， 0 3 8 y ， 所以中点坐标为 5 3 ,
13、8 8 . -9 分 由弦长公式 2 2 1212 22515 2 142 164 ABkxxx x. -12 分 20. 解： （1）2 2 4 2 2 4 )( x x x xxf. .1 分 因为 2x ，所以, 0 2 4 , 02 x x 2 4 )2( x x所以4 2 4 )2(2 x x （当且仅当 2 4 2 x x即4x时取等号） .4 分 所以6)(xf，即函数)(xf的最小值为 6，此时4x.6 分 （2）存在 , 2x ，使得 tt xf39)( 成立， 所以 tt xf39)( min ，.8 分 即639 tt ，则0)23)(33( tt ， 解得1t.12分
14、试卷第 7 页，总 8 页 21.解： （1）由题意可知， 14 4 4 24 2 aa S ， 14 12aa. 又 14 27a a ，0d ， 1 3a， 4 9a ，2d ， .2 分 故数列 n a的通项公式为21 n an. .3 分 （2）对于数列 n b，当1n 时， 111 21bSb，解得 1 1b . 当2n时， 11 21 nn Sb ，21 nn Sb， 两式相减，得 1 22 nnn bbb ，即 1 2 nn bb ， .5 分 当1n时，12 111 bbS解得01 1 b 所以 n b是以 1 为首项，2为公比的等比数列，所以 1 2n n b . .6 分
15、(注：若不交代首项不为 0，扣 1 分） （3）由（2）可得 1 2) 12( n nn nba. 令 1 12 2nn n Taba ba b， 则12 2) 12(272513 n n nT n n nT2) 12(2725232 32 两式相减，得 nn n nT2) 12()222(23 12 12)21 (2) 12( 21 )21 (2 23 1 nn n nn， 得12) 12( n n nT， .9 分 故题中不等式可化为tnn n ) 12(2) 12(， 012*,nNn 2nt ， .10 分 因为数列 2 n 是递增数列，所以 2t ， 综上，实数t的最大值为 2. .
16、12 分 22.解： （1）由已知得 3 ,2 2 c a a ，所以椭圆标准方程为 2 2 1 4 x y-2 分 试卷第 8 页，总 4 页 （2）设直线l方程为0ykxm m 设 11 ,P x y、 22 ,Q x y联立方程组 222 2 2 418410 1 4 ykxm kxkmxm x y -3 分 12 2 8 14 km xx k ， 2 12 2 41 1 4 m x x k ，由APAQ得0AP AQ 所以 1212 220 xxy y化简得 22 1212 1240kx xkmxxm 2 22 22 8244 140 4141 km kmm km kk 化简得 22
17、516120mkmk 5620mkmk，所以 6 5 mk或2mk（舍去） ， 所以直线过定点)0 , 5 6 (. -6 分 当直线斜率不存在时 5 6 x也符合题意 -7 分 （3）由（2）知 22 16 410km 且 12 2 8 14 km xx k ， 2 12 2 41 1 4 m x x k ， 22 12121 212 y ykxmkxmk x xkm xxm 因为直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，所以 22 12122 12 1212 k x xkm xxmy y k x xx x ，即 22 2 2 8 0 1 4 k m m k ，又0m，所以 2 1 4 k ， 1 2 k -10 分 由于直线PQ的斜率存在且不为0及0 ，得 2 02m且 2 1m . 设d为点O到直线l的距离，则 2 12 2 11 1 22 1 OPQ m Sd PQkxx k 2 22 1212 1 42 2 mxxx xmm，所以 OPQ S的取值范围为0,1.-12 分 -
