1、2020-2021 学年度高二年级第一学期期中抽测 数 学 试 题 注意：所有答案一律写在答题卡上，直接写在试卷上的无效。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求。 1. 若 x0，则 8 x x 的最小值为( ) A2 B3 C2 2 D4 2 2. 已知aR，则“1a ”是“0a”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在等比数列an中， 4 4a ，则 26 a a等于( ) A4 B8 C16 D32 4. 若不等式 x2mx10 的解集为 R，
2、则实数 m 的取值范围是( ) Am2 Bm2 Cm2 或 m2 D2m2 5. 已知等差数列，其前 项的和为, nn ans 34567 20aaaaa则 9 s ( ) A. 24 B. 36 C. 48 D. 64 6. 如果关于 x 的不等式 x2axb 的解集是x|-1x3，那么 ba等于( ) A9 B9 C 1 9 D8 7. 九章算术第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百 分比)为“衰分比”如：甲、乙、丙、丁“衰分”得100,60,36,21.6个单位,递减的比例为40%,今共有粮 (0)m m 石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分
3、”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分 比”与m的值分别为 ( ) A20% 369 B80% 369 C40% 360 D60% 365 8. 已知正项等比数列 n a满足： 28535 16,20a aa aa，若存在两项, mn aa使得32 mn a a ， 则 14 mn 的最小值为 ( ) A. 7 9 B. 9 10 C. 3 4 D. 9 5 二、多项选择题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 9. 下列函数中，最小值是2 2的有（
4、） A. 2 yx x B. 1 2yx x C. 2 2 2 4 4 yx x D. 2 xx yee 10. 若存在 x 1 2，2，使得 2 210 xx 成立是假命题，则实数可能取的值是( ) A 3 2 B 2 2 C 3 D 9 2 11 已知等差数列，其前 项的和为,则下列结论正确的是 nn ans （） A.数列为等差数列 n s n B.数列 2为等比数列 n a C.,(),0 mnm n an am mna 若则 D.,(),0 mnm n Sn Sm mnS 若则 12已知 数列 n a，下列结论正确的有（ ） A.若 1 2a， 1 1 nn aan ，则 20 21
5、1a . B. 117 1321457 nn aaaa 若 ，则 C. 1 2 n n 若S =3 + ，则数列 n a是等比数列 D 若11 2 1 2 n n n a aa a ， *nN，则 15 2 15 a 三、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 命题“xR ， 2 10 xx ”的否定为_. 14. 设 n a是正项等比数列，且 453 32aaa， 2 3a ，则 n a的通项公式为_ 15. 已知数列Sn,Tn分别是等差数列an,bn的前n项和,且 21 32 n N Sn Tn 那么 11 11 a b . 16. 某项研究表明：在考虑行车安全的
6、情况下，某路段车流量 F（单位时间内经过测试点的车辆数，单位： 辆/小时）与车流速度 v（假设车辆以相同的速度 v 行驶，单位：米/秒）、平均车长 l（单位：米）的值 有关，其公式为 2 57000 1820 v F vvl .（1）如果不限定车型，6.05l ，则最大车流量为 辆/小时； （2）如果限定车型5l ，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加 辆/小时. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分 10 分） 已知 2 |230Ax xx， 2 |211)0Bx xaxa a（. （1）若 a=1 求AB； （2）若xA
7、是xB的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 18（本小题满分 12 分） 给出下列三个条件： 3 4a， 4 3a， 5 2a成等差数列； 3 7S ；.对于 * n ，点 , n n S 均在函数2xya的图像上，其中a 为常数。 请从这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并求解. 设 n a 是一个公比为0,1q qq的等比数列，且它的首项 1 1a ， （填所选条件序号）。 (1)求数列 n a 的通项公式； (2)令 *)( 1log2Nnab nn ，.TT的前n bb 1 数列 nn 1nn ，求项和为设 19（本小题满分 12 分） 设函数mxmxxf2)2()( 2 （1）
8、求不等式 ( )0f x 的解集； （2）若对于 1,2x ，42)( mxf恒成立，求m的取值范围 20（本小题满分 12 分） 已知数列是公差不为零的等差数列，若 1 2a ， 1517 ,a a a且成等比数列 （1）求数列 n a的通项公式； （2）若2 n a n b 求数列 nn a b的前n项和 n S 21（本小题满分 12 分） 某产品拟在 2020 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年 促销费用x（0 xa）万元满足 1 4 1 m x .已知 2020 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产1 万件该产品需要投入 25 万元.厂家将
9、每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 2 倍（产品成本包括 固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）. （1）将 2020 年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数； （2）该服装厂 2020 年的促销费用投入多少万元时，利润最大？ 22（本小题满分 12 分） 设数列 n a 的前n项和为 n S ,对任意的 * Nn满足 0) 1(2 nnnn aaaS且 . (1)求数列 n a 的通项公式; (2)设 1, 3 21, nn an a n C 为奇数 为偶数 ,求数列 n c 的前 n 项和 n T. 2020-2021 学年度高二年级第一学期期中抽测 数学试题参考答
10、案 一、单项选择题：一、单项选择题： 1.D 2、B 3、C 4、D 5、B 6、B 7、A 8、C 二、多项选择题二、多项选择题： 9、BD 10、 ABC 11、ABC 12、AB 三、填空题三、填空题： 13、 x R ， 2 10 xx 14、 1 3 n n a，n N 15、43 65 16、1425 75 四、解答题：四、解答题： 17.解： （1）由题意得， 2 |230 |1301,3Ax xxxxx ，2 分 a=1 时 2 |320 |120Bx xxxxx |12x xx或 4 分 | 1123ABxxx 或 5 分 （2） 2 |211)0Bx xaxa a（ |1x
11、 xaxa或 xA 是x B 的充分不必要条件 所以 A 是 B 的真子集，8 分 所以 11a 或 3a ， 所以 2a 或 3a 10 分 18 解：若选 1：因为 345 4,3,2aaa成等差数列，所以 435 2 3=42aaa. 又因为数列 n a是等比数列，即 2 320qq解得 2q 或1q （舍去）3 分 又 1 1a ，所以数列 n a是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以数列 n a的通项公式 1 =2n n a 6 分 若选 2：点( ,) n n S均在函数2xya的图像上，所以2n n Sa，又因为 11 2aSa，所以1a ， 所以21 n n S ，所以 2
12、 3S ，所以 2 2,2aq. 3 分 所以数列 n a是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以数列 n a的通项公式 1 =2n n a 6 分 若选 3： 3 7S ，因为 n a是公比为(0,1)q qq的等比数列， 所以 3 1(1 ) 7 1 aq q ，即 2 60qq解得2q 或3q （舍去） 3 分 所以数列 n a是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以数列 n a的通项公式为 1 =2n n a 6 分 （2）证明：因为 1 =2n n a ，所以nab nn 1log2 8 分 所以 1 11 ) 1( 1 b 1 1n nnnnbn 10 分 所以 1 11 3
13、1 2 1 2 1 1 1 11 13221 nnbbbbbb T nn n 1 1 11 n nn 12 分 19. （1） ( )0f x ， 02)2( 2 mxmx ， 0)2)(xmx .2分 当 2m 时，不等式( )0f x 的解集为 )2 ,(m 当 2m 时，原不等式为 0)2( 2 x ，该不等式的解集为；.4 分 当 2m 时，不等式( )0f x 的解集为 ), 2(m .6 分 （2）由题意，当 1,2x 时，04)2( 2 xmx 恒成立， 即 1,2x 时，2- 4 x xm 恒成立 .8分 由基本不等式得22 4 22 4 x x x x ，当且仅当时，等号成立
14、，.10分 所以 2m 所以实数m的取值范围是 2m .12分 20 （1） 1517 ,a a a 成等比数列且 1 2a 2 51 17 aa a 2 111 (4 )(16 )ada ad 1d . 2 分 211 n ann .4分 （2）由（1）1 (1)2n nn a bn .6 分 2341 2 23 24 22(1)2 nn n Snn （1） 3412 22 23 22(1)2 nn n Snn （2）.8 分 23412 2 2222(1)2 nn n Sn .10 分 从而得222 (1)222 nnn n Snn . 12 分 21解析： （1）由题意知：每件产品的销售
15、价格为 825 2 m m 所以 825 2825 m ymmx m 8 25mx . 2分 1 825 4 1 x x 25 108 1 x x （(0, xa） 所以 25 108 1 yx x （ (0, xa ）.4分 （2）当 4a 时， 由 25 108 1 yx x 25 1091 1 x x 25 1092199 1 x x 当且仅当 25 1 1 x x ，即4x时取等号.又 (0, xa 当4x时，y有最大值；6分 当0 4a 时，令 25 109 1 f xx x 在 0,a 上任取 12 ,x x使得 12 xx 121221 1212 252525 1091091 1
16、111 f xf xxxxx xxxx 8分 12211212 12 25 0,0,401125, 10 11 x xxxx xa axx xx 12 0f xf xf x 是 0,a 上的增函数。.10分 所以xa时，y有最大值； 答：当4a时，该服装厂2020年的促销费用投入4万元时，利润最大； 当0 4a 时，该服装厂 2020 年的促销费用投入a万元时，利润最大. .12 分 22.解(1)因为 2Sn=an(an+1), 所以当 n2 时,2Sn-1=an-1(an-1+1). -得 2an= 2 n a - 2 -1n a +an-an-1, an0 即(an+an-1)(an-a
17、n-1-1)=0. 2 分 若 an-an-1-1=0, 当 n2 时,有 an-an-1=1, 又当 n=1 时,由 2S1=a1(a1+1)及 a10,得 a1=1, 所以数列an是等差数列,其通项公式为 an=n(nN *). 综上,数列an的通项公式为 an=n 4 分 (2)由（1）知 an=n,cn= 1, 3 21, n nn n 为奇数 为偶数 6 分 10.n 为偶数时 Tn=(2+4+n)+3(2 1+23+2n)+n/2= = 2 2 2 4 164 n nn 8 分 20.n 为奇数时 Tn=2+4+(n+1)+3(2 1+23+2n-1)+ 1 2 n = 1 2 2 4 516 n nn 10 分 综上 （10）n 为偶数时 2 2 2 4 164 n n nn T （20）n 为奇数时 1 2 2 4 516 n n nn T12 分
