1、 培优点二培优点二 函数零点函数零点 1零点的判断与证明 例 1：已知定义在1,上的函数 ln2f xxx， 求证： f x存在唯一的零点，且零点属于3,4 【答案】见解析 【解析】 11 1 x fx xx ， 1,x， 0fx ， f x在1,+单调递增， 31 ln30f ， 42ln20f， 340ff， 0 3,4x，使得 0 0f x 因为 f x单调，所以 f x的零点唯一 2零点的个数问题 例 2：已知函数 f x满足 3f xfx，当1,3x， lnf xx，若在区间1,9内， 函数 g xf xax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（ ） A ln3 1 , 3e B l
2、n3 1 , 93e C ln3 1 , 92e D ln3 ln3 , 93 【答案】B 【解析】 3 3 x f xfxf xf ，当3,9x时， ln 33 xx f xf ， 所以 ln13 ln39 3 xx f x x x ， 而 gxf xa x有三个不同零点 yf x与yax有三 个不同交点， 如图所示， 可得直线yax应在图中两条虚线之间， 所以可解得：ln3 1 93e a 3零点的性质 例 3：已知定义在R上的函数 f x满足： 2 2 20,1 21,0 xx f x xx ，且 2f xf x， 25 2 x g x x ，则方程 f xg x在区间5,1上的所有实根
3、之和为（ ） A5 B6 C7 D8 【答案】C 【解析】先做图观察实根的特点，在1,1中，通过作图可发现 f x在1,1关于0,2中 心对称， 由 2f xf x可得 f x是周期为 2 的周期函数，则在下一个周期3, 1 中， f x关 于2,2中心对称，以此类推。 从而做出 f x的图像（此处要注意区间端点值在何处取到） ，再看 g x图像， 251 2 22 x g x xx ，可视为将 1 y x 的图像向左平移 2 个单位后再向上平移 2 个单位， 所以对称中心移至2,2，刚好与 f x对称中心重合，如图所示：可得共有 3 个交点 123 xxx， 其中 2 3x ， 1 x与 3
4、 x关于2,2中心对称，所以有 13 4xx 。所以 123 7xxx 故 选 C 4复合函数的零点 例 4：已知函数 2 43f xxx，若方程 2 0f xbf xc 恰有七个不相同的实根， 则实数b的取值范围是（ ） A2,0 B2, 1 C0,1 D0,2 【答案】B 【解析】考虑通过图像变换作出 f x的图像（如图） ，因为 2 0f xbf xc 最多只能 解出 2 个 f x，若要出七个根，则 1 1fx ， 2 0,1fx ，所以 12 1,2bfxfx ， 解得：2, 1b 一、选择题 1设 ln2f xxx，则函数 f x的零点所在的区间为（ ） A0,1 B1,2 C2,
5、3 D3,4 【答案】B 【解析】 1ln1 1 210f ， 2ln20f， 120ff， 函数 ln2f xxx的图象是连续的，且为增函数， f x的零点所在的区间是1,2故选 B 2已知a是函数 1 2 log2xxf x 的零点，若 0 0 xa，则 0 f x的值满足（ ） A 0 0f x B 0 0f x C 0 0f x D 0 f x的符号不确定 【答案】C 【解析】 f x在(0,)上是增函数，若 0 0 xa，则 0 0f xf a 3函数 2 ( )2f xxa x 的一个零点在区间 1,2内，则实数a的取值范围是（ ） 对点增分集训对点增分集训 A1,3 B1,2 C
6、0,3 D0,2 【答案】C 【解析】因为 f x在(0,)上是增函数，则由题意得 ()()12030ffaa，解得 03a， 故选 C 4若abc，则函数 ()()()()()()f xxa xbxb xcxc xa的两个零点分别位 于区间（ ） A(), a b和(), b c内 B(, )a和(), a b内 C(), b c和(), c 内 D(, )a和(), c 内 【答案】A 【解析】abc， ()()0f aab ac， ()()0f bbc ba， ()()0f cca cb， 由函数零点存在性定理可知，在区间(), a b，(), b c内分别存在零点，又函数 f x是二次
7、函 数， 最多有两个零点因此函数 f x的两个零点分别位于区间(), a b，(), b c内，故选 A 5设函数 f x是定义在R上的奇函数，当0 x 时， e3 x f xx，则 f x的零点个 数为（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】C 【解析】因为函数 f x是定义域为R的奇函数，所以 00f，即 0 是函数 f x的一个 零点， 当0 x 时， 令 3e0 x f xx， 则e3 x x ， 分别画出函数 1 exy 和 2 3yx 的图象， 如图所示，两函数图象有一个交点，所以函数 f x有一个零点， 根据对称性知，当0 x 时函数 f x也有一个零点 综上所述， f x的零点
8、个数为 3故选 C 6函数 2 20 1ln0 xxx xx f x 的零点个数为（ ） A3 B2 C7 D0 【答案】B 【解析】方法一：由 0f x 得 2 0 20 x xx 或 2 0 20 x xx ，解得2x 或ex ， 因此函数 f x共有 2 个零点 方法二：函数 f x的图象如图所示，由图象知函数 f x共有 2 个零点 7已知函数 10 1 0 x x x f x ，则使方程 xf xm有解的实数m的取值范围是（ ） A1,2 B(, 2 C()(),12, D(),12, 【答案】D 【解析】当0 x 时， xf xm，即1xm ，解得1m ；当0 x 时， xf xm
9、，即 1 xm x ， 解得2m ，即实数m的取值范围是(),12,故选 D 8若函数 31 2f xaxa 在区间()1,1内存在一个零点，则a的取值范围是（ ） A 1 , 5 B 1 , 1, 5 C 1 1, 5 D(), 1 【答案】B 【解析】当0a 时， 1f x 与x轴无交点，不合题意，所以0a ；函数 31 2f xaxa 在区间()1,1内是单调函数，所以 0( 11)ff，即()(10)51aa，解得1a 或 1 5 a 故选 B 9已知函数 00 e0 x x x f x ，则使函数 g xf xxm有零点的实数m的取值范围 是（ ） A0,1 B(1), C(),12
10、, D(),01, 【答案】D 【解析】函数 g xf xxm的零点就是方程 f xxm的根，画出 0 e0 x xx h xf xx xx 的大致图象（图略） 观察它与直线ym的交点，得知当 0m 或1m 时，有交点，即函数 g xf xxm有零点故选 D 10已知 f x是奇函数且是R上的单调函数，若函数 2 21()()yfxfx只有一个零 点，则实数 的值是（ ） A 1 4 B 1 8 C 7 8 D 3 8 【答案】C 【解析】 令 2 ()21(0)yfxfx， 则 2 ()()21(fxfxf x， 因为 f x是R 上的单调函数，所以 2 21xx ，只有一个实根，即 2 2
11、10 xx 只有一个实根，则 1 8 10()，解得 7 8 11已知当0,1x时，函数 2 1()ymx的图象与yxm的图象有且只有一个交点，则 正实数m的取值范围是（ ） A(0,12 3,+ ) B0,13), C(0, 22 3,+ ) D(0, 23,+ ) 【答案】B 【解析】 在同一直角坐标系中， 分别作出函数 2 22 1 ( )(1)f xmxmx m 与( )g xxm 的大致图象分两种情形： （1）当01m时， 1 1 m ，如图，当 0,1x时， f x与 g x的图象有一个交点，符 合题意 （2）当1m 时， 1 01 m ，如图，要使 f x与 g x的图象在0,1
12、上只有一个交点， 只需 11gf，即 2 11()mm，解得3m 或0m （舍去） 综上所述，0,13),m故选 B 12已知函数 yf x和 yg x在2,2的图像如下，给出下列四个命题： （1）方程 0fg x 有且只有 6 个根 （2）方程 0gf x 有且只有 3 个根 （3）方程 0ff x 有且只有 5 个根 （4）方程 0g g x 有且只有 4 个根 则正确命题的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】B 【解析】每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出x的 总数 （1）中可得 1 2, 1gx ， 2 0gx ， 3 1,2gx ，进而 1
13、gx有 2 个对应的x， 2 gx 有 2 个， 3 gx有 2 个，总计 6 个， （1）正确； （2）中可得 1 2, 1fx ， 2 0,1fx ，进而 1 fx有 1 个对应的x， 2 fx有 3 个，总 计 4 个， （2）错误； （3）中可得 1 2, 1fx ， 2 0fx ， 3 1,2fx ，进而 1 fx有 1 个对应的x， 2 fx 有 3 个， 3 fx有 1 个，总计 5 个， （3）正确； （4）中可得： 1 2, 1gx ， 2 0,1gx ，进而 1 gx有 2 个对应的x， 2 gx有 2 个， 共计 4 个， （4）正确 则综上所述，正确的命题共有 3 个
14、二、填空题 13函数 0 5 2log| x f xx 的零点个数为_ 【答案】2 【解析】由 0f x ，得 0.5 1 |log| 2 x x ，作出函数 10 5 log|yx 和 2 1 2 x y 的图象， 由上图知两函数图象有 2 个交点，故函数 f x有 2 个零点 14设函数 3 1 yx与 2 2 1 2 x y 的图象的交点为 00 (,)xy，若 0 ,1()xn n，n，则 0 x所 在的区间是_ 【答案】1,2 【解析】令 2 3 1 2 x f xx ，则 0 0f x，易知 f x为增函数，且 10f， 20f， 0 x所在的区间是1,2 15函数 2 20 26
15、ln0 f x xx xxx 的零点个数是_ 【答案】2 【解析】当0 x 时，令 2 20 x ，解得2x （正根舍去） ，所以在(0,上有一个零点； 当0 x 时， 1 ( )20fx x 恒成立，所以 f x在(0,)上是增函数又因为 22ln20f， 3ln30f，所以 f x在(0,)上有一个零点，综上，函数 f x 的零点个数为 2 16已知函数 2 3|f xxx，Rx，若方程 1|0|f xa x恰有 4 个互异的实数根， 则实数a的取值范围是_ 【答案】0,19(), 【解析】设 2 1 |3 |yf xxx， 2 |1|ya x， 在同一直角坐标系中作出 2 1 |3yxx
16、， 2 |1|ya x的图象如图所示 由图可知 1|0|f xa x有 4 个互异的实数根等价于 2 1 |3yxx与 2 |1|ya x的图象 有 4 个不同的交点且 4 个交点的横坐标都小于 1，所以 2 3 1 yxx yax 有两组不同解， 消去y得 2 )0(3xa xa有两个不等实根， 所以 2 ()340aa，即 2 1090aa， 解得1a 或9a 又由图象得0a ，01a或9a 三、解答题 17关于x的二次方程 2 1()10 xmx在区间0,2上有解，求实数m的取值范围 【答案】(, 1 【解析】显然0 x 不是方程 2 1()10 xmx的解， 02x时，方程可变形为 1
17、 1mx x ， 又 1 yx x 在 0,1上单调递减，在1,2上单调递增， 1 yx x 在 0,2上的取值范围是2,)，1 2m，1m ， 故m的取值范围是(, 1 18设函数 1 ( )1(0)f xx x （1）作出函数 f x的图象； （2）当0ab且 f af b时，求 11 ab 的值； （3）若方程 f xm有两个不相等的正根，求m的取值范围 【答案】 （1）见解析； （2）2； （3）01m 【解析】 （1）如图所示 （2） 1 10,1 1 ( )1 1 11, x x f x x x x 故 f x在0,1上是减函数，而在(1,)上是增函数 由0ab且 f af b，得01ab 且 11 11 ab ， 11 2 ab （3）由函数 f x的图象可知，当01m时，方程 f xm有两个不相等的正根
