1、空间向量与平行关系空间向量与平行关系 （4545 分钟分钟100100 分）分） 一、选择题一、选择题( (每小题每小题 6 6 分分, ,共共 3030 分分) ) 1.直线 l 的一个方向向量为 n=(1,3,a),平面的一个法向量为 k=(b,2,3),若 l,则 a,b 应满足的关系式为() A.3a+b+6=0B.a=3bC.3a-b+6=0D.a=-3b 2.若直线 a 与 b 的一个方向向量分别是 a=(1,2,4),b=(-1,-2,m),若 ab,则 m 的值为() A.4B.-4C.-2D.2 3.设 a,b 分别是不重合的直线 l1,l2的一个方向向量,则根据下列条件能判
2、断 l1 l2的是() a=( ,1,0),b=(-2,-4,0); a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1); a=(5,0,2),b=(0,1,0); a=(-2,-1,1),b=(4,-2,-8). A.B.C.D. 4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,若 E1为 A1C1的中点,E 是 AC 的中点,则与 CE1平行的 直线为() A.ADB.A1C1C.EB1D.EA1 5.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,棱长为 a,M,N 分别为 A1B,AC 的中点,则 MN 与平面 B1BCC1的位置关系是() A.相交B.平行 C.垂直D.不能确定 二、填空题二、填空题(
3、 (每小题每小题 8 8 分分, ,共共 2424 分分) ) 6.(2013济南高二检测)设平面的一个法向量为(3,2,-1),平面的一个法向 量为(-2,- ,k),若,则 k 等于. 7.若直线 l 的一个方向向量为 a=(3,2,-1),直线 ml,则直线 m 的单位方向向量 为. 8.正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,E 为 BB1的中点,F 为 AD 的中点,以 DA,DC,DD1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则平面 D1EF 的法向量是. 三、解答题三、解答题(9(9 题题,10,10 题题 1414 分分,11,11 题题 1818 分分) )
4、9.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,A1D 的中点为 E,BD 的中点为 F,证明:CD1EF. 10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1, B1C1的中点. 求证:平面 AMN平面 EFBD. 11.(能力挑战题)已知:四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD, 底面 ABCD 是菱形,且 PA=AB=2,ABC=60,BC,PD 的中点 分别为 E,F.在线段 AB 上是否存在一点 G,使得 AF平面 PCG?若存在,指出 G 在 AB 上的位置并给出证明;若不存在 请说明理由. 答案解析答案解析
5、1.【解析】选 A.l,nk,即 nk=b+6+3a=0, 3a+b+6=0. 2.【解析】选 B.ab,ab,故 m=-4. 3.【解题指南】本题为求解适合平行的充分条件,可逐一验证,因此适用排除法. 【解析】选 A.a=- b,l1l2,排除 B,C,a=-2b,l1l2,故选 A. 【变式备选】设 u,v 分别是不同的平面,的一个法向量,根据下列条件能判 断的是. u=(-1,1,-2),v=(3,2,- ); u=(0,0,3),v=(0,0,-2); u=(4,2,-3),v=(1,4,-2). 【解析】判断两个法向量是否平行即可. u=kv 的 k 值不存在,u 与 v 不平行;
6、u=- v,uv,; u=kv 的 k 值不存在,u 与 v 不平行. 答案: 4.【解析】选 D.如图所示,建立直角坐标系 Axyz, 设 AB=1,则 C(1,1,0),E1( , ,1),=(- ,- ,1). 又 A1(0,0,1),E( , ,0), =(- ,- ,1),故,又 CE1与 EA1不重合,故选 D. 5.【解题指南】由正方体易建立空间直角坐标系,可选 B1或 C1为原点,求 M,N 的坐标是解题关键. 【解析】选 B.以 C1为原点,以,所在直 线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系,如图, N( , ,a), M(a, , ), =(- ,0, ).
7、 而平面 B1BCC1的一个法向量为 n=(0,1,0), n=0.又 MN平面 B1BCC1, MN 与平面 B1BCC1平行. 6.【解析】,(3,2,-1)=(-2,- ,k), =- ,k=-1,k= . 答案: 7.【解析】ml,a=(3,2,-1)也是直线 m 的方向向量,又|a|=, 所求的向量为(3,2,-1),即 m 的单位方向向量为(,-)或 (-,-,). 答案:(,-)或(-,-,) 8.【解析】根据题意得 D1(0,0,1),E(1,1, ),F( ,0,0), =( ,0,-1),=(1,1,- ). 设平面 D1EF 的法向量是 n=(x,y,z),则: 取 z=
8、2k(k0),则 x=4k,y=-3k, n=(4k,-3k,2k)(k0). 答案:(4k,-3k,2k)(k0) 9.【证明】如图所示,建立直角坐标系 Dxyz,设 AB=1,则 C(0,1,0),D1(0,0,1), =(0,-1,1),又A1(1,0,1),D(0,0,0), E( ,0, ),又 F( , ,0), =(0, ,- ). =-2,又CEF,故 CD1EF. 10.【证明】方法一:建立如图所示的空间直角坐标系,分 别取 MN,DB 及 EF 的中点 R,T,S,连结 AR,ST, 则 A(2,0,0),M(1,0,4),N(2, ,4),D(0,0,0),B(2,3,0
9、), E(0, ,4),F(1,3,4),R( , ,4),S( , ,4),T(1, ,0). =(1, ,0),=(1, ,0), =(- , ,4),=(- , ,4). =,=, 又 MN 与 EF,AR 与 TS 不共线, MNEF,ARTS. MN平面 EFBD,AR平面 EFBD, 又 MN平面 AMN,AR平面 AMN,MNAR=R, 平面 AMN平面 EFBD. 方法二:建系同方法一, 由方法一可知,A(2,0,0),M(1,0,4),N(2, ,4), D(0,0,0),E(0, ,4),F(1,3,4), 则=(-1,0,4),=(0, ,4),=(0, ,4),=(1,
10、3,4). 设平面 AMN,平面 EFBD 的法向量分别为 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2), 令 x1=1,得 z1= ,y1=- , n1=(1,- , ), 令 y2=-1,得 z2= ,x2= . n2=( ,-1, ), n1= n2,即 n1n2,平面 AMN平面 EFBD. 11.【解题指南】逆向推理是解决证明问题的关键,在证明中结合目标逆向寻求 解题思路,充分利用棱柱、棱锥中的三角形、四边形(正方形、长方形、菱形)的 性质特征找到垂直关系与平行关系,可以有效地对问题进行转化,忽视平面图形 的性质,会使解题无从入手. 【解析】由题意知 PA平面 ABCD,又
11、因为底面 ABCD 是菱形,得 AB=BC 且ABC= 60,所以ABC 是正三角形,连接 AE,又 E 是 BC 的中点,BCAE,故 AE,AD,AP 彼此两两垂直,以 AE,AD,AP 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, PA=AB=2, 故 A(0,0,0),B(,-1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),C(,1,0), =(0,0,-2),=(,1,-2),=(0,1,1). 假设在线段 AB 上存在点 G,使得 AF平面 PCG, 则=(01), =(,-1,0), =(,-,0). =+=(,-,-2), 设平面 PCG 的法向量为 n=(x,y,z), 得 n=(,1,). AF平面 PCG,n=0,解得= , 故在线段 AB 上存在中点 G,使得 AF平面 PCG. 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块
